5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数的平方关系与商数关系，课堂导入通过问题链驱动，从“相同角三角函数值是否有关”出发，结合终边位置讨论与勾股定理推导，衔接三角函数定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题探究培养数学思维，通过分情况讨论终边位置发展逻辑推理，结合求值、化简、证明等题型强化数学语言表达，如例1知正弦求余弦正切、例2齐次分式求值。学生能提升运算与应用能力，教师可直接利用系统题型设计优化教学。

5.2 三角函数的概念 第五章 三角函数 5.2.2 同角三角函数的基本关系 一 二 三 学习目标 能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；掌握三种基本关系式之间的联系 熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法； 根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明 学习目标 问题1 相同角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 问题2 当角α的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？ O x y 问题3 当角α的终边在坐标轴上时，关系式是否还成立？ 过P作x轴的垂线，交x轴于M，则∆OMP是直角三角形. 由勾股定理，有MP2+OM2=OP2 因此，y2+x2=1，即 问题2 当角α的终边不在坐标轴时，正弦、余弦之间的关系是什么？ O x y 问题3 当角α的终边在坐标轴上时，关系式是否还成立？ 当角α的终边在x轴上时, 当角α的终边在y轴上时, 对于任意角α(α∈R)，都有 结论： 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 新知探究 同角三角函数的平方关系 对于任意角α(α∈R)，都有 结论： 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 1.同角三角函数的平方关系 思考1 这个商的关系对任意角都成立吗？ 问题4 观察并思考任意角α的sinα、cosα、tanα这三者有什么样的关系？ 思考1 这个商的关系对任意角都成立吗？ 问题4 观察并思考任意角α的sinα、cosα、tanα这三者有什么样的关系？ 当 时，有 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 同角三角函数的商数关系 当 时，有 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. 2.同角三角函数的商数关系 （3）sin2α与sinα2之间的区别：前者是(sinα)2的简写，是α的正弦的平方，读作“sinα的平方”，后者是α的平方的正弦，两者是截然不同的。 对同角三角函数的基本关系式的理解 （1）同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”,而sin2α+cos2β=1不一定成立. “同角”与角的表示形式无关,如 成立，这里的同角是指 . 一般地，公式中的角可以是具体值，也可以是变量，可以是单项式形式表示的角，也可以是多项式形式表示的角. （2）同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立，而 仅对 成立. 问题5 对于平方关系 和商数关系 可作哪些变形？ 先定位（判象限、定正负） 后定量（定公式） 分类讨论！ 一、求值 一、求值 例2 已知tan x＝2，求下列各式的值. (4)sinxcosx； (5)sin2x－sinxcosx－cos2x； 构造齐次分式求值 (2)sin2α＋sin αcos α＋1. 一、求值 一、求值 练4 已知sinα+cosα=，α∈(0,π),求tanα的值. 练5 已知sinα+2cosα=，α∈R,求tanα的值. 一、求值 例4 化简： 二、化简 今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式. 三、恒等式证明 例5 练6 证明: = 练7 证明: = 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 同角三角函数关系式 常见题型、解法及注意问题 求三角函数值 化简三角函数式 证明恒等式. 学习小结 平方关系 商数关系 练3 已知＝－1，求下列各式的值. (1)tan α； 例3 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求下列各式的值 (1)sin θcos θ (2)sin θ－cos θ (3)sin2αtan α＋＋2sin αcos α. (1)－； (2)； $