精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 满分150分 时间：120分钟 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知函数，则（ ） A. 10 B. 2 C. 1 D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 角终边过点，则（ ） A B. C. D. 5. 已知则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 两个正实数x，y满足，的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 在中，其面积为1，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的是（） A. B. 的取值范围 C. 的取值范围是 D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 指数函数的图象经过点___________. 13. 若，则___________. 14. 所对的三边为，则的最小值___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 函数. （1）求函数的周期和对称轴； （2）求函数在的值域. 16. 已知函数的图象过点. （1）求解析式； （2）解不等式. 17. 中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. （1）求角； （2）求边 18. 已知函数 （1）解不等式：； （2）求值：（i）； （ii）； （3）若满足满足，求 19. 已知函数，其中. （1）若，求图象的对称中心； （2）记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 满分150分 时间：120分钟 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】令， 所以. 故选：D 2. 已知函数，则（ ） A. 10 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求解即可. 【详解】函数，则. 故选：B 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式把余弦化为正弦，再利用余弦和角公式计算求解． 【详解】， ，故C正确． 故选：C． 4. 角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角正余弦函数值的定义求出正余弦值，代入计算即可. 【详解】因为角终边过点，所以， . 所以. 故选：A. 5. 已知则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性判断即可. 【详解】由，， 则，且， 所以. 故选：B 6. 两个正实数x，y满足，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式及“1”的代换求值即可. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 7. 函数在上恰有两个零点，实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的取值范围求出的取值范围，再结合正弦函数的零点性质，确定的取值范围，进而求出结果. 【详解】因为，所以. 因为函数在上恰有两个零点，而的零点为. 所以在这个区间内，的取值范围应该满足. 解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 在中，其面积为1，的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据条件得出，再利用余弦定理可得，再结合辅助角公式和三角函数的值域求解. 【详解】设，则由题意可知，，， 则， 由余弦定理可得， ， 则， 即，其中， 则，得， 当时，，得，则，， 故的最小值为. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 则， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以，，，， 所以， 即， 两边同时除以， 得，即，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，由B可知，故D错误. 故选：AB. 10. 已知，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，求得，结合，可得，即可判断A；对于B，求得，结合，可得，即可判断B；对于C，由A，B可得，由商数关系可得，即可判断C；由C即可判断D. 【详解】解：对于A，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由A，B可得， 所以，故C正确； 对于D，由C可知，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的是（） A. B. 的取值范围 C. 的取值范围是 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】作出函数的图象，的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，由有个零点，可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点，分别讨论，，，，这几种情况求解；由题意得到，再由函数性质可求解；由得到，结合图象可知，同理，，，，，，的值，代入所求即可得解. 【详解】将函数的图形关于轴对称过去， 并将轴下方部分的图象翻折到轴上方，即可得到的图象， 的最小正周期，故在上有个周期， 设，解得， 故的图象的对称轴方程为， 由此作出函数的图象，如图： 的零点个数问题， 转化为的图象与直线的交点个数问题， 由有个零点， 可知函数的图象与直线有个交点，即偶数个交点， 由图象可知，当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，不合题意； 当时，的图象与直线有个交点，符合题意； 故选项A正确； 由题意可知，，则， 即， ，， 由对勾函数的性质可得函数在上单调递减， 所以的取值范围为，故选项B错误； 当时，或， 解得或，从图中可知， 由选项A中的分析可知，故，从图象可知关于直线对称，故， 所以,所以，故选项C错误； 同理，，，，， ，，故 ，故选项D正确； 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 指数函数的图象经过点___________. 【答案】81 【解析】 【分析】设指数函数，且，代入点可得，即可得结果. 【详解】设指数函数，且， 因为指数函数的图象经过点，则， 即，可得， 则，所以. 故答案为：81. 13. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式直接求解即可. 【详解】由， 则 . 故答案为：. 14. 所对的三边为，则的最小值___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等式得出值域，构造函数利用函数单调性求最小值． 【详解】， ，故， 由正弦定理得， ，故， 由余弦定理得，又， ，故， ， ，，， （，）， 令，，则，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， ． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 函数. （1）求函数的周期和对称轴； （2）求函数在的值域. 【答案】（1）周期为，对称轴为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数周期和对称轴公式进行计算即可. （2）根据定义域的范围和正弦函数的性质求出值域即可. 【小问1详解】 因为函数，所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称轴为. 【小问2详解】 因为，所以. 所以，所以. 所以函数在的值域为. 16. 已知函数的图象过点. （1）求的解析式； （2）解不等式. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入，利用指对互化求解； （2）利用对数函数的单调性解不等式. 【小问1详解】 由题意可得，，即，得，故； 【小问2详解】 因为函数在上单调递增，且， 所以，得，故不等式的解集为. 17. 中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. （1）求角； （2）求边. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求角； （2）由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边. 【小问1详解】 已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. 【小问2详解】 设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 18. 已知函数 （1）解不等式：； （2）求值：（i）； （ii）； （3）若满足满足，求 【答案】（1） （2）（i）;（ii） （3） 【解析】 【分析】（1）通过换元将对数不等式转化为二次不等式求解，结合定义域得到结果； （2）（i）化简分式后合并得到定值； （ii）利用（i）的结论，将求和项配对计算； （3）通过变量代换，将的方程转化为与方程形式一致的式子，进而推导得结果. 【小问1详解】 ，，不等式为. 设，则，，不等式化为. ，因式分解得，解得或. 代回，得；. 结合且，故，因此不等式的解为. 【小问2详解】 （i），. 则. . （ii）设，由（i）知，对任意，. 2024项共1012对，故. 【小问3详解】 满足；满足，两边除以4得. 令，则，代入得， 两边取以为底的对数得， 即，整理为. 令，则，此式与的方程一致，故，即，因此. 19. 已知函数，其中. （1）若，求图象对称中心； （2）记最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）已知为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称中心； （2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围； （3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案． 【小问1详解】 ， 当时，． 令，得， 所以图象的对称中心为. 小问2详解】 由（1）得，且， 所以，即， 因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象， 所以， 因为，则， 又因为函数在区间上单调递增， 则， 可得，解得， 可得，即， 且，则，所以的取值范围是. 【小问3详解】 由得， 因为，即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，解得． 由余弦定理，即， 可得， 所以． 由正弦定理，得， 则，， 可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 可得，则， 即，可得， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $