精品解析：河南省周口市西华县新兴学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度9年级12月份数学考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 反比例函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的值即可判断出答案． 【详解】解：， 反比例函数的图象在第一、三象限． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图形性质，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2. 如图，箭头方向为主视方向，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握从左面看到的图形是左视图． 根据左视图的定义和画法进行判断即可． 【详解】解：从左面看，可得到A选项的图形（其中看不见的棱画成虚线）． 故选：A． 3. 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树的处，测得树顶的仰角为，已知测角仪的架高，那么这棵水杉树高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，以及解直角三角形，根据矩形的性质求得，，根据，求得，最后根据，即可解题． 【详解】解：由题易知，四边形为矩形， ，， ，， ， 即，解得（）， （）， 故选：A． 4. 如图，在中，为边上一点，连结、交于点若，则下列说法错误的是（    ） A. B. 与的周长比为 C. 与的面积比为 D. 与的面积比为 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明，由相似三角形的性质依次判断可求解． 【详解】解：， 与的面积比为， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 5. 如图图案的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左面看到的图形判定则可，熟练掌握三视图的定义及正确理解看得到的用实线，看不见但存在用虚线是解题的关键． 【详解】解：由图可知，图案的左视图是， 故选：． 6. 为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A． 【详解】解：sinA＝＝0.25， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为： 故选：A． 【点睛】本题考查了计算器−三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 7. 已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A. 5 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点可得出x1•y1=x2•y2=5，再根据直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1=-x2，y1=-y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点， ∴x1•y1=x2•y2=5， ∵直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴x1=-x2，y1=-y2 ，y1= k x1，y2= k x2， ∴原式=2k x1 x2- k x1 x2= k x1 x2==-5． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x1=-x2，y1=-y2是解答此题的关键． 8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE=5，S△AEC=2S△AOE=10，由S△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度；然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果． 【详解】解：如图所示，连接EC， 由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线， ∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5， ∴S△AEC=2S△AOE=10， ∴AE•BC=10，又BC=4， ∴AE=5， ∴EC=5， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE==3， ∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°， ∴B、C、O、E四点共圆， ∴∠BOE=∠BCE， ∵OE为AC中垂线， ∴∠EAO=∠ECO， 代入上式得：∠BOE=∠BCE， ∴sin∠BOE=sin∠BCE=， 故选：C． 【点睛】本题是几何综合题，考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、三角函数的定义等知识点，有一定的难度．解题要点有两个：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE． 9. 如图，的三个顶点分别为，，，若反比例函数的图像与有交点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先求得反比例函数图像经过点C时的k值，再求解直线的解析式，然后求得直线与反比例函数图像有相切于一点的k值，进而可求解． 【详解】解：由反比例函数的图像与有交点知， 当反比例函数的图像经过点时，则有， 当反比例函数的图像经过点时，则有， 此时反比例函数为，则点也在此反比例函数图像上， 设直线的解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与反比例函数的图像相切于一点， 故当时，反比例函数的图像与有交点， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图像上点的坐标特征、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数图像的交点问题、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，分别求得反比例函数图像经过C点和直线相切于一点的k值是解答的关键． 10. 设M为抛物线的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过M作于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】如图，以M为原点建立新坐标系．过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，于点H，交y′轴于点G，设交y′轴于点K．首先证明直线经过定点，判断出点C的运动轨迹，可得结论． 【详解】解：如图，以M为原点建立新坐标系．过点B作轴于点E，过点A作轴于点D，于点H，交y′轴于点G，设交y′轴于点K． 则抛物线在新坐标系下的解析式，顶点．设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点C的运动轨迹是以为直径的圆， ∴当点C在的右边侧，到轴的距离为时，点C到y轴的距离最大，最大值为． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建新平面直角坐标系解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 若反比例函数的图象过点，则常数_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴； 故答案为：． 12. 如图，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数，先根据勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形，再求即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：． 13. 已知点，是反比例函数图象上的两个点，，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据确定反比例函数分布的象限及在每个象限内的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴双曲线分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵． ∴， 故答案为：． 14. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_____m（结果保留整数，≈1.73）． 【答案】300 【解析】 【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可． 【详解】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°， ∴BD= AD•tan45° =110（m）， ∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°， ∴CD=AD•tan60°=110×≈190（m）， ∴BC=BD+CD=110+190=300（m）， 即该建筑物的高度BC约为300米， 故答案为：300． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 15. 如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，点的对应点为，点C位于处，若点B的对应点的横坐标为3，则点B的横坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作轴于，过作轴于，过作轴于，过作轴于，则，，证明，则，即，由位似的性质可得，同理可证，则，即，解得，可知点横坐标为，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，过作轴于，过作轴于， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 由位似的性质可得， 同理可证， ∴，即，解得， ∴点横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）将绕着顺时针旋转得到，请画出，并写出的坐标； （2）以原点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，相似比为，并写出的坐标． 【答案】 解：（1）如图，是所画的图形，； （2）如图，是所画的图形，． 【解析】 【分析】（1）直接利用旋转的性质找出对应点位置，进而作图并解答； （2）直接利用位似图形的性质找出对应点位置，进而作图并解答． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的混合运算． （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再运算乘方，乘法，最后运算加法，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，中，是上一点，，为上一点． （1）求证：； （2）若，，，，求、的长． 【答案】（1） 证明：，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得结论； （2）由相似三角形的判定定理可得，即可求解． 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ． ， ， ， ． 19. （1）解方程； （2）解方程：； （3）计算：； （4）计算： 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）本题考查解一元二次方程，因式分解法解方程即可； （2）本题考查解一元二次方程，因式分解法解方程即可； （3）本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入求值即可； （4）本题考查实数的混合运算，先化简各数，再进行加减运算即可． 【详解】解：（1） 或 ∴； （2）原方程可变形为 或 ∴； （3）原式 ； （4）原式 ． 20. 如图，一次函数的图像交坐标轴于两点，交反比例函数的图像于两点，，． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式． （2）观察图像，直接写出时的取值范围． （3）求的面积． 【答案】（1）一次函数表达式为：，反比例函数表达式为： （2）或 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）由图象直接写出自变量的取值范围； （3）利用求出即可． 【小问1详解】 解：（1）将点的坐标代入一次函数表达式得：， 解得， 故一次函数表达式为：，将点的坐标代入反比例函数表达式并解得：， 故反比例函数表达式为：； 【小问2详解】 （2）由图象可知，当y1＞y2时的取值范围为或． 【小问3详解】 （3）联立 解得：或， 故点的坐标分别为、； ∵点， ∴＝××＝×2×4＝4； 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，联立方程求交点坐标是关键． 21. 要利用28米长的篱笆和一堵最大可利用长为12米的墙围成一个如图1的一边靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决． （1）这个矩形养鸡场要怎样建面积能最大？求出这个矩形的长与宽； （2）在（1）的前提条件下，要在墙上选一个点，用不可伸缩的绳子分别连接，，点取在何处所用绳子长最短？ 【答案】（1）矩形的长为12米，宽为8米时，矩形茶鸡场面积最大 （2）当为中点时，绳子长最短 【解析】 【分析】（1）设这个矩形的长为米，则宽为米，依题意得，，根据二次函数图象的性质，求解作答即可； （2）由题意知，，如图，作关于的对称点，连接，则，，则，可知当三点共线时，绳子长最短，证明，则，即，解得，由，可得当为中点时，绳子长最短． 【小问1详解】 解：设这个矩形的长为米，则宽为米， 依题意得，， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为96， ∴， ∴矩形的长为12米，宽为8米时，矩形茶鸡场面积最大； 【小问2详解】 解：由题意知，， 如图，作关于的对称点，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，绳子长最短， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴当为中点时，绳子长最短． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，轴对称的性质．解题的关键在于根据题意正确的表示矩形的面积，明确绳子长最短时的情况． 22. 如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出的值，由此即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 23. 如图1，圆规两脚形成的角称为圆规的张角．一个圆规两脚均为，最大张角，你能否画出一个半径为的圆？请借助图2说明理由．（参考数据：，，，，，） 【答案】能够画出一个半径为的圆 【解析】 【分析】本题考查三角函数，熟悉三角函数的定义是解本题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出的度数，过点A作于点D，根据锐角三角函数的定义可求出的长，故可得出结论． 【详解】解：过点A做交于点D． ， ， 在直角三角形中， ，．　　 ∴能够画出一个半径为的圆． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度9年级12月份数学考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 反比例函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，箭头方向为主视方向，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树的处，测得树顶的仰角为，已知测角仪的架高，那么这棵水杉树高是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为边上一点，连结、交于点若，则下列说法错误的是（    ） A. B. 与的周长比为 C. 与的面积比为 D. 与的面积比为 5. 如图图案的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线（，k是常数）与双曲线交于点，两点，则的值为（　　　） A. 5 B. 0 C. D. 8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的三个顶点分别为，，，若反比例函数的图像与有交点，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 10. 设M为抛物线的顶点，点A、B为该抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过M作于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　） A. B. C. D. 2 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 若反比例函数的图象过点，则常数_______． 12. 如图，________． 13. 已知点，是反比例函数图象上的两个点，，则_____．（填“”“”或“”） 14. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_____m（结果保留整数，≈1.73）． 15. 如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，点的对应点为，点C位于处，若点B的对应点的横坐标为3，则点B的横坐标为___________． 三、解答题 16. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）将绕着顺时针旋转得到，请画出，并写出的坐标； （2）以原点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，相似比为，并写出的坐标． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，中，是上一点，，为上一点． （1）求证：； （2）若，，，，求、的长． 19. （1）解方程； （2）解方程：； （3）计算：； （4）计算： 20. 如图，一次函数的图像交坐标轴于两点，交反比例函数的图像于两点，，． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式． （2）观察图像，直接写出时的取值范围． （3）求的面积． 21. 要利用28米长的篱笆和一堵最大可利用长为12米的墙围成一个如图1的一边靠墙的矩形养鸡场，在围建的过程中遇到了以下问题，请你帮忙来解决． （1）这个矩形养鸡场要怎样建面积能最大？求出这个矩形的长与宽； （2）在（1）的前提条件下，要在墙上选一个点，用不可伸缩的绳子分别连接，，点取在何处所用绳子长最短？ 22. 如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图1，圆规两脚形成的角称为圆规的张角．一个圆规两脚均为，最大张角，你能否画出一个半径为的圆？请借助图2说明理由．（参考数据：，，，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $