5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦同角三角函数的基本关系，核心内容为平方关系（sin²α+cos²α=1）和商数关系（tanα=sinα/cosα）。课堂导入通过回顾直角坐标系中三角函数定义，结合特殊角值表格观察规律，再进行代数证明，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接三角函数定义与关系推导。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过特殊角实例验证、代数严格证明建立公式，例题涵盖已知三角函数值求其他值、齐次式化简、sin±cosθ整体代换等类型，体现数学运算素养。小结系统梳理关系及变形，帮助学生构建知识网络，教师可直接用于课堂教学，提升学生解题能力和思维严谨性。

第5章 三角函数 5. 2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标：1.理解与掌握同角三角函数的基本关系（平方关系与商数关系）（数学抽象）； 2.能灵活地运用同角三角函数的基本关系处理相关的实际问题（逻辑推理、数学运算）. 教学重点：同角三角函数的基本关系. 教学难点：同角三角函数的基本关系的理解与运用. 教学目标 x y P(x,y) o 一.同角三角函数的基本关系 观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 （一）平方关系 一.同角三角函数的基本关系 + + + 2.总结：由上探究可知——同一个角 α 的正弦与余弦的平方和等于1. 证明平方关系： 证明：∵ ∴ 故 成立 一.同角三角函数的基本关系 观察下表，你能发现什么？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 2、商数关系 一.同角三角函数的基本关系 2.总结：由上探究可知——同一个角 α 的正弦与余弦的商等于角 α 的正切. 证明商数关系 ： 证明：∵ ∴ =tanα 故 成立 一.同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系 (1) (2) 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切. 平方关系 商的关系 注意： 一.同角三角函数的基本关系 8 平方关系 商数关系 变形 变形 补充： 一.同角三角函数的基本关系 注意事项： 1. 公式中的角一定是同角，否则公式可能不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 一.同角三角函数的基本关系 【例1】 已知的值. 一.同角三角函数的基本关系 解：因为sin α<0，sin α≠-1，所以α是第三或第四象限角 由sin2α+cos2α=1得 cos2α=1-sin2α=1- 如果α是第三象限角，那么cos α<0.于是cos α=-， 从而tan α= 课本练习（第184页） 课本练习（第184页） 【例2】已知tan α=-4，求的值. =. 解 一.同角三角函数的基本关系 总结：已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 ①对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值. ②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α+cos2α，转化为形如的式子求值. 14 一.同角三角函数的基本关系 【变式】已知=-1，求sin2α+sin α·cos α+1的值. 方法一　(弦化切) 由=-1，得tan α=1， 所以sin2α+sin αcos α+1== ===2. 方法二　因为=-1，所以sin α=cos α， 所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2. 【例3】已知sin θ+cos θ=0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 因为sin θ+cos θ=0<θ<π)，所以(sin θ+cos θ)2= 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=所以sin θcos θ=- 所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ-cos θ>0， 所以sin θ-cos θ==. 解 二.sin θ±cos θ型求值问题 16 已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有 (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ； (2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ； (3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2； (4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ+cos θ，sin θ-cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 二.sin θ±cos θ型求值问题 17 【变式】若sin θ-cos θ=则tan θ+=　　. 由已知得(sin θ-cos θ)2=2， ∴sin θcos θ=- ∴tan θ+=-2. 解析 -2 二.sin θ±cos θ型求值问题 18 【例4】求证： 三 .利用同角三角函数的基本关系化简和证明 方法一　由cos x≠0，知sin x≠-1，所以1+sin x≠0，于是 左边====右边. 所以，原式成立. 方法二　因为(1-sin x)(1+sin x)=1-sin2x=cos2x=cos xcos x， 且1-sin x≠0，cos x≠0，所以 （1）cos tan （2） (3)(1+tan2α)cos2α 三 .利用同角三角函数的基本关系化简和证明 课本练习（第184页）第4题 求证：sin4α+sin2αcos2α+cos2α=1 三 .利用同角三角函数的基本关系化简和证明 课本练习（第184页）第5题 课堂小结 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α+cos2α= ； 商数关系：= .  这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. 1 tan α $