4.2.1 提单项式因式分解课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“提公因式法分解因式”核心知识点，通过整数最大公因数复习引入，引导学生观察多项式各项因式，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解公因式概念及确定方法。 其亮点在于通过观察归纳、例题变式培养学生推理意识和运算能力，跨物理学科的电阻电压计算题目体现模型意识与应用意识，系统小结梳理知识脉络，既提升学生数学思维，又便于教师高效开展教学。

4.2 提公因式法 第1课时 提单项式因式分解 1.能找出各项单项式的公因式，掌握提公因式法的一般步骤. 2.能简单运用提公因式法进行因式分解. 学习目标 问题1：整数21， 42， 56，70的最大公因数是什么？ 21＝ 7×3 问题2：多项式x2＋xy中每一项的因式分别是什么？ x2 的因式是 x 和 x xy的因式是 y 和 x 42＝ 7×6 70＝ 7×10 最大公因数是7 每一项中均有因式x 多项式中各项都含有的因式叫什么呢？让我们一起来学习吧！ 56＝ 7×8 新课引入 ab＋ bc 3x2 ＋ x 观察·交流 下列多项式有什么共同的特点？ mb2 ＋ nb － b 相同的因式b 相同的因式x 相同的因式b 归纳总结 多项式各项都含有的相同因式， 叫作这个多项式各项的公因式. 公因式b 公因式x 公因式b 探究新知： (1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？ 系数的 最大公因数 2 x 相同 字母 字母x的 最小次数 2 所以多项式2x2＋6x3的公因式是2x2 . 尝试·交流 2x2 ＋ 6x3 探究新知： 思考1 多项式中的公因式是如何确定的呢？ 相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数. 字母取多项式各项中都有的相同的字母. 定系数 定字母 定指数 2x2 ＋ 6x3 探究新知： (1)acx＋aby； (2)5mx－10nx3 ； (3)6a2b＋15ab－9ab2 ； (4)－12x2y＋18xy－15y. 例1 写出下列各式的公因式. a 5x 3ab －3y 探究新知： (2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？ 2x2＋6x3 ＝2x2·1＋2x2·3x ＝2x2 (1＋3x) 尝试·交流 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫作提公因式法. 归纳总结 探究新知： 思考2 提公因式法的步骤是什么? 将多项式化为两个因式的积. 用公因式去除这个多项式，所得的商式作为另一个因式. 找出公因式 提取公因式 分解因式 2x2＋6x3 ＝2x2·1＋2x2·3x ＝2x2 (1＋3x) 探究新知： 例2 把下列各式分解因式： (1)2mn＋4m2； 解：(1)2mn＋4m2 ＝2m·n＋ 2m·2m ＝ 2m(n＋2m)； (2)7p2－21p； (2)7p2－21p ＝7p·p－7p·3 ＝ 7p(p－3)； m 7 p 归纳总结 多项式是几项，提公因式后也剩几项. 探究新知： (3)8a3b2－12ab3c＋ab. (3)8a3b2－12ab3c＋ab ＝ab·8a²b－ab·12b²c＋ab·1 ＝ab(8a²b－12b²c＋1)； a b 注意：当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1. 归纳总结 探究新知： (4)－24x3＋12x2－28x －4 x (4)－24x3＋12x2－28x ＝－(24x3－12x2＋28x) ＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7) ＝－4x(6x2－3x＋7). 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号. 归纳总结 探究新知： 变式 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值. 解：a2b＋ab2＝ab(a＋b). ∵a＋b＝7，ab＝4， ∴a2b＋ab2＝7×4＝28. 探究新知： 2x2＋6x3 ＝2x2·1＋2x2·3x＝2x2 (1＋3x) 提公因式法与单项式乘多项式是互逆关系. 逆用乘法分配律 思考·交流 提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？ 2x2＋6x3 2x2 (1＋3x) 提公因式法因式分解 单项式乘多项式 a·b＋a·c＝a(b＋c) 归纳： 1. 多项式4xmyn－1＋8x3myn中各项的公因式是( ) A. xmyn B. xmyn－1 C. 4xmyn D. 4xmyn－1 D 随堂练习 A.12xy2－9x2y2＝3xy2(4－3xy)　　　　　 B.a4b＋5a3b－a2b＝a3b(a＋5－1) C.x2z＋xyz－xz＝xz(x＋y) D.3a2y3＋6a3y＋6a2y＝3a2y(y2＋2a＋2) 2. 下列式子中，提公因式正确的是(　　) D 多出y 公因式错误，应为a2b 提取公因式后，漏掉一项 随堂练习 3. 观察等式：2＋22＝23－2；2＋22＋23＝24－2；2＋22＋23＋24＝25－2； …已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200， 若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是(　　) A．2S2－S B．2S2＋S C．2S2－2S D．2S2－2S－2 分析：∵2100＝S，∴2100＋2101＋2102＋…＋2199＋2200 ＝S＋2S＋22S＋…＋299S＋2100S ＝S(1＋2＋22＋…＋299＋2100) ＝S(1＋2100－2＋2100)＝S(2S－1)＝2S2－S A 随堂练习 (3)3a－12a2＋21a3＝_______________； 4. 把下列各式因式分解： (1)a2＋13a＝___________； 5.(跨物理学科)如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3，当R1＝18.4，R2＝16.7，R3＝27.9，I＝3.5时，U的值为_______. 220.5 a(a＋13) 3a(1－4a＋7a2) (2)a2b＋ab2＝__________； ab(a＋b) 随堂练习 6.如图，长方形的长为b，宽为a，已知长比宽的两倍少4，且面积为12，求2a2b－ab2－ab的值. 解：2a2b－ab2－ab ＝ ab(2a－b－1). ∵长比宽的两倍少4，面积为12， ∴2a－4＝b，ab＝12， ∴2a－b＝4， ∴2a－b－1＝3， ∴a2b－ab2－ab ＝ ab(2a－b－1)＝12×3＝ 36 . C D A B b a 随堂练习 公因式 确定公因式 的步骤 提公因式法 提公因式法 的步骤 多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式. (1)定“系数”; (2)定“字母”；(3)定“指数”. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种因式分解的方法叫作提公因式法. (1)找出公因式; (2)提取公因式；(3)分解因式. 提单项式 因式分解 课堂小结 $