甘肃省定西市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025一2026学年九年级第一学期期末监测 数 学 注意事项： 1.全卷满分120分，答题时间为100分钟. 2.请将各题答策填写在答题卡上. 新 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项. 1.下列各组图形中，一定相似的是 A 2.下列事件中，必然事件是 A.2025年有13个月 B.长江是我国最长的河流 C.打开电视，正在播放新闻 D.任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 灯 3.二次函数y=(x一2)2一6的最小值是 A-6 B.2 C.6 D.-2 4.若点(1,2)在反比例函数y=(k为常数，且≠0)的图象上，则的值为 封 A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形 绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为 () A90° B.150° C.120° D.135 第5题图 第7题图 第8题图 6.若关于x的一元二次方程x2一2x十a=0有实数根，则实数a的取值范围是 A.a<1 B.a>1 C.a≥1 D.a≤1 剂 7.如图，正比例函数1=k1x(k,<0)的图象与反比例函数y2=(,<0)的图象交于A,B两 点，点A的横坐标为一1.当y1<y2时，x的取值范围是 () A.-1<x<0或x>1 B.x<-1或0<x<1 C.x<-1或x>1 D.-1<x<0或0<x<1 8.如图，PA与⊙O相切于点A,PO的延长线交⊙O于点C,AB∥PC,且交⊙O于点B.若∠P =30°，则∠BCP的度数为 () A30° B.45 C.60° D.75 【九年级数学第1页（共4页）】 26-09-RCCZ03c 9.如图，在△ABC中，∠A=80°，AB=8,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影 三角形与△ABC不相似的是 () A.B∠ 80 B、B∠ 10.如图1，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BP的长y关于点P运动的路程x的函数 图象如图2所示，则该菱形的面积为 () 图1 图2 A.12 B.24 C.48 D.96 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 11.已知关于x的一元二次方程有一个根是x=2,写出一个符合条件的一元二次方程： 12.为了解甘肃定西的特产马铃薯种子的发芽情况，研究所的工作人员在相同的条件下，对该马 铃薯种子进行发芽试验，相关数据记录如下： 种子总数 100 400 800 1400 3500 7000 发芽种子数 91 358 724 1264 3160 6400 发芽的频率 0.91 0.895 0.905 0.903 0.903 0.914 根据以上数据，可以估计该马铃薯种子发芽的概率为 (结果精确到0.1). 13.若⊙0的半径为5，OP=m,且点P在⊙0外，则m的取值范围为 14.已知点A(1,y1),B(5,y2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上，如果y1>y2,那么k的值 为 (写出一个符合条件的的值即可). 15.若△ABC∽△DEF,且相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是 16.如图，在平面直角坐标系中，点C1,C2…都在y轴正半轴上，点A1在二次函数 B A y=x2(x>0)的图象上，以OA1,OC1为邻边作平行四边形OA1B1C1,且OC1= √2OA1,延长C,B1与二次函数y=x2(x>0)的图象交于点A2;以CA2,C1C2C 为邻边作平行四边形C1A2B2C2,且C1C2=√2C1A2,延长C2B2与二次函数y B =x2(x>0)的图象交于点Ag…按此规律进行下去，若点A1的横坐标为1，则C 点A6的坐标为 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 17.(4分)解方程：5x2-3x=x十1. 18.(4分)已知抛物线y=mx2一5x一2的对称轴是直线x=1,求m的值和抛物线的解析式 【九年级数学第2页（共4页）】 26-09-RCCZ03c 19.(4分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,将△ABC绕点C顺时针旋转90° 得到△EDC,连接AE,求△ADE的面积. B 20.(6分)如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O(保留作图痕迹，不写作法) (2)若点E是AD的中点，连接OA,CE.求证：四边形AOCE是平行四边形. ⊙ 21.(6分)小华和小亮到定西金逸影城看电影，A,B,C,D四个放映室分别播放《731》《志愿军： 浴血和平火浪浪人生K刺杀小说家2》四部电影，他们各自任选一部电影进行观看，每部电 影被选中的可能性都相同. (1)小明选择《731》的概率为 (2)用画树状图或列表的方法，求小华和小亮选择看同一部电影的概率。 22.(8分)如图，王先生想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N,阻力臂长为0.5m. 设动力为y(单位：N),动力臂长为x(单位：m).(杠杆平衡时，动力X动力臂=阻力×阻力 臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计) (1)求y关于x的函数表达式 (2)当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？ (3)王先生若想使动力不超过310N,在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石 头？请说明理由， 1动力 1阻力 动力臂△阻力臂 四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 23.（7分)如果圆锥的底面半径是4，母线长是16，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的 度数 【九年级数学第3页（共4页）】 26-09-RCCZ03c 24.(7分)如图、直线y=一x十4与坐标轴交于A,B两点，点M(2,m)在直线AB上，点N与 点M关于y轴对称. （D当点N在反比例函数y=冬的图象上时，求k的值， (2)当线段MN被反比例丽数y=的图象分成两部分，且这两部分长度的比为1：名时，求 k的值. 25.(S分)如图、⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=45°.过点O作DF⊥AB,垂足为E,交AC 于点D、交⊙O于点F.过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G. (1)求证：FD=FG (2)若AB=12、FG=10,求⊙O的半径. 26.(8分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4,AD=aBN,点M是AB的中 点，点D和点N分别是AC和BC上的动点. (1)当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值； (2)当a=√2时，以C,D,N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的长. 27.(10分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2一2x十c(a≠0)与x轴交于点A和点 B,与y轴交于点C(0,一3)，对称轴为直线x=1. (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接BC,点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时 点P的坐标； (3)如图3，将抛物线y=ax2一2x十c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单 线 位长度得到新的抛物线y',在抛物线y'的对称轴上有一点D,坐标平面内有一点E,使 得以B,C,D,E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标. 图3 【九年级数学第4页（共4页）】 26-09-RCCZ03c 2025一2026学年九年级第一学期期末监测 数学参考答案 1.D2.B3.A4.B5.C6.D7.A8.C9.C10.D 11.答案不唯一，如x2-4=012.0.913.m>514.答案不唯一，如1,2,315.2016.(6,36) 17.解：原方程可变形为5.x2-4x-1=0, :a=5,b=-4,c=-1, .△=b2-4ac=36, “x=-b±6-4a_4±6 2a 10: x=1x=-方.(4分) 18.解：，抛物线y=mx2-5.x一2的对称轴为直线x=1, 2品-1，解得m=, 5 “抛物线的解析式为y=号x2-5x一2.(4分) 19.解：，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,将△ABC绕点C顺时针旋转90得到△EDC, .CE=AC=4,CD=BC=3,∠ACE=90°，.AD=AC-CD=1, SauE=号AD.CE=号X1X4=24分) 20.解：(1)如图，点O即所求：(3分) (2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC, :E是AD的中点，O是BC的中点， ..AE=DE=OC=OB. .AE//OC, ∴.四边形AOCE是平行四边形.(6分) 21.解：1)(2分) (2)画树状图如下： 开始 共有16种等可能的结果，其中小华和小亮选择同一放映室的结果有4种， 所以小华和小亮选择看同一部电影的概率为 41 4.(6分) 22.解：1D由题意可得xy=1600×0.5=80,则y=800 T 800 ∴y与x的函数表达式为y= x(2分) 2)当x=2时，y=800 =400, 2 ∴.当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要400N的力.(4分) (3)他不能撬动这块石头.(5分) 理由如下：y=800,x=800 y 【九年级数学·参考答案第1页（共4页）】 26-09-RCCZ03c 800 0<x≤2.5，.09 -2.5,.y≥320， y ∴.他不能撬动这块石头.(8分) 23.解：这个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为2π×4=8π. 圆锥的母线长即侧面展开图的扇形的半径，所以侧面展开图的扇形的半径为16.(3分) 由弧长公式L=”点，得n=180=180义8r=90 元R16π 答：这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数为90°.(7分) 24.解：(1)点M(2,m)在直线y=-x+4上， .m=-2+4=2,.M(2,2),∴.N(-2,2). :点N(-2,2)在反比例函数y=的图象上， 2=乌2解得=-4（8分列) (2)M(2,2),N(-2,2),.MN=4. k 设线段MN与反比例函数y=的图象交于点C, ①如图1，当NC:MC=1:3时，.NC=1,∴.C(-1,2),.k=-1×2=-2;(5分) ②如图2，当MC:NC=1:3时，∴.CM=1,∴.C(1,2),.k=1×2=2. 故k的值为一2或2.(7分) 图1 图2 25.解：(1)证明：，DF⊥AB,GF是⊙O的切线，即DF⊥GF,.ABGF, ∴.∠G=∠BAC=45°，.∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形， .FD=FG.(3分) (2)DFLAB..AE-BE-zAB-6. :∠BAC=45°，∴.∠ADE=90°-45°=45°，即△ADE是等腰直角三角形， .∴.ED=EA=6. 由(1)得FD=FG=10,.EF=DF-DE=10-6=4, 如图，连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA, 在Rt△AOE中，OA2=AE2十OE2, .(x十402=62十x2,解得x=之， 5 ⊙ 0A=2+4=号+4=号. 00的半径为是(8分) 26.解：(1)：三角形ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4,.AB=AC=2√2. 当点D和点N分别是AC和BC的中点时， 可得AD-=AC=E,BN=BC=2. 放a架- .(3分) (2)a=√2，AD=aBN,∴.AD=√2BN, 【九年级数学·参考答案第2页（共4页）】 26-09-RCCZ03c 设BN=x,则AD=√2x,CN=BC-BN=4-x, 在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4, ∴.AB=AC=22,CD=AC-AD=22-√2x, :点M是AB的中点，∴AM=BM=√2，∴∠B=∠C=45°， 当以C,D,N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： ①当△CDN△BMN时，可得CD-CN BM BN :22一5工_4二工，此方程无解，不符合题意：6分) √2 x ②当△CND△N时，可利品， 4-x-22-2 ,解得x=3+√5（不符合题意，舍去）或x=3-√5， √2 ∴.BN=3-√5， 综上可得，BN的长为3-√5.(8分) 27.解：(1)，抛物线y=ax2-2x+c(a≠0)与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C(0,一3)，对称轴为 直线x=1, ∴c=-3=-2-1,∴a=1,∴抛物线的解析式为y=x2-2z一3：3分) 2a (2)由(1)可知y=x2-2x-3,令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3, 即A(一1,0)，B(3,0). 设直线BC的解析式为y=kx+b, 解得/k1, 将B(3,0),C0,3)分别代人，得3十620·9 1b=-3, 直线BC的解析式为y=x一3， 点P为直线BC下方抛物线上的动点，如图1，过点P作PM∥y轴， V 图1 设P(a,a2-2a-3),.M(a,a-3), PM=a-3-a2+2a+3=-a2+a=-(a-)》'+ 312 4 当a=时，=号m=Pm8=x号- △PBC面积的最大值为器P(是，)：(6分) (3)由题意可得y'=(x-1)2-2(x-1)-3-1=x2-4x-1=(x-2)2-5, 抛物线y的对称轴为直线x=2. :B(3,0),C(0,-3),.OC=OB=3,∠BCO=∠CB0=45, 当BC为矩形的一边，且点D在x轴的下方时，如图2，过点D作DF⊥y轴于点F, 图2 【九年级数学·参考答案第3页（共4页）】 26-09-RCCZ03c ,点D在抛物线y'的对称轴上，.FD=2, .∠BCD=90°，∠BCO=45°，∴∠DCF=45, .CF=FD=2,OF=OC+CF=3+2=5,∴.D(2,-5), ∴点C向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到点D, 则点B向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度可得到点E(5,一2)： 当BC为矩形的一边，且点D在x轴的上方时，抛物线y'的对称轴直线x=2与x轴交于点F,如图3， D F B 图3 ,点D在抛物线y'的对称轴上，∴.FO=2,∴.BF=3一2=1， ∠DBC=90°，∠CBO=45°，∴.∠DBO=45°，FD=BF=1,.D(2,1), ∴.点B向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到点D, 则点C向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到点E(-1,一2)： 当BC为矩形的对角线时，如图4，设D(2,d),E(m,n), 由(2)可知BC的中点F的坐标为（受，-多）， 2+m3 2 2’ 根据题意得 d+=-3 解得m1, d+n=-3, 2 2 :DE=BC,.(2-1)2+(d-n)2=32+32,解得d-n=±17， 联立得以二土7，解得n=一3士区 d+n=-3, 2 六点E的坐标为1,3，正)1.3计)】 综上所述，点E的坐标为5，-2》或(-1，-2》或1，一3，)或(1，一34严).10分) 【九年级数学·参考答案第4页（共4页）】 26-09-RCCZ03c