5.2.2 同角三角函数的基本关系课件（第三课时）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系的第三课时，核心内容为三角函数式化简与三角恒等式证明，通过承接前两课时平方关系、商数关系，以例1分情况化简、例2“1的代换”证明等构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于运用“化切为弦”“分类讨论”等方法，结合α象限对化简的影响培养数学思维，以规范符号表达（如绝对值处理、公式变形）强化数学语言。分层练习（巩固训练、小试牛刀）助力学生推理与运算能力提升，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

5.2.2 同角三角函数的基本关系 （第三课时） 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 题型一 ——化简 【分析】　用同角三角函数关系式化简. 探究1 (1)解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有： ①化切为弦，即把正切函数化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的. ②对于含有根号的，常把根号内的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. ③对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 探究1 (2)三角函数式化简的结果应满足下述要求： ①函数的种类尽可能少. ②次数尽可能低. ③项数尽可能少. ④尽可能不含字母. ⑤尽可能地将根号中的因式移到根号外. 巩固训练 cos 5－sin 5 1 题型二 ——证明三角恒等式 【分析】　利用“1”的代换，将左边分子、分母中的1均替换为sin2x＋cos2x，从而使分子化为完全平方的形式，分母化为平方差的形式，进而可化简，以便向右式转化.也可以切化弦，从右往左证. 探究2 (1)证明三角恒等式的基本途径一般有三种： ①变换等式的一边，直至与另一边相等. ②变换等式的两边，使两边都等于第三式. ③证明一个与原等式等价的新的等式成立. 化简过程可从三个角度：即函数名称、角度、式子结构的差异入手展开. 探究2 (2)证明三角恒等式的基本原则： ①证明三角恒等式实际上就是消除差异的过程，其基本原则是化异角为同角，化异名为同名，化异次为同次. ②证明三角恒等式一般从较繁琐的一边入手，由繁到简. ③证明含有弦和切的三角恒等式，一般要化切为弦. 巩固训练 巩固训练 (2)求证：sin4x＋cos4x＝1－2sin2xcos2x. 【证明】　∵sin2x＋cos2x＝1， ∴(sin2x＋cos2x)2＝1， 即sin4x＋cos4x＋2sin2xcos2x＝1， ∴sin4x＋cos4x＝1－2sin2xcos2x. 小试牛刀 √ 小试牛刀 √ 小试牛刀 3 小试牛刀 小试牛刀 －1 感谢观看与聆听 THANKS 【解析】　(1)原式＝eq \f(sin2αsin α,cos α)＋eq \f(cos2αcos α,sin α)＋2sin αcos α＝eq \f(sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α,sin αcos α)＝eq \f(1,sin αcos α). 例1　化简下列各式. (1)sin2αtan α＋cos2α·eq \f(1,tan α)＋2sin αcos α； (2)eq \r(1－2sin αcos α)＋eq \r(1＋2sin αcos α) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)))； 【解析】　(2)原式＝eq \r(sin2α＋cos2α－2sin αcos α)＋eq \r(sin2α＋cos2α＋2sin αcos α) ＝eq \r((sin α－cos α)2)＋eq \r((sin α＋cos α)2) ＝|sin α－cos α|＋|sin α＋cos α|， 当0<α<eq \f(π,4)时，原式＝cos α－sin α＋sin α＋cos α＝2cos α； 当α＝eq \f(π,4)时，原式＝eq \r(2)； 当eq \f(π,4)<α<eq \f(π,2)时，原式＝sin α－cos α＋sin α＋cos α＝2sin α. (3)eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))－eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α))(其中α为第三象限角). 【解析】　(3)因为α为第三象限角， 所以－1<sin α<0，－1<cos α<0， 所以1＋sin α>0，1－sin α>0. 则eq \r(\f(1＋sin α,1－sin α))－eq \r(\f(1－sin α,1＋sin α)) ＝eq \r(\f((1＋sin α)2,(1－sin α)(1＋sin α)))－eq \r(\f((1－sin α)2,(1－sin α)(1＋sin α))) ＝eq \f((1＋sin α)－(1－sin α),|cos α|)＝eq \f(2sin α,－cos α)＝－2tan α. (1)化简eq \r(1－2sin 5cos 5)＝____________. (2)化简tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角. 【解析】　∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. 故tan αeq \r(\f(1,sin2α)－1)＝tan αeq \r(\f(1－sin2α,sin2α)) ＝tan αeq \r(\f(cos2α,sin2α))＝eq \f(sin α,cos α)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cos α,sin α))) ＝eq \f(sin α,cos α)·eq \f(－cos α,sin α) ＝－1. (3)已知α为第二象限角，则eq \f(2sin α,\r(1－cos2α))＋cos α·eq \r(1＋tan2α)的值是________. 【解析】　∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴eq \f(2sin α,\r(1－cos2α))＋cos αeq \r(1＋tan2α)＝eq \f(2sin α,sin α)＋cos αeq \r(\f(1,cos2α))＝2＋cos αeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,cos α)))＝2－1＝1. 例2　求证：eq \f(1＋2sin xcos x,1－2sin2x)＝eq \f(1＋tan x,1－tan x). 【证明】　方法一(“1”的代换)： ∵左边＝eq \f(sin2x＋cos2x＋2sin xcos x,sin2x＋cos2x－2sin2x) ＝eq \f((sin x＋cos x)2,cos2x－sin2x) ＝eq \f((cos x＋sin x)2,(cos x＋sin x)(cos x－sin x)) ＝eq \f(cos x＋sin x,cos x－sin x)＝eq \f(1＋tan x,1－tan x)＝右边，∴等式成立. 方法二(切化弦)： ∵右边＝eq \f(1＋\f(sin x,cos x),1－\f(sin x,cos x))＝eq \f(cos x＋sin x,cos x－sin x) ＝eq \f((cos x＋sin x)2,(cos x－sin x)(cos x＋sin x)) ＝eq \f(cos2x＋2sin xcos x＋sin2x,cos2x－sin2x) ＝eq \f(1＋2sin xcos x,1－sin2x－sin2x)＝eq \f(1＋2sin xcos x,1－2sin2x)＝左边， ∴等式成立. (1)求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan θ)))＝eq \f(1,sin θ)＋eq \f(1,cos θ). 【证明】　左边＝sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin θ,cos θ)))＋cos θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cos θ,sin θ)))＝sin θ＋eq \f(sin2θ,cos θ)＋cos θ＋eq \f(cos2θ,sin θ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin θ＋\f(cos2θ,sin θ)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2θ,cos θ)＋cos θ))＝eq \f(sin2θ＋cos2θ,sin θ)＋eq \f(sin2θ＋cos2θ,cos θ)＝eq \f(1,sin θ)＋eq \f(1,cos θ)＝右边，∴等式成立. 1.若α为第三象限角，则eq \f(cos α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cos2α))的值为(　　) A.3　　　　　　　　　 B.－3 C.1 D.－1 2.已知eq \f(cos x,sin x－1)＝eq \f(1,2)，则eq \f(1＋sin x,cos x)等于(　　) A.eq \f(1,2) B.－eq \f(1,2) C.2 D.－2 解析　因为eq \f(cos x,sin x－1)＝eq \f(1,2)， 所以eq \f(1＋sin x,cos x)＝eq \f((1＋sin x)(1－sin x),cos x(1－sin x))＝eq \f(1－sin2x,cos x(1－sin x))＝eq \f(cos x,1－sin x)＝－eq \f(1,2). 3.已知cos θ＝eq \f(1,3)，则sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan θ＋\f(1,tan θ)))的值为________. 解析　原式＝sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin θ,cos θ)＋\f(cos θ,sin θ)))＝sin θ·eq \f(sin2θ＋cos2θ,cos θsin θ)＝eq \f(1,cos θ)＝3. 解析　2sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－eq \f(1,2)， 原式＝eq \f(sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α),(1＋sin α)(1－sin α)) ＝eq \f(sin α(－2sin α),1－sin2α)＝eq \f(－2sin2α,cos2α)＝－2tan2α＝－eq \f(1,2). 4.若2sin α＋cos α＝0，则eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)＝________. －eq \f(1,2) 5.eq \f(\r(1－2sin 10°cos 10°) ,sin 10°－\r(1－sin210°))＝________. 解析　∵0°<10°<45°，∴0<sin 10°<cos 10°， ∴原式＝eq \f(|sin 10°－cos 10°|,sin 10°－cos 10°)＝eq \f(cos 10°－sin 10°,sin 10°－cos 10°)＝－1. $