期末椭圆复习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二上学期期末椭圆复习题 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．椭圆的长轴长是（    ）． A．3 B．6 C．9 D．4 2．已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．椭圆()的左焦点到过顶点，的直线的距离等于，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左右焦点为，，是椭圆上的点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（　　） A． B． C． D． 6．椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，是椭圆的上顶点，若，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 7．直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 8．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 9．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为（　） A．（5，7） B．（5，6）　 C．（6，7）　 D．（5，6）∪（6，7） 10．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（    ） A．35 B．30 C．25 D．20 二、多选题 11．若焦点在轴的椭圆两个顶点之间的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 13．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 14．设椭圆的左、右焦点为，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，，则椭圆的离心率是 . 15．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 ． 16．已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若＝2，则椭圆C的离心率是 ． 17．已知椭圆A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为 ． 四、解答题 18．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分． （1）求此弦所在的直线方程；（2）求此弦长． 19．已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为，若过原点的直线交于A，两点，点A在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点． （1）求椭圆的方程；（2）证明：． 20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上的动点，且，求的面积. 21．已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 22．设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 高二上学期期末椭圆复习题含解析 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1．椭圆的长轴长是（    ）． A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6. 2．已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】方程可化为，则椭圆的焦点在轴，且， 则，故其焦点坐标为． 3．椭圆()的左焦点到过顶点，的直线的距离等于，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】设直线的方程为，左焦点，则，又， 代入化简得，得或(舍)， 4．已知椭圆的左右焦点为，，是椭圆上的点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【详解】由椭圆，则，所以，所以. 5．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，M、N中点为D ，则， 由题意得：因为M、N在椭圆上，则， 两式相减整理得，∴. 6．椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，是椭圆的上顶点，若，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D【详解】依题意可得，，，，则，，，由，得，所以，即，所以该椭圆的离心率为. 7．直线与椭圆相交两点，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B【详解】由题意联立方程组 ，解得或，因为两点在椭圆上关于原点对称，不妨取 ，则 , 设过点C与AB平行的直线为 ，则与AB的距离即为点C到AB的距离，也就是的边AB上的高，当与椭圆相切时，的边AB上的高最大，面积也最大， 联立，得： ，令判别式 ，解得 ， 此时与间的距离也即是的边AB上的高为 ， 所以的最大面积为 ， 8．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A【详解】解：由已知可得，得， ，根据椭圆定义：， ∴取得最大值时，即 最大， 取得最小值时，即 最小， 根据三角形的两边之差小于第三边有 当三点共线，且点P不在线段上时， ， 即如图所示：， 当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值． 当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值． ∴的最大值和最小值分别为 ；. 9．若方程表示椭圆，则实数k的取值范围为（　） A．（5，7） B．（5，6）　 C．（6，7）　 D．（5，6）∪（6，7） 【答案】A【详解】由题意可知解得且 . 10．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（    ） A．35 B．30 C．25 D．20 【答案】A【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，，， ∴． 二、多选题 11．若焦点在轴的椭圆两个顶点之间的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD【详解】由题且，若左右顶点距离为4，则，若上下顶点距离为4，则，若上顶点与右顶点距离为4，则，结合选项代入可知ABD正确，C错误． 12．（多选）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD【详解】椭圆过点，且，，，离心率为，A正确， 椭圆不过点，B错误，椭圆不过点，C错误， 椭圆过点，且，，，离心率为，D正确， 13．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD【详解】由椭圆的定义，可得．又，所以，． ①当点与，不共线时，在中，，即，所以． ②当点与，共线时，分析知，，所以，即，所以． 综上，椭圆的离心率的取值范围是. 三、填空题 14．设椭圆的左、右焦点为，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，，则椭圆的离心率是 . 【答案】【详解】是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于A，B两点， ，则，不妨设，，，由椭圆的定义可得，解得，所以， ，解得，所以， 15．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】4，1【详解】主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系． 解：由已知a=2,b=1，2c=2，在三角形中，由余弦定理得，即，所以=,从而=时，的最大值为4，=1时，的最小值为1． 16．已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若＝2，则椭圆C的离心率是 ． 【答案】【详解】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，即有,即有， 17．已知椭圆A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/【详解】解：由已知可设，，，因为，所以， 所以，即，所以，两边同时除以，得，即，解得， 所以椭圆的离心率为. 四、解答题 18．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分． （1）求此弦所在的直线方程；（2）求此弦长． 【答案】（1）x＋2y－4＝0；（2）2. 【详解】（1）设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，① 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－， 直线方程为，即x＋2y－4＝0. （2）由（1）将k＝－代入①得，x2－4x＝0，∴，∴|AB|＝＝＝2． 19．已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为，若过原点的直线交于A，两点，点A在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点． （1）求椭圆的方程； （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以①， 又因为椭圆的离心率为，所以②， 由①②得，，．所以椭圆的方程为 （2）设直线的斜率为，则其方程为． 设，，． 于是直线的斜率为，方程为．由， 得．③ 设，则和是方程③的解，故， 故，由此得． 从而直线的斜率为，所以． 20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上的动点，且，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意可知，， 设椭圆方程为，将点代入椭圆方程， 得，解得（舍），， 所以椭圆方程为 （2）设，，由余弦定理得 ，解得 所以，即或， 则三角形面积 21．已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过定点的直线与椭圆C相交于A、B两点，已知点，设直线、的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）是，=1. 【详解】（1）∵，且过点，，又，解得， ∴椭圆的标准方程. （2）（i）若的斜率不存在，则，，此时， （ii）若的斜率存在，设，，设的方程为：， ， 由韦达定理得：， ， ， ∴        所以：=1. 另解：（2）当直线AB的斜率为0时，， 直线AB的斜率不为0时，设直线AB为：，设则： ，，则：， ，所以：=1. 22．设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或. 【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1. 所以，椭圆方程为. (Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为， 又，则直线的方程为，与椭圆方程联立， 整理得，可得， 代入得， 进而直线的斜率， 在中，令，得. 由题意得，所以直线的斜率为. 由，得， 化简得，从而. 所以，直线的斜率为或. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $