精品解析：黑龙江省哈尔滨呼兰区2025-2026学年八年级上学期期末学业水平测试数学试卷

呼兰区2025－2026学年度上学期八年级期末学业水平测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写、笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、单项选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 6，8，10 C. 4，6，11 D. 3，2，1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为6，8，10的三条线段能组成三角形，符合题意； C、∵， ∴长为4，6，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长为3，2，1的三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：B． 2. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据积的乘方运算可判断B，根据幂的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的除法运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 3. 下列四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D符合题意． 故选：D． 4. 碳化硅（）是一种新型超级材料，它在微芯片传感器中起着非常重要的作用．碳化硅每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故选：C． 5. 如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余．首先求出，然后求出，然后根据含30度角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴在中，． 故选：B． 6. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、是整式，不是分式，不符合题意； B、是整式，不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、是整式，不是分式，不符合题意； 故选：C． 7. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 展开左边多项式，与右边比较各项系数，进而求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 8. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，解方程，检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得 ，解得 ． 检验，当时，， 故是原方程的解． 故选：A． 9. 如图，在中，，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，则点到的距离（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先根据尺规作图判断是的平分线，再利用角平分线的性质得出点到的距离等于的长度． 【详解】解：设点到的距离为， 由题意可得平分， ∵，即，点到的距离为， ∴， ∵， ∴， 故选：． 10. 如图，在与中，，，，，交于点，连接，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．根据三角形外角的性质，得出，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意． 故选：D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解答的关键．根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解；先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13. 计算：的结果是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，将变形为，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 14. 已知点关于x轴的对称点为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点Q的坐标为， 即，， 则． 故答案为：． 15. 仔细观察下列式子的规律：；；；根据上述规律，计算：______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类变化规律，归纳总结出式子的规律是解题的关键． 观察给定式子的规律，可得，再代入即可求解． 【详解】解：由题意得，， ， ， …… 依此类推，， 当时，； 故答案为：． 16. 如图，中，是的垂直平分线，，的周长为18，则的周长为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由是的垂直平分线得到，，由的周长为18得到，最后由的周长为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线，，的周长为18， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：26． 17. 定义新运算：，则运算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，理解新定义并正确计算是解题的关键． 根据新运算的定义列式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 18. 在等腰中，，，点在射线上，连接，，则______度． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，分情况讨论是解题的关键． 根据点在射线上的不同位置，分两种情况讨论．当射线在内部时，，结合，可得；当射线在外部时，，结合，可得． 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， ∵点在射线上， ∴， 当射线在内部时，如图， ， ∴； 当射线在外部时，如图， ， ∴； 故答案为：或． 19. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20. 如图，在中，，，是的高，点在上，连接，，点在上，．则下列结论：①；②；③；④若点为的中点，点为上一点，则的最小值等于线段的长度．其中正确的有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据等腰三角形及角判定为等边三角形，利用等边三角形的性质分析的作用，再结合线段垂直平分线、全等三角形、对称点求最短路径等知识逐一判断结论． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的高即， ∴①，故①正确； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， 假设，则，结合，得，，但此关系不具有普遍性，故②错误； 延长交于， 设，，则 ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴，故③正确； 连接、、， ∵是等边三角形，是高， ∴（等边三角形三线合一），是的对称轴，点关于的对称点是，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵当、、共线时，取得最小值 ∴的最小值为，即等于的长，故④正确 综上，正确的是①③④ 故选：①③④． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、圆周角定理及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的三线合一性质和利用对称点求最短路径的方法是解题的关键． 三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，然后计算零指数幂可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴原式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、． （1）将向上平移2个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点，，的对应点）； （2）画出与关于轴对称的，（其中点，，分别是点，，的对应点）； （3）在轴上找一点，使得，则点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，翻折作图，全等三角形的判定： （1）将三角形的三个顶点向上平移2个单位长度，再依次连接即可； （2）将三角形的三个顶点沿着y轴翻折得到对应点，再依次连接即可； （3）根据全等三角形的判定定理作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点的坐标为时，， 故答案为：． 23. 【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值；解：当时，原式． 【学以致用】 （1）已知，求值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值、平方差公式，熟练掌握整体思想是解题关键． （1）将作为整体代入计算即可得； （2）先求出，，再利用平方差公式可得的值，代入计算即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图1，在中，点，在上，，连接，，． （1）求证：是等腰三角形： （2）如图2，在（1）的条件下，于点，，，，交于点，若是的中线，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中面积等于的面积的2倍的所有三角形． 【答案】（1）见解析 （2）面积等于的面积的2倍的三角形为，，，． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形判定，全等三角形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得出，再根据“”证，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质、中线的性质以及平行四边形的性质可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又 ∴， ∴，即是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 综上，面积等于的面积的2倍的三角形为，，，． 25. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． （1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ （2）该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 【答案】（1）该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品 （2）该工作室至少有人使用豆包设计作品 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用．根据题目问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）通过“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合“使用豆包设计件的时间＝原来设计件的时间”这一等量关系，设未知数列分式方程求解． （2）根据“使用豆包的人数×使用后的效率＋未使用的人数×原来的效率”这一不等关系，列一元一次不等式求解最小值． 【小问1详解】 解：设该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， 根据题意得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原分式方程的解为； ∴该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品； 【小问2详解】 解：∵该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， ∴该工作室使用豆包前每名设计员每天能设计件作品， ∴设该工作室有人使用豆包设计作品， 根据题意得：， 解得：． ∴该工作室至少有人使用豆包设计作品． 26. 如图1，在四边形中，连接，交于点，，． （1）求证； （2）如图2，过点作于点，的延长线交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点为的中点，于点，交于点，，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用同角的余角相等即可求证；（2）设，通过角的转化得出，即，再通过证明，得出，即可求证；（3）连接，，过点作交延长线于点，再证明和证明， ，进而求出，从而求出． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 设． ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 如图， 连接，，过点作交延长线于点， 点为的中点， ， ， ， ， 又, ， ，， 又，为的中点， 垂直平分，， ，，且， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，，， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了三角形相关内容的综合，包括直角三角形斜边中线与斜边的关系，全等三角形的判定以及性质，熟练掌握三角形中的线段性质和三角形全等是解决本题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、在轴上，点在轴正半轴上，若，． （1）求点，的坐标： （2）如图，点为负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，，连接，点为上一点，连接，，设线段的长为，线段的长为，请用含的式子表示； （3）在（2）的条件下，点在第四象限内，连接，，连接交轴于点，与的延长线交于点，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系坐标确定、全等三角形的判定与性质、边和角的数量关系转化等知识点．熟悉利用代数等式求解点的坐标，通过角的互余关系推导相等角，用（、）判定三角形全等，恰当利用角的和差、倍数关系，是解题的关键． （1）根据负整数指数幂定义，结合求出、，从而确定、的坐标． （2）通过“同角的余角相等”得到，进而证明，进而得到，得到和的关系并用字母表示． （3）结合的条件，通过构造辅助线得到，通过构造辅助线得到，进而得到对应边和角的相等关系，进一步得到点的坐标． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵， ∴ ∴，， 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在上取点使，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼兰区2025－2026学年度上学期八年级期末学业水平测试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写、笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、单项选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A 2，3，6 B. 6，8，10 C. 4，6，11 D. 3，2，1 2. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 碳化硅（）是一种新型超级材料，它在微芯片传感器中起着非常重要的作用．碳化硅每两个相邻碳原子间的键长，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是高，，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 8. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，则点到距离（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，在与中，，，，，交于点，连接，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 12. 把多项式分解因式的结果是______． 13. 计算：的结果是______． 14. 已知点关于x轴的对称点为，则的值是______． 15. 仔细观察下列式子的规律：；；；根据上述规律，计算：______； 16. 如图，中，是垂直平分线，，的周长为18，则的周长为______． 17. 定义新运算：，则的运算结果是______． 18. 在等腰中，，，点在射线上，连接，，则______度． 19. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 20. 如图，在中，，，是的高，点在上，连接，，点在上，．则下列结论：①；②；③；④若点为的中点，点为上一点，则的最小值等于线段的长度．其中正确的有______． 三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中 22. 如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标为、、． （1）将向上平移2个单位长度，得到，画出（其中点，，分别是点，，的对应点）； （2）画出与关于轴对称的，（其中点，，分别是点，，的对应点）； （3）在轴上找一点，使得，则点的坐标为______． 23. 【阅读理解】“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值；解：当时，原式． 【学以致用】 （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 24. 如图1，在中，点，在上，，连接，，． （1）求证：是等腰三角形： （2）如图2，在（1）的条件下，于点，，，，交于点，若是的中线，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中面积等于的面积的2倍的所有三角形． 25. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． （1）问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ （2）该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 26. 如图1，在四边形中，连接，交于点，，． （1）求证； （2）如图2，过点作于点，的延长线交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点为的中点，于点，交于点，，若，，求线段的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，的顶点、在轴上，点在轴正半轴上，若，． （1）求点，的坐标： （2）如图，点为负半轴上一点，点为轴正半轴上一点，，连接，点为上一点，连接，，设线段的长为，线段的长为，请用含的式子表示； （3）在（2）的条件下，点在第四象限内，连接，，连接交轴于点，与的延长线交于点，若，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $