几何作图—期末复习专项训练2025—2026学年苏科版九年级数学上册

态度决定基础 思维决定高度 ( 初三 数学期末复习 3 （几何作图 ） ) 1．现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、． （1）沿、剪下，则是 　直角　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角” ；若，则　　． （2）分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【解答】解：（1）是直径，直径所对的圆周角为， 是直角三角形，，故答案为：直角；； （2）如图所示，四边形或四边形即为所求； ． 2．如图，，点、分别在射线、上，，． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹； （2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； （3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积． 【解答】解：（1）作法：①过、分别作、的垂线，它们相交于， ②以点为圆心，为半径作， 则为所作； （2）已知：如图，，点、分别在射线、上，，，过、分别作、的垂线，它们相交于，以为半径作，， 求证：、为的切线； 证明：，，， ，连接，，，，， ，、为的切线； （3），为等边三角形， ，，平分， ， ，劣弧与线段、围成的封闭图形的面积． 3．如图，中，，请你利用尺规在边上求一点，使（不写画法保留作图痕迹），并证明． 【解答】解：如图所示：点即为所求， 是的垂直平分线，交于点， ， ， ， ， ， ． 4．综合与探究用直尺与圆规作图和探究线段的关系． 任务1：如图1，在△和△中，，与相交于点．图中有哪些线段相等？ （1）小明观察得出相等的线段有，，，．小明说“若用圆规验证得到，就可证明其余结论均成立”请判断小明的说法是否正确，并说明理由； （2）在图1中已知，用尺规作射线，垂足为点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 任务2：如图2，射线的端点在直线上．请借助直尺和圆规探究与是否互相垂直． 小颖的方法如图3：在上任取一点，以为边在内部作等边△，延长交于点．若，则，所以． 请从下面的，两题中任选一题作答，我选择或 题． ．请说明小颖的探究方法的合理性． ．请仿照小颖的方法，再设计一种不同的方法探究与是否互相垂直（要求；在图2中尺规作图，保留作图痕迹并描述探究的方法）． 【解答】解：任务（1）小明的说法正确． 理由：如图1中， ， 在△和△中，，△△， ，，，，． （2）射线即为所求； 任务，△为等边三角形， ， ， ， ， ， ． 、在射线、上分别取点和点，以为圆心为半径作弧交于，若，则． 故答案为或． 5．如图，已知，请用尺规作图的方法作菱形，使、、分别在、、上．（不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：如图，作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， 则菱形即为所求． 6．在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图． （1）在上找点，使平分； （2）在上找点，使； （3）在上找点、，使．（1）（2）画在图1中，（3）画在图2中． 【解答】解：（1）如图1，点为所作； （2）如图1，点为所作； （2）如图2，点、为所作． 7．（1）如图1，中，，平分交于点，以为半径作．判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如图2，某湿地公园内有一条四边形型环湖路，．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的，圆心在上且与，相切．求作．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：（1）直线是的切线， 理由：过作于，如图1所示： ，平分交于点，以为半径作，， 直线是的切线； （2）如图2所示：即为所求． 8．如图，，，为水平边，为边上一点． （1）只用圆规在的正上方作一点，使（说明作法，不需要证明）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长度． 【解答】解：（1）如图，线段即为所求． 步骤：分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，即可． 线段即为所求． （2），，，，， ，，． 9．如图，已知△是锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则的半径为 ． 【解答】解：（1）如图直线，即为所求． （2）过点作于．设， ，，垂直平分线段， ， ， ， ，解得，．故答案为：． 10．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，． （1）请用直尺（不含刻度）与圆规在上作一点，使得直线平分的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 【解答】解：（1）如图所示，直线即为所求； （2）如图，为的中位线， ， 是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ，由勾股定理可得，则的面积为． 11．在中，，点在以为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作弦，使． （2）在图2中过点作线段的垂直平分线． 【解答】解：（1）如图，弦即为所求． （2）如图，直线即为所求． 12．已知：如图，点为直线外一点，点为直线上一点． 求作：，使经过点且与直线相切于点． 【解答】解：如图，即为所求． 13．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明想在平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形，他采用了如下的操作步骤：①点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为； ②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ③以点为圆心，长为半径作圆； ④以的长为半径，在上顺次截取； ⑤顺次连接，，，，，得到正六边形． 任务一： （1）请依据上述作法证明六边形是正六边形； 任务二： （2）请你把小明作出的正六边形沿轴的正半轴无滑动地转动，当相邻的顶点落在轴上时，记为转动1次，直接写出转动10次时，点所在位置的坐标． 【解答】（1）证明：如图，连接，，，，，． ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，，是等边三角形， ， ，同理可证， 六边形是正六边形． （2）解：转动10次时，点在轴上，点在点的正上方，，．故答案为，． 14．已知及上一点，过点作的切线．小明设计了如下尺规作法：①连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点；②连接，延长到，使，作直线．则直线即为所求作． （1）请证明小明作法的正确性； （2）请你自己再设计一种尺规作图方法（保留痕迹，不要证明）． 【解答】解：（1） 理由：，是等边三角形，， ，， ， ，， ， 是的切线． （2）如图，直线是的切线． 15．如图，将圆心角为的扇形绕着点按逆时针方向旋转一定的角度后，得到扇形，使得点恰在上． （1）求作点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明过程） （2）连接、、，求证：平分． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）证明：连接， 由旋转的性质可知：， 又， ，即是等边三角形， ，即旋转角为， 由旋转的性质可知： ， ，， ， ， ， 平分． 16．在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在直线上作出一点，使得； （2）如图②，在直线上作出所有的点，使得． 【解答】解：（1）如图①：点即为所求； （2）如图②：点、即为所求． 17．尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图． 【解答】解：方法1：如图，在圆上任取弦，作线段的垂直平分线，与圆分别交于点，，连接，则即为已知圆的一条直径． 方法2：如图，在圆上任取弦，过点作的垂线，交圆于点，连接， 则即为已知圆的一条直径． 18．过点用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线，交两边于、，使得为等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】方法一：作平分，作交于点，交于点，即为所求； 方法二：在上任意取一点，作，过点作直线交于点，作，交于点，交于点，即为所求． 【解答】解：如图，即为所求． 19．（1）证明命题：一边中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．（写出已知、求证和证明步骤） （2）如图，已知点、分别是外和内的两点．请利用直尺与圆规在的边上画出所有的点，使为直角三角形． 【解答】解：（1）已知：如图，线段是的中线，且．求证：是直角三角形． 证明：是的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （2）如图，点，，，，，即为所求． 20．已知：中，， （1）尺规作图：求作的中点，连并延长，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求的余弦值． 条件①：和的面积为和，且； 条件②：和的周长为和，且． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）条件①：中，，为中点，， ， 和的面积为和，且， ， 设，， ， 在中，， ； 条件②：中，，为中点， ， ， 和的周长为和，且， ，即， 设，则， ， 过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， 设，则，，， ， ， 解得，，，， ． 21．五线谱上跳动着美妙的音符，你能在等距的平行线上借助直尺和圆规画出美丽的几何图形吗？ （1）在图①的两条平行线上画一个等腰三角形，使其三个顶点都在平行线上，且有一个内角等于已知角．（画出符合题意的一种即可） （2）在图②的两条平行线上画一个等腰三角形，使其三个顶点都在平行线上，且满足腰：底．（画出符合题意的一种即可） （3）在图③的三条等距平行线上画一个等边三角形，使其三个顶点分别在三条等距平行线上．（画出符合题意的一种即可） （4）在图④的四条等距平行线上画一个正方形，使其四个顶点分别在四条等距平行线上．（画出符合题意的一种即可） （5）“小强”同学声称他在五条等距的平行线上画出了如图⑤所示的正五边形（各边相等各内角也相等的五边形），你同意他的说法吗？请给出你的观点并说明理由． 【解答】解：（1）如图①：在上取点，作等于已知，交于点，在上截取，连接，即为所求； （2）如图②：在上取点，作，交于，在上取，连接，，即为所求； （3）如图③：在上取点，作，交于，作，使在上，连接，即为所求； （4）如图④：在上取点，作，交于，交于，在上取，在上取，过作交于，连接，正方形即为所求； （5）不同意． 理由：假设五边形是正五边形． 如图⑤中，过点作直线于点，过点作直线于点，交直线于点，交直线一点． ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， 直线是正五边形的对称轴， ， ， ， ，与正五边形的内角为矛盾， 假设错误， “小强”同学的说法错误． 22．尺规作图：如图，在的边上求作点，使分别满足以下要求： （1）； （2）． 【解答】解：（1）如图1在中，点即为所求； （2）如图2中，点即为所求． 23．已知，分别是的边，上的点． （1）如图①，，为角平分线上的一点，若，求证：． （2）如图②，若为外一点，求作点，，使得为锐角，，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【解答】 （1）证明：如果1中，过点作于点，于点， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：图形如图2所示：作，平分，类似（1）作，可得 24．如图，已知点在直线外，点在直线上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求保留作图痕迹，不写作法． （1）在图①中，以线段为一条对角线作菱形，使菱形的边落在直线上； （2）在图②中，作，使过点，且与直线相切于点． 【解答】解：（1）如图①，菱形即为所求； （2）如图②，即为所求． 25．如图，平面直角坐标系中，已知点的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与轴和轴的正半轴分别交于点和点，且与关于直线对称．（左图不必写作法，但要保留作图痕迹） （2）请求出（1）中作出的直线的函数表达式． 【解答】解：（1）如图与关于直线对称． （2）作轴于，于． 垂直平分线段，，，设，， ， ，， 则有：，， 解得，， ，，，设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为． 26．（1）如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若在的平分线上，猜想和的数量关系并证明． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）结论：． 理由：过点作于点，于点． 平分， ， 在和中， ， ， ，即． 27．如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 【解答】解：（1）如图点为所求作的点； （2）由（1）作图知，， 在矩形中有，， ， 又， ， ， △△， ， ． 28．证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 已知：如图1，、分别是的边、中点． 求证：，． 下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明． 方法1：延长至点，使，连接； 方法2：过点作交的延长线于； 方法3：过作交于，过作交的延长线于点． 应用： 如图2，、分别是的边、中点，请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线．（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹） 【解答】证明：如图1，延长至点，使，连接， 、分别是的边、中点， ，， 在和中，，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，，，； 应用：如图2，为所作． 29．如图，四边形为矩形． （1）如图1，为上一定点，在上找一点，使得矩形沿着折叠后，点落在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在和边上分别找点，，使得矩形沿着折叠后的对应边恰好经过点，且满足；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）的条件下，若，，则　　． 【解答】解：（1）在上找一点，使得矩形沿着折叠后，点落在边上， 点即为所求； （2）如图所示： 点和即为所求； （3）在（2）的条件下， ，， ， ， ， 得矩形． ， 设的长为，．则，，， ，解得． 解得．故答案为：． 30．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图． （1）如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点，使得过点且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） （2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，，是网格中的四个格点，且． 作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点，使得过点且与相切于点（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 【解答】解：（1）图形如图1所示： （2）图形如图2所示． 31．如图，已知矩形． （1）尺规作图：在上方求作，使得，且点与点关于过点的直线对称：（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求的值． 【解答】解：（1）如图，即为所求作． （2）设交于． 垂直平分线段，， ，，． 32．用没有刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，的边上有一点．过点求作一条直线，使点关于直线的对称点恰好在上； （2）如图2，已知． ①求作：以为一个内角的菱形，使顶点在边上； ②若，，，则①中作出的菱形的面积为　　． 【解答】解：（1）如图1中，直线即为所求． （2）①如图2中，菱形即为所求． ②过点作于，过点作于．，， ，四边形是菱形，，， ， ， ，， ，设，，则，， ，， ，，菱形的面积．故答案为：． 33．如图，在中，，点为上一点，，的外接圆交边于点． （1）作图：只用圆规在弧上作出点，使；（保留作图痕迹，并简要说明作法） （2）连接、，若，，求的值． 【解答】解：（1）如图，点即为所求作． （2），，，，，． 34．如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将△放大得到△；请画出△． （2）在图2中，线段上作点，利用格点作图使得． 【解答】解：（1）将△放大得到△，如图1即为所求； （2）如图2，点即为所求． 35．（1）如图，已知线段和点，利用直尺和圆规作，使点是的内心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在所画的中，若，，，则的内切圆半径是　2　． 【解答】解：（1）如图，即为所求． （2）设内切圆的半径为． ，，，，， ，故答案为2． 36．若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆． 如图①，点是锐角的边上一点，以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上．当半径最大时，半圆为边关联的极限内半圆． 【初步思考】 （1）若等边的边长为1，则边关联的极限内半圆的半径长为　　． （2）如图②，在钝角中，用直尺和圆规作出边关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）． 【解答】解：（1）如图，设边关联的极限内半圆与相切于点，连接，． ，，，，故答案为． （2）如图②中，半圆即为所求． 37．如图1，在中，，，，点在的延长线上，且，分别过点作交的延长线于点，连接，交于点， （1）求的长，并证明； （2）如图1，在射线上只用圆规作一点，使得（保留作图痕迹，并简要说明作法）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，分别取、的中点、，动点在上运动，求的最小值 【解答】解：（1）由题意知：，，又， ，，由勾股定理得：， ， ， 由勾股定理得：，即，解得：； ，，是线段的垂直平分线，； （2）满足条件的点如图所求，且； ，， ， ， ， ， ， ， 所以是等腰三角形，且腰长为8， 于是以为圆心，为半径画弧交射线于点，则有， （3）取的中点，连接，，如图所求， ，， 平分， 、分别为，的中点， ， ， 当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长； 在中，由勾股定理得，， ，； 在中，由勾股定理得，， ，分别为，的中点，，即的值最小为． （1）如图1，点是等腰底边的中点，是上一点，请在上作出点，使； （2）如图2，为的内接三角形，请在，上分别作出点，，使； （3）如图3，六边形为正六边形，在上取一点，使． 【解答】解：（1）如图，线段即为所求作． （2）如图，线段即为所求作． （3）如图，点即为所求作． 39．如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿着直线折叠，得到． （1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点，使平分，并求出此时的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法． （2）连接并延长交线段于点，则的最大值为 　1　．（直接写出答案） 【解答】解：（1）如图，点即为所求作． 过点作于，由作图可知，，，． （2）如图2中，由题意，，可知点的运动轨迹是， 当与相切时，的值最大，此时，重合， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最大值． 故答案为：1． 40．如图，在△中，，以为直径作分别交、于、两点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）求作：过点作的切线，交于点． （要求：利用圆规及无刻度直尺作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【解答】（1）证明：连接，如图， 为的直径，，，，； 解：连接，如图， ，， ， ， ． 四边形为圆的内接四边形，，， △△，，，，； （3）解：1．连接， 2．过点作，交于点，如图， 则为圆的切线． 41．【概念认识】 若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点． 【数学理解】 （1）如图①，是的直径，点为外一点，连接交于点，．求证：点为的径等点． （2）已知是的直径，点为的径等点，连接交于点，若．求的值． 【问题解决】 （3）如图②，已知是的直径．若点为的径等点，连接交于点，．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】（1）证明：如图 ①，连接， 是的直径，， ，垂直平分，，即△为等腰三角形，点为的径等点． （2）①如图②，当时，若，则，． ②如图②，当时，易证△△，， ，设，则，，，． （3）如图③④，满足条件的点共有4个． 42．已知及外一点． （1）方法证明：如何用直尺和圆规过点作的一条切线呢？小明设计了如图①所示的方法： ①连接，以为直径作； ②与相交于点，作直线． 则直线即为所作的过点的的一条切线． 请证明小明作图方法的正确性． （2）方法迁移：如图②，已知线段，过点作一条直线与相交，且该直线被所截得的弦长等于．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） 【解答】（1）证明：如图1中，连接．是直径，，， 是的切线． （2）解：作法：在大圆上取点，截取线段，交大圆于点， 作的垂直平分线，垂足为， 以点为圆心，为半径作小圆， 连接，以为直径作圆， 交小圆于点， 连接，并延长到，与大圆交于点、， 因为是的直径， 所以．则，垂足为， ， 线段． 43．如图，已知矩形，，，点为线段任一点． （1）若，请在图中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点； （2）若符合（1）中要求的点必定存在，则的取值范围是 　　 ． 【解答】解：（1）作等边△，△，交于，以为圆心为半径画圆交于，，点、即为所求； （2）当与重合时，点是矩形的中心，此时， 当点与重合时，，满足条件的的值为．故答案为：． 44．如图，、、、是直线上的四点，，，． （1）求证：△△； （2）点、分别是△、△的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是 　，　 ． 【解答】（1）证明：，，， 在△和△中，，△△； （2）解：①如图，点即为所求； ②与的关系是：，，理由如下： △△，，点、分别是△、△的内心， 平分，平分，，， ，，△△，，△△， ，点、分别是△、△的内心，， 四边形是平行四边形，，．故答案为：，． 45．如图，在等边中，点、分别在、边上． （1）在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点． （2）若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明． 【解答】解：（1）①以为圆心，为半径作弧，交于点， ②作的外接圆，交于、， 如图，点、即为所求； （2）如图，，，在等边中，， ，，△，， 设， ，，，只能作出唯一的点， 该方程有两个相等的实数根，△，． 46．如图，菱形中，，为对角线，是边延长线上一点，连接． （1）在线段上求作点，使得（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图条件下，直线交直线与点，求证：，，三点共线． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （可以尺规作出的外接圆与的交点；还可以记与交于点，在上截取，连接交于点． （2）证明：如图， 四边形是菱形，，，， ，，又，， ，为对角线，， ，，，，， ，，在中，， ，，， ，，三点共线． 47．已知四边形，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，连接，在边上作出一个点，使得； （2）如图②，在边上作出一个点，使得． 【解答】解：（1）如图①，点即为所求． （2）如图②，点即为所求． 48．（1）如图1，已知垂直平分，垂足为，与相交于点，连接．求证：． （2）如图2，在中，，为的中点． ①用直尺和圆规在边上求作点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，如果，那么是的中点吗？为什么？ 【解答】（1）证明：如图1中， 垂直平分线段，，，，． （2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求． 理由：垂直平分， ，， ， ， 点即为所求． ②结论：是的中点． 理由：设交于． ，，，，，， ，，，，， ，，，是的中点． 49．（1）如图1，在中，，，，为边上一点，．求证：平分． （2）如图2，矩形中，，，点是边上一点，，连接，请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 【解答】（1）证明：如图1，过点作于点，在中，， ，， ，，， 在中，根据勾股定理，得，设，则， ，，解得，， 在和中，，，，平分； （2）解：如图2，点即为所求． 作法：①作，交于点， ②作，交于点． 理由：，， ． 50．操作探究题 （1）已知是半圆的直径，是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角． 操作：如图1，分别将半圆的圆心角取1、4、5、所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？ 探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由． （2）如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【解答】解：（1）操作：交流：，或； 探究：设，解得为非负整数）． 或设，解得为正整数）． 所以对于正整数不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分； （2） 51．如图，在中，． （1）作出经过点，圆心在斜边上且与边相切于点的（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设（1）中所作的与边交于异于点的另外一点，若的直径为5，；求的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问） 【解答】解：（1）如图所示； （2）作于．是的切线，，， 四边形是矩形，，，在中，， ，，，，， ，，． 52．如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图中的圆中作出圆心和弧的中点； （2）在图中的弧上找一点，使；（3）在图中的弧上找一点，使． 【解答】解：（1）取网格点，连接、、，与交于点，结合网格图直接标出的中点，连接，并延长交圆于点，如图， 圆心和弧的中点即为所求． 证明：根据网格图可知：，，， 即有：，是直角三角形， ，即是圆的直径，利用勾股定理可得：，， 结合，可得四边形是矩形，对角线与的交点是的中点， 即点是圆心，点是的中点，，根据垂直定理可得：， 即弧的中点为点； （2）取网格点、，连接，连接交圆于点，如图， 点即为所求．证明：根据网格图，结合勾股定理可知：，， ，即是直角三角形，，是等腰直角三角形，； （3）取网格点，连接，交圆点，如图， 点即为所求． 证明：再取网格点、，连接，与交于点， 根据（1）可知是圆的直径， 结合网格图可知：在中，，在中，，， 中，，，，， 根据垂径定理可知：，． 53．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称线段被点黄金分割，点为线段的黄金分割点，与的比称为黄金比，它们的比值为．请完成下面的问题： （1）如图②，，点在边上，．请在边上用无刻度的直尺和圆规作出点，使得与的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图③，在中，，若，请你求出的度数． 【解答】解：（1）由题意得，，可得， 先作线段的垂直线平分线，交线段于点，再过点作的垂线， 以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接， 可得，则， 然后以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点， 最后以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点， 此时． 如图②中，点即为所求． （2）在底边上截取，连接， ，，，，， ，又，，设，， ，，； 54．如图，在△中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点． （1）①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②证明：．（2）若，，求的长． 【解答】（1）①解：过点作的切线，如图即为所求； ②证明：在△中，，以中点为圆心，长为半径作，如图，连接， ，，，与相切，， ，，即． （2）解：是的直径，，，如图，连接，，， ，，，为中点，为中点， ，，，△△，，． 55．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、、三个格点都在圆上，点是此圆内的一个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）画出该圆的圆心； （2）画出上的点，使长最小； （3）画出格点，使为的一条切线，并画出过点的另一条切线，切点为．（只需要画出满足条件的一个点和一个点即可） 【解答】解：（1）延长交圆于点，连接，过作，交圆于点，，的交点即为圆心，如图所示，点即为所求； （2）如图，连接并延长，交于点，即为所求，，当，，三点共线时，最小； （3）如图所示，，即为所求； 56．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【初步体验】 （1）如图1，在△中，点、在上，、在上，．若，，，则　3　 ，　　 ，　　 ． （2）学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图2，再将图2沿着对角线对折一次，得到图3，对角线分别与折痕、、的交点、、即为对角线的四等分点．请在图3中画出的三等分点（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】用尺规作图将线段三等分已知：线段，如图4． 求作：点、点，使点、在线段上，且． 作法：①作射线．（如图 ②在射线上依次截取线段、、，使，连接． ③分别过点、作平行于的直线交于点、．则点、为所求的点． 【问题解决】 （3）已知：如图6，是△的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点，并证明：．（不写作法，保留作图痕迹） （4）已知：图7在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点的坐标． 【解答】解：（1），，，， ，故答案为：3，，； （2）①作射线． ②在射线上依次截取线段、、，使，连接． ③分别过点、作平行于的直线交于点、．则点、为所求的点，如图，点，即为线段的三等分点； （3）如图，点即为所求，证明如下： 连接，点，分别为线段，的中点，是△的中位线，， ，； （4）根据题意得，线段的三等分点的坐标为，即； 或，即；点的坐标为或． 57．已知：△中，为边上的一点． （1）如图①，过点作交边于点．若，，，求的长； （2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图③，点在边上，连接、．若，△的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【解答】解：（1）如图①中，，△△，，， ； （2）如图②中，点即为所求． 解法二：过点作的平行线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点．，，，，． （3）结论：直线与以为半径作相切． 理由：作交的延长线于点，连接． ，，四边形是等腰梯形，，， ，， 直线与以为半径作相切． 解法二：过点作交于点．设△的边上的高为． ，，，，， ，，，，， ，直线与以为半径作相切． 58．阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在△中，，小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，则垂直平分． （1）根据小明的作图方法，如图①，他得出“垂直平分”的依据是 　等腰三角形的顶角的平分线是底边的高，也是底边的中线　 ； （2）如图②，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线，请你帮助小明说明理由． （3）请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：不写作法及证明，仅保留画图痕迹） （Ⅰ）如图③，△与△是全等的两个等边三角形，且点，，在一条直线上，请作出边的中点； （Ⅱ）如图④，的四个顶点均在格点上，请作出对角线的一个三等分点． （4）如图⑤，△中，，，，垂直平分，交边，于点，，将△绕点自由旋转，在旋转过程中，点、的对应点分别记为、，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【解答】解：（1）由作图可知，平分， ， ，平分， 垂直平分（等腰三角形的顶角的平分线是底边的高，也是底边的中线）， 故答案为：等腰三角形的顶角的平分线是底边的高，也是底边的中线； （2）如图②中， ， ， ， ， ， ， 垂直平分线段． （3）（Ⅰ）如图③中，点即为所求； （Ⅱ）如图④中，点或点即为所求； （4）如图⑥中， 当时，设，则，，， ，，当时，同法可得，综上所述，或． 59．旋转的思考 【探索发现】 （1）已知，将绕点逆时针旋转得到△．小美，小丽探索发现了下列结论． 小美的发现如图①，连接对应点，，则． 小丽的发现如图②，以为圆心，边上的高为半径作，则与相切． （ⅰ）请证明小美所发现的结论． （ⅱ）如图②，小丽过点作，垂足为．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． 【问题解决】 （2）在中，，，，是的中点，将绕点逆时针旋转得到△． （ⅰ）如图③，当边恰好经过点时，连接，则的长为 　　． （ⅱ）在旋转过程中，若边所在直线恰好经过点，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线．（保留作图痕迹，不写作法） 【拓展研究】 （3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线，交于点，则的最大值为 　　． 【解答】（1）（ⅰ）证明：绕点逆时针旋转得到△，，，， ．，．； （ⅱ）证明：△，，，△， ，是的半径，，是的切线． 故答案为：，； （2）解：（ⅰ）如图3中，连接，，过点作于点． ，，，，， ，，， 由旋转变换的性质可知，，，， ，，．故答案为：； （ⅱ）如图④中，直线即为所求． （3）如图⑤中，连接，． ，， ，， ，，，，， ，定值， 点的运动轨迹是圆，假设圆心为，连接，，．， ，，的最大值为．故答案为：． 60．如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． （2）根据矩形性质和，可以证明，对应边成比例进而可得的长． 【解答】解：（1）如图，连接，作的垂直平分线，以为直径画圆，交于点和， 则点和即为所求； （2）矩形中，，，，， ，，，设，，， ， ， 解得，， 的长为1或4． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 态度决定基础 思维决定高度 ( 初三数学期末复习 3 （几何作图 ） ) 1．现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、． （1）沿、剪下，则是 　　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角” ；若，则　　． （2）分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）． 2．如图，，点、分别在射线、上，，． （1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹； （2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； （3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积． 3．如图，中，，请你利用尺规在边上求一点，使（不写画法保留作图痕迹），并证明． 4．综合与探究用直尺与圆规作图和探究线段的关系． 任务1：如图1，在△和△中，，与相交于点．图中有哪些线段相等？ （1）小明观察得出相等的线段有，，，．小明说“若用圆规验证得到，就可证明其余结论均成立”请判断小明的说法是否正确，并说明理由； （2）在图1中已知，用尺规作射线，垂足为点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； 任务2：如图2，射线的端点在直线上．请借助直尺和圆规探究与是否互相垂直． 小颖的方法如图3：在上任取一点，以为边在内部作等边△，延长交于点．若，则，所以． 请从下面的，两题中任选一题作答，我选择　　 题． ．请说明小颖的探究方法的合理性． ．请仿照小颖的方法，再设计一种不同的方法探究与是否互相垂直（要求；在图2中尺规作图，保留作图痕迹并描述探究的方法）． 5．如图，已知，请用尺规作图的方法作菱形，使、、分别在、、上．（不写作法，保留作图痕迹） 6．在的网格中建立如图的平面直角坐标系，的顶点坐标分别为，，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图． （1）在上找点，使平分； （2）在上找点，使； （3）在上找点、，使．（1）（2）画在图1中，（3）画在图2中． 7．（1）如图1，中，，平分交于点，以为半径作．判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如图2，某湿地公园内有一条四边形型环湖路，．现要修一条圆弧形水上栈道，要求该圆弧形水上栈道所在的，圆心在上且与，相切．求作．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 8．如图，，，为水平边，为边上一点． （1）只用圆规在的正上方作一点，使（说明作法，不需要证明）； （2）在（1）的条件下，连接，若，，求的长度． 9．如图，已知△是锐角三角形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则的半径为　　 ． 10．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，． （1）请用直尺（不含刻度）与圆规在上作一点，使得直线平分的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 11．在中，，点在以为直径的半圆内，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作弦，使． （2）在图2中过点作线段的垂直平分线． 12．已知：如图，点为直线外一点，点为直线上一点． 求作：，使经过点且与直线相切于点． 13．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明想在平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形，他采用了如下的操作步骤：①点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为； ②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ③以点为圆心，长为半径作圆； ④以的长为半径，在上顺次截取； ⑤顺次连接，，，，，得到正六边形． 任务一： （1）请依据上述作法证明六边形是正六边形； 任务二： （2）请你把小明作出的正六边形沿轴的正半轴无滑动地转动，当相邻的顶点落在轴上时，记为转动1次，直接写出转动10次时，点所在位置的坐标． 14．已知及上一点，过点作的切线．小明设计了如下尺规作法：①连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点；②连接，延长到，使，作直线．则直线即为所求作． （1）请证明小明作法的正确性； （2）请你自己再设计一种尺规作图方法（保留痕迹，不要证明）． 15．如图，将圆心角为的扇形绕着点按逆时针方向旋转一定的角度后，得到扇形，使得点恰在上． （1）求作点；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明过程） （2）连接、、，求证：平分． 16．在中，，直线经过点，且与平行．请用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在直线上作出一点，使得； （2）如图②，在直线上作出所有的点，使得． 17．尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图． 18．过点用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线，交两边于、，使得为等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（1）证明命题：一边中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．（写出已知、求证和证明步骤） （2）如图，已知点、分别是外和内的两点．请利用直尺与圆规在的边上画出所有的点，使为直角三角形． 20．已知：中，， （1）尺规作图：求作的中点，连并延长，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求的余弦值． 条件①：和的面积为和，且； 条件②：和的周长为和，且． 注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分． 21．五线谱上跳动着美妙的音符，你能在等距的平行线上借助直尺和圆规画出美丽的几何图形吗？ （1）在图①的两条平行线上画一个等腰三角形，使其三个顶点都在平行线上，且有一个内角等于已知角．（画出符合题意的一种即可） （2）在图②的两条平行线上画一个等腰三角形，使其三个顶点都在平行线上，且满足腰：底．（画出符合题意的一种即可） （3）在图③的三条等距平行线上画一个等边三角形，使其三个顶点分别在三条等距平行线上．（画出符合题意的一种即可） （4）在图④的四条等距平行线上画一个正方形，使其四个顶点分别在四条等距平行线上．（画出符合题意的一种即可） （5）“小强”同学声称他在五条等距的平行线上画出了如图⑤所示的正五边形（各边相等各内角也相等的五边形），你同意他的说法吗？请给出你的观点并说明理由． 22．尺规作图：如图，在的边上求作点，使分别满足以下要求： （1）； （2）． 23．已知，分别是的边，上的点． （1）如图①，，为角平分线上的一点，若，求证：． （2）如图②，若为外一点，求作点，，使得为锐角，，且．（要求：利用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 24．如图，已知点在直线外，点在直线上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求保留作图痕迹，不写作法． （1）在图①中，以线段为一条对角线作菱形，使菱形的边落在直线上； （2）在图②中，作，使过点，且与直线相切于点． 25．如图，平面直角坐标系中，已知点的坐标为． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线，它与轴和轴的正半轴分别交于点和点，且与关于直线对称．（左图不必写作法，但要保留作图痕迹） （2）请求出（1）中作出的直线的函数表达式． 26．（1）如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若在的平分线上，猜想和的数量关系并证明． 27．如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 28．证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 已知：如图1，、分别是的边、中点． 求证：，． 下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明． 方法1：延长至点，使，连接； 方法2：过点作交的延长线于； 方法3：过作交于，过作交的延长线于点． 应用： 如图2，、分别是的边、中点，请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线．（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹） 29．如图，四边形为矩形． （1）如图1，为上一定点，在上找一点，使得矩形沿着折叠后，点落在边上；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在和边上分别找点，，使得矩形沿着折叠后的对应边恰好经过点，且满足；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）的条件下，若，，则　　． 30．阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图．无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段．请根据以上材料按要求进行作图． （1）如图1，在中，，请用无刻度直尺与圆规在边上作出一点，使得过点且与相切．（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） （2）如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，，是网格中的四个格点，且． 作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点，使得过点且与相切于点（保留作图痕迹，不需说明作图步骤） 31．如图，已知矩形． （1）尺规作图：在上方求作，使得，且点与点关于过点的直线对称：（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，，求的值． 32．用没有刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，的边上有一点．过点求作一条直线，使点关于直线的对称点恰好在上； （2）如图2，已知． ①求作：以为一个内角的菱形，使顶点在边上； ②若，，，则①中作出的菱形的面积为　　． 33．如图，在中，，点为上一点，，的外接圆交边于点． （1）作图：只用圆规在弧上作出点，使；（保留作图痕迹，并简要说明作法） （2）连接、，若，，求的值． 34．如图，在正方形网格中，点、、都在格点上，利用格点按要求完成下列作图，（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）在图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将△放大得到△；请画出△． （2）在图2中，线段上作点，利用格点作图使得． 35．（1）如图，已知线段和点，利用直尺和圆规作，使点是的内心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在所画的中，若，，，则的内切圆半径是　 　． 36．若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆． 如图①，点是锐角的边上一点，以为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上．当半径最大时，半圆为边关联的极限内半圆． 【初步思考】 （1）若等边的边长为1，则边关联的极限内半圆的半径长为　　． （2）如图②，在钝角中，用直尺和圆规作出边关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）． 37．如图1，在中，，，，点在的延长线上，且，分别过点作交的延长线于点，连接，交于点， （1）求的长，并证明； （2）如图1，在射线上只用圆规作一点，使得（保留作图痕迹，并简要说明作法）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，分别取、的中点、，动点在上运动，求的最小值 38．请仅用无刻度的直尺画图，不写作法，保留画图痕迹． （1）如图1，点是等腰底边的中点，是上一点，请在上作出点，使； （2）如图2，为的内接三角形，请在，上分别作出点，，使； （3）如图3，六边形为正六边形，在上取一点，使． 39．如图，在矩形中，，，是边上一点，将沿着直线折叠，得到． （1）请在备用图上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点，使平分，并求出此时的面积；（作图要求：保留作图痕迹，不写作法． （2）连接并延长交线段于点，则的最大值为 　　．（直接写出答案） 40．如图，在△中，，以为直径作分别交、于、两点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）求作：过点作的切线，交于点． （要求：利用圆规及无刻度直尺作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 41．【概念认识】若以圆的直径的两个端点和圆外一点为顶点的三角形是等腰三角形，则圆外这一点称为这个圆的径等点． 【数学理解】（1）如图①，是的直径，点为外一点，连接交于点，．求证：点为的径等点． （2）已知是的直径，点为的径等点，连接交于点，若．求的值． 【问题解决】 （3）如图②，已知是的直径．若点为的径等点，连接交于点，．利用直尺和圆规作出所有满足条件的点．（保留作图痕迹，不写作法） 42．已知及外一点． （1）方法证明：如何用直尺和圆规过点作的一条切线呢？小明设计了如图①所示的方法： ①连接，以为直径作； ②与相交于点，作直线． 则直线即为所作的过点的的一条切线． 请证明小明作图方法的正确性． （2）方法迁移：如图②，已知线段，过点作一条直线与相交，且该直线被所截得的弦长等于．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） 43．如图，已知矩形，，，点为线段任一点． （1）若，请在图中用无刻度直尺和圆规画出符合要求的点； （2）若符合（1）中要求的点必定存在，则的取值范围是 　 　 ． 44．如图，、、、是直线上的四点，，，． （1）求证：△△； （2）点、分别是△、△的内心． ①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②连接，则与的关系是 　 　 ． 45．如图，在等边中，点、分别在、边上． （1）在边上求作点，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，请找出所有满足条件的点． （2）若，，设，若要使得（1）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件？请通过计算说明． 46．如图，菱形中，，为对角线，是边延长线上一点，连接． （1）在线段上求作点，使得（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）在（1）的作图条件下，直线交直线与点，求证：，，三点共线． 47．已知四边形，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，连接，在边上作出一个点，使得； （2）如图②，在边上作出一个点，使得． 48．（1）如图1，已知垂直平分，垂足为，与相交于点，连接．求证：． （2）如图2，在中，，为的中点． ①用直尺和圆规在边上求作点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）； ②在①的条件下，如果，那么是的中点吗？为什么？ 49．（1）如图1，在中，，，，为边上一点，．求证：平分． （2）如图2，矩形中，，，点是边上一点，，连接，请用无刻度的直尺和圆规在边上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写出作法） 50．操作探究题 （1）已知是半圆的直径，是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角． 操作：如图1，分别将半圆的圆心角取1、4、5、所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？ 探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由． （2）如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 51．如图，在中，． （1）作出经过点，圆心在斜边上且与边相切于点的（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设（1）中所作的与边交于异于点的另外一点，若的直径为5，；求的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问） 52．如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1．经过，，三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图中的圆中作出圆心和弧的中点；（2）在图中的弧上找一点，使； （3）在图中的弧上找一点，使． 53．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称线段被点黄金分割，点为线段的黄金分割点，与的比称为黄金比，它们的比值为．请完成下面的问题： （1）如图②，，点在边上，．请在边上用无刻度的直尺和圆规作出点，使得与的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图③，在中，，若，请你求出的度数． 54．如图，在△中，，以中点为圆心，长为半径作，交于点，交于点． （1）①请用无刻度的直尺和圆规过点作的切线，连接并延长交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ②证明：．（2）若，，求的长． 55．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、、三个格点都在圆上，点是此圆内的一个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）画出该圆的圆心； （2）画出上的点，使长最小； （3）画出格点，使为的一条切线，并画出过点的另一条切线，切点为．（只需要画出满足条件的一个点和一个点即可） 56．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【初步体验】 （1）如图1，在△中，点、在上，、在上，．若，，，则　　 ，　　 ，　　 ． （2）学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图2，再将图2沿着对角线对折一次，得到图3，对角线分别与折痕、、的交点、、即为对角线的四等分点．请在图3中画出的三等分点（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】用尺规作图将线段三等分已知：线段，如图4． 求作：点、点，使点、在线段上，且． 作法：①作射线．（如图 ②在射线上依次截取线段、、，使，连接． ③分别过点、作平行于的直线交于点、．则点、为所求的点． 【问题解决】 （3）已知：如图6，是△的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点，并证明：．（不写作法，保留作图痕迹） （4）已知：图7在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点的坐标． 57．已知：△中，为边上的一点． （1）如图①，过点作交边于点．若，，，求的长； （2）在图②中，用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图③，点在边上，连接、．若，△的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 58．阅读下列材料，并完成相应的任务． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，在初中阶段，我们学习过五种基本尺规作图，并且运用基本尺规作图方法，结合图形性质可以作出更多的数学图形． 如图①，在△中，，小明用尺规作底边的垂直平分线的过程如下： ①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； ③作射线，则垂直平分． （1）根据小明的作图方法，如图①，他得出“垂直平分”的依据是 　　 ； （2）如图②，已知在四边形中，，，求作对角线的垂直平分线，小明只用无刻度直尺作直线，就得到对角线的垂直平分线，请你帮助小明说明理由． （3）请仅用无刻度的直尺完成下列作图（要求：不写作法及证明，仅保留画图痕迹） （Ⅰ）如图③，△与△是全等的两个等边三角形，且点，，在一条直线上，请作出边的中点； （Ⅱ）如图④，的四个顶点均在格点上，请作出对角线的一个三等分点． （4）如图⑤，△中，，，，垂直平分，交边，于点，，将△绕点自由旋转，在旋转过程中，点、的对应点分别记为、，当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 59．旋转的思考 【探索发现】 （1）已知，将绕点逆时针旋转得到△．小美，小丽探索发现了下列结论． 小美的发现如图①，连接对应点，，则． 小丽的发现如图②，以为圆心，边上的高为半径作，则与相切． （ⅰ）请证明小美所发现的结论． （ⅱ）如图②，小丽过点作，垂足为．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． 【问题解决】 （2）在中，，，，是的中点，将绕点逆时针旋转得到△． （ⅰ）如图③，当边恰好经过点时，连接，则的长为 　　． （ⅱ）在旋转过程中，若边所在直线恰好经过点，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线．（保留作图痕迹，不写作法） 【拓展研究】 （3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线，交于点，则的最大值为 　　． 60．如图，矩形中，，，是边上的一点，点在边上，且满足． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若，试确定的长． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 1 学科网（北京）股份有限公司 $