19.同角三角函数的平方关系直接应用（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 19.同角三角函数的平方关系直接应用（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】同角三角函数的平方关系 ￮ 定义表述：对于任意角，其正弦值的平方与余弦值的平方之和恒等于，该关系称为同角三角函数的平方关系，是三角函数的基本恒等式之一。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：等式对所有有意义的角 都成立，与角所在的象限无关；可变形为或。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数式的化简、求值、证明，以及三角方程的求解。 2. 【概念2】平方关系的符号判定 ￮ 定义表述：利用平方关系变形求或时，需结合角所在的象限确定三角函数值的符号，再代入计算。 ￮ 数学符号/表达式： 若，在第一、四象限时取正，第二、三象限时取负； 若，在第一、二象限时取正，第三、四象限时取负。 ￮ 关键特征：开平方运算必然产生正负两种情况，象限是确定符号的唯一依据。 ￮ 跨章节关联：与象限角的三角函数符号判断知识点紧密结合，用于解决含根号的三角函数求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 平方关系的适用范围 对任意角（无论是象限角还是轴线角）均成立 误认为平方关系仅对锐角或特殊角成立 二次函数的定义域是全体实数，与平方关系的普适性逻辑类似 开方时的符号确定 由角所在的象限决定或的符号，不能随意省略正负号 1. 忽略象限条件直接取正号；2. 混淆不同象限对应的符号规则 求解时，，需结合具体情境确定符号，与三角函数开方的符号判定逻辑一致 三、题型分类与例题精析 题型1：直接利用平方关系求值（已知一个三角函数值，求另一个） 题型特征：已知或的值，且明确角所在的象限，利用平方关系变形求另一个三角函数值。 解题步骤：1. 根据平方关系写出变形公式；2. 代入已知的三角函数值计算根号内的式子；3. 结合角的象限确定符号，得出最终结果。 例题1 已知，且是第二象限角，求的值。 举一反三1-1 已知，且是第四象限角，求的值。 举一反三1-2 已知，且是第三象限角，求的值。 举一反三1-3 已知，且是第三象限角，求的值。 题型2：利用平方关系化简三角函数式 题型特征：三角函数式中含有或，利用平方关系将式子化为最简形式，常结合绝对值或根号的化简。 解题步骤：1. 识别式子中的或项；2. 代入平方关系或；3. 合并同类项或消元，得到最简式。 例题2 化简： 举一反三2-1 化简： 举一反三2-2 化简：（为第四象限角） 举一反三2-3 化简：（为第二象限角） 题型3：利用平方关系证明三角恒等式 题型特征：证明等式两边的三角函数式相等，核心思路是利用平方关系消元或变形，将复杂的一边化为简单的一边。 解题步骤：1. 选择等式中较复杂的一边作为变形对象；2. 代入平方关系进行化简；3. 推导至与等式另一边完全相同。 例题3 证明： 举一反三3-1 证明：（） 举一反三3-2 证明： 举一反三3-3 证明： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知，且是第三象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 下列等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 计算：______。 4. 解答题 (1) 已知，且为第二象限角，求的值。 (2) 化简：。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，，且为第四象限角，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 化简：______。 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 (2) 证明：（）。 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，，则下列各式中，能成立的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 已知，则______。 4. 解答题 (1) 已知为第三象限角，且，求的值。 (2) 证明：。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 19.同角三角函数的平方关系直接应用（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】同角三角函数的平方关系 ￮ 定义表述：对于任意角，其正弦值的平方与余弦值的平方之和恒等于，该关系称为同角三角函数的平方关系，是三角函数的基本恒等式之一。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：等式对所有有意义的角 都成立，与角所在的象限无关；可变形为或。 ￮ 跨章节关联：适用于三角函数式的化简、求值、证明，以及三角方程的求解。 2. 【概念2】平方关系的符号判定 ￮ 定义表述：利用平方关系变形求或时，需结合角所在的象限确定三角函数值的符号，再代入计算。 ￮ 数学符号/表达式： 若，在第一、四象限时取正，第二、三象限时取负； 若，在第一、二象限时取正，第三、四象限时取负。 ￮ 关键特征：开平方运算必然产生正负两种情况，象限是确定符号的唯一依据。 ￮ 跨章节关联：与象限角的三角函数符号判断知识点紧密结合，用于解决含根号的三角函数求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 平方关系的适用范围 对任意角（无论是象限角还是轴线角）均成立 误认为平方关系仅对锐角或特殊角成立 二次函数的定义域是全体实数，与平方关系的普适性逻辑类似 开方时的符号确定 由角所在的象限决定或的符号，不能随意省略正负号 1. 忽略象限条件直接取正号；2. 混淆不同象限对应的符号规则 求解时，，需结合具体情境确定符号，与三角函数开方的符号判定逻辑一致 三、题型分类与例题精析 题型1：直接利用平方关系求值（已知一个三角函数值，求另一个） 题型特征：已知或的值，且明确角所在的象限，利用平方关系变形求另一个三角函数值。 解题步骤：1. 根据平方关系写出变形公式；2. 代入已知的三角函数值计算根号内的式子；3. 结合角的象限确定符号，得出最终结果。 例题1 已知，且是第二象限角，求的值。 解析： 第一步，由平方关系变形得； 第二步，代入，计算得； 第三步，因为是第二象限角，，所以。 答案： 举一反三1-1 已知，且是第四象限角，求的值。 解析： 由平方关系得； 代入值计算：； 是第四象限角，，故。 答案： 举一反三1-2 已知，且是第三象限角，求的值。 解析： 由平方关系得； 代入值计算：； 是第三象限角，，故。 答案： 举一反三1-3 已知，且是第三象限角，求的值。 解析： 由平方关系得； 代入值计算：； 是第三象限角，，故。 答案： 题型2：利用平方关系化简三角函数式 题型特征：三角函数式中含有或，利用平方关系将式子化为最简形式，常结合绝对值或根号的化简。 解题步骤：1. 识别式子中的或项；2. 代入平方关系或；3. 合并同类项或消元，得到最简式。 例题2 化简： 解析： 第一步，将被开方数变形为平方形式：； 第二步，开根号得； 第三步，代入特殊角值：，，因为，所以原式。 答案： 举一反三2-1 化简： 解析： 第一步，分组变形：原式； 第二步，代入平方关系，得； 第三步，提取公因式，得； 第四步，再代入平方关系，得。 答案： 举一反三2-2 化简：（为第四象限角） 解析： 第一步，分子分母同乘，得； 第二步，代入平方关系，得； 第三步，因为恒成立，为第四象限角时，所以原式。 答案： 举一反三2-3 化简：（为第二象限角） 解析： 第一步，代入平方关系得； 第二步，为第二象限角时，，，去绝对值得； 第三步，通分计算：。 答案： 题型3：利用平方关系证明三角恒等式 题型特征：证明等式两边的三角函数式相等，核心思路是利用平方关系消元或变形，将复杂的一边化为简单的一边。 解题步骤：1. 选择等式中较复杂的一边作为变形对象；2. 代入平方关系进行化简；3. 推导至与等式另一边完全相同。 例题3 证明： 解析： 左边展开得：； 由平方关系，代入得：； 左边等于右边，故等式成立。 答案：等式成立 举一反三3-1 证明：（） 解析： 要证原式成立，只需证； 右边展开得； 由平方关系，右边等于左边； 以上步骤可逆，故原等式成立。 答案：等式成立 举一反三3-2 证明： 解析： 左边因式分解得； 代入平方关系，得； 由二倍角公式，左边等于右边，等式成立。 答案：等式成立 举一反三3-3 证明： 解析： 左边分子变形：； 因式分解得； 因此左边（）； 左边等于右边，等式成立。 答案：等式成立 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知，且是第三象限角，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由，选B。 答案：B 2. 多选题 下列等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：平方关系对任意角都成立，A、C正确；B是错误变形，D未考虑符号，故选AC。 答案：AC 3. 填空题 计算：______。 解析：利用，原式。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，且为第二象限角，求的值。 解析：。 答案： (2) 化简：。 解析：原式。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：对平方得，，故在第二象限，；，所以，选A。 答案：A 2. 多选题 已知，，且为第四象限角，则的取值可以是（ ） A． B． C． D． 解析：由平方关系得，解得或；又为第四象限角，，代入得符合条件，选B。 答案：B 3. 填空题 化简：______。 解析：原式（是第二象限角，）。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 解析：原式。 答案： (2) 证明：（）。 解析：交叉相乘得，由平方关系知成立，原式得证。 答案：等式成立 （三）拔尖拓展卷（5题） 1. 单选题 若，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：由条件得，；原式，选D。 答案：D 2. 多选题 已知，，则下列各式中，能成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：由平方关系知B成立；，D成立；A中最大值为，C中最大值为（当时），但不是恒成立，故选BD。 答案：BD 3. 填空题 已知，则______。 解析：。 答案： 4. 解答题 (1) 已知为第三象限角，且，求的值。 解析：先求，；原式化简得。 答案： (2) 证明：。 解析：将代入，化简左边得，与右边相等，等式成立。 答案：等式成立 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $