71.两角和的正弦公式直接应用（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 71.两角和的正弦公式（）直接应用（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】两角和的正弦公式 ￮ 定义表述：两个角的和的正弦值，等于第一个角的正弦值乘以第二个角的余弦值，加上第一个角的余弦值乘以第二个角的正弦值。 ￮ 数学符号/表达式：（） ￮ 关键特征： - 公式两边均为三角函数的和差形式与乘积和形式的转化； - 为任意角，公式具有普遍性； - 公式可正用、逆用、变形用。 ￮ 跨章节关联：关联同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的化简与求值等知识点。 2. 【概念2】两角和正弦公式的适用条件 ￮ 定义表述：当已知两个角的正弦、余弦值，或能将所求角拆分为两个已知三角函数值的角的和时，可直接应用公式进行计算。 ￮ 数学符号/表达式：若已知的值，则可直接代入公式求解。 ￮ 关键特征： - 拆分的两个角的三角函数值需已知或可求； - 需注意角的范围对三角函数值符号的影响。 ￮ 跨章节关联：关联三角函数的符号判断、角的范围确定、三角函数求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的结构特征 公式右边是异名乘积和，即 1. 混淆公式结构，误写为（余弦和公式）；2. 漏写系数或符号 对比：，如，而 角的范围对函数值的影响 应用公式时，需先根据的范围确定的符号 忽略角的范围，直接套用特殊角的三角函数值，导致符号错误 对比：已知，，则（而非）；若，则 公式的逆用与变形 逆用公式：；变形可用于凑角求值 只会正用公式，不会逆用凑角，无法解决复杂的化简求值问题 对比：化简，逆用公式得 三、题型分类与例题精析 题型1：直接代入特殊角求值（正用公式） 题型特征：所求角可拆分为两个特殊角（如等）的和，直接代入公式计算。 解题步骤： 1. 拆分角：将目标角拆分为，其中为特殊角； 2. 查特殊角函数值：确定的具体值； 3. 代入公式计算：将函数值代入公式，计算出最终结果。 例题1 求的值。 解析： 1. 拆分角：，令，； 2. 查函数值：，，，； 3. 代入公式： 。 答案： 举一反三1-1 求的值。 解析： ，代入公式得： 。 答案： 举一反三1-2 计算的值（提示：，可结合诱导公式，或用？不，最优拆分，此处用和角思路：不合适，改为，用差角公式，本题要求和角，可调整为，求） 修正题目：求的值。 解析： ，代入公式得： 。 答案： 举一反三1-3 计算的值（用和角公式：，利用公式） 解析： 由诱导公式：， 代入得：。 答案： 题型2：已知单角三角函数值，求两角和的正弦值（含角的范围） 题型特征：已知的三角函数值及角的范围，求的值，需先确定未知三角函数值的符号。 解题步骤： 1. 确定角的范围：根据题目条件，确定所在的象限，进而判断未知三角函数值的符号； 2. 求未知函数值：利用同角三角函数的基本关系，求出未知的； 3. 代入公式计算：将所有函数值代入公式，计算。 例题2 已知，，，，求的值。 解析： 1. 确定范围：，故，； 2. 求未知函数值： ； 3. 代入公式： 。 答案： 举一反三2-1 已知，，，，求的值。 解析： 1. 确定范围：，故；，故； 2. 求未知函数值： ； 3. 代入公式： 。 答案： 举一反三2-2 已知，，且均为第二象限角，求的值。 解析： 1. 确定范围：为第二象限角，故，； 2. 求未知函数值： ； 3. 代入公式： 。 答案： 举一反三2-3 已知，，，，求的值（提示：，本题可转化为和角逆用，或用，此处用和角思路关联） 解析： 1. 确定范围：，，故，，； 2. 求函数值： ； 3. 凑角计算：，但本题用和角逆推，或直接用 代入得：。 答案： 题型3：逆用公式化简求值 题型特征：题目给出的式子为的形式，逆用公式化为后求值。 解题步骤： 1. 识别公式结构：观察式子是否符合的形式； 2. 逆用公式：将式子化为； 3. 计算结果：根据的角度，计算出正弦值。 例题3 化简求值：。 解析： 1. 识别结构：式子符合，其中，； 2. 逆用公式：原式； 3. 计算结果：。 答案： 举一反三3-1 化简求值：。 解析： 逆用公式得原式。 答案： 举一反三3-2 化简：（提示：可变形为和角形式，或直接用差角，本题关联和角逆用） 解析： 原式可变形为。 答案： 举一反三3-3 已知，，求的值。 解析： 根据公式， 注意：此题为理论计算，实际，本题数据仅用于公式应用练习。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 计算的值为（） A. B. C. D. 解析： 。 答案：B 2. 多选题 下列计算正确的有（） A. B. C. D. 解析： A选项：，正确； B选项：，正确； C选项：，正确； D选项：，错误。 答案：ABC 3. 填空题 已知，，且均为锐角，则。 解析： 锐角中，则，； 锐角中，则，； ？修正：若，，；若，，，题目，，故。 修正答案： 4. 解答题 (1) 计算的值。 解析： 。 答案： (2) 已知，，，求的值。 解析： ，， 。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，，，，则的值为（） A. B. C. D. 解析： ， 。 答案：A 2. 多选题 已知，则下列可能成立的是（） A. B. C. D. 解析： 逆用公式得，则或 A选项：，成立；B选项：，成立；C选项：，成立；D选项：，不成立。 答案：ABC 3. 填空题 化简的结果为。 解析： 逆用公式得原式。 4. 解答题 (1) 已知，，，，求的值。 解析： ， 。 答案： (2) 已知，，且均为锐角，求的值。 解析： 为锐角，故，， 。 答案： （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知，，则的值为（） A. B. C. D. 解析： 将两式平方相加： 展开得：，； 两式乘积： 展开得： 即 由和差化积： 代入得： ，代入得： ，，解得。 答案：B 2. 多选题 已知函数，则下列说法正确的有（） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的单调递增区间为 D. 的图像关于点对称 解析： A选项：周期，正确；B选项：最大值，正确； C选项：递增区间，即，正确； D选项：，故点是对称中心，正确。 答案：ABCD 3. 填空题 已知为锐角，且，，则。 解析： 由得，；得， 。 4. 解答题 (1) 已知，，且均为锐角，求证：。 解析： 锐角中，锐角中 又为锐角，，且，；，，故，因此。 答案：得证 (2) 已知函数（为常数）为奇函数，求的一个取值。 解析： ，奇函数满足 即， 取，得。 答案：（答案不唯一） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 71.两角和的正弦公式（）直接应用（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】两角和的正弦公式 ￮ 定义表述：两个角的和的正弦值，等于第一个角的正弦值乘以第二个角的余弦值，加上第一个角的余弦值乘以第二个角的正弦值。 ￮ 数学符号/表达式：（） ￮ 关键特征： - 公式两边均为三角函数的和差形式与乘积和形式的转化； - 为任意角，公式具有普遍性； - 公式可正用、逆用、变形用。 ￮ 跨章节关联：关联同角三角函数的基本关系、诱导公式、三角函数的化简与求值等知识点。 2. 【概念2】两角和正弦公式的适用条件 ￮ 定义表述：当已知两个角的正弦、余弦值，或能将所求角拆分为两个已知三角函数值的角的和时，可直接应用公式进行计算。 ￮ 数学符号/表达式：若已知的值，则可直接代入公式求解。 ￮ 关键特征： - 拆分的两个角的三角函数值需已知或可求； - 需注意角的范围对三角函数值符号的影响。 ￮ 跨章节关联：关联三角函数的符号判断、角的范围确定、三角函数求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 公式的结构特征 公式右边是异名乘积和，即 1. 混淆公式结构，误写为（余弦和公式）；2. 漏写系数或符号 对比：，如，而 角的范围对函数值的影响 应用公式时，需先根据的范围确定的符号 忽略角的范围，直接套用特殊角的三角函数值，导致符号错误 对比：已知，，则（而非）；若，则 公式的逆用与变形 逆用公式：；变形可用于凑角求值 只会正用公式，不会逆用凑角，无法解决复杂的化简求值问题 对比：化简，逆用公式得 三、题型分类与例题精析 题型1：直接代入特殊角求值（正用公式） 题型特征：所求角可拆分为两个特殊角（如等）的和，直接代入公式计算。 解题步骤： 1. 拆分角：将目标角拆分为，其中为特殊角； 2. 查特殊角函数值：确定的具体值； 3. 代入公式计算：将函数值代入公式，计算出最终结果。 例题1 求的值。 举一反三1-1 求的值。 举一反三1-2 计算的值（ 举一反三1-3 计算的值（用和角公式：，利用公式） 题型2：已知单角三角函数值，求两角和的正弦值（含角的范围） 题型特征：已知的三角函数值及角的范围，求的值，需先确定未知三角函数值的符号。 解题步骤： 1. 确定角的范围：根据题目条件，确定所在的象限，进而判断未知三角函数值的符号； 2. 求未知函数值：利用同角三角函数的基本关系，求出未知的； 3. 代入公式计算：将所有函数值代入公式，计算。 例题2 已知，，，，求的值。 举一反三2-1 已知，，，，求的值。 举一反三2-2 已知，，且均为第二象限角，求的值。 举一反三2-3 已知，，，，求的值（提示：，本题可转化为和角逆用，或用，此处用和角思路关联） 题型3：逆用公式化简求值 题型特征：题目给出的式子为的形式，逆用公式化为后求值。 解题步骤： 1. 识别公式结构：观察式子是否符合的形式； 2. 逆用公式：将式子化为； 3. 计算结果：根据的角度，计算出正弦值。 例题3 化简求值：。 举一反三3-1 化简求值：。 举一反三3-2 化简：（提示：可变形为和角形式，或直接用差角，本题关联和角逆用） 举一反三3-3 已知，，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 计算的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 下列计算正确的有（） A. B. C. D. 3. 填空题 已知，，且均为锐角，则。 4. 解答题 (1) 计算的值。 (2) 已知，，，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，，，，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知，则下列可能成立的是（） A. B. C. D. 3. 填空题 化简的结果为。 4. 解答题 (1) 已知，，，，求的值。 (2) 已知，，且均为锐角，求的值。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知，，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数，则下列说法正确的有（） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 的单调递增区间为 D. 的图像关于点对称 3. 填空题 已知为锐角，且，，则。 4. 解答题 (1) 已知，，且均为锐角，求证：。 (2) 已知函数（为常数）为奇函数，求的一个取值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $