67.三角函数的图像对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 67.三角函数的图像对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数图象的轴对称变换 ￮ 定义表述：设函数的图象为，将图象上所有点关于某条坐标轴作对称点，得到新的函数图象，这种变换称为轴对称变换，常见的有关于轴、轴对称。 ￮ 数学符号/表达式： - 关于轴对称：新函数解析式为 - 关于轴对称：新函数解析式为 ￮ 关键特征：关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为相反数；变换不改变图象的形状和大小。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】函数图象的中心对称变换（关于原点对称） ￮ 定义表述：设函数的图象为，将图象上所有点关于原点作对称点，得到新的函数图象，这种变换称为中心对称变换。 ￮ 数学符号/表达式：关于原点对称，新函数解析式为 ￮ 关键特征：关于原点对称时，横、纵坐标均变为相反数；变换后图象与原图象关于原点中心对称，形状和大小不变；奇函数的图象本身关于原点对称。 ￮ 跨章节关联：关联函数的奇偶性判断，奇函数、偶函数的图象特征 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 三种对称变换的解析式区别 关于轴：；关于轴：；关于原点： 混淆三种对称变换的解析式，尤其将关于原点对称误记为或 对比：关于轴对称得，关于轴对称仍为，关于原点对称得 对称变换与函数奇偶性的关系 若关于轴对称，则是偶函数，即；若关于原点对称，则是奇函数，即 误认为所有三角函数经过对称变换后都是奇函数或偶函数，忽略的影响 对比：是奇函数（关于原点对称），既不是奇函数也不是偶函数 多次对称变换的叠加效果 先关于轴对称，再关于轴对称，等价于关于原点对称；两次关于轴对称，等价于原函数 错误认为多次对称变换的结果是随意叠加，未推导解析式验证 对比：先关于轴得，再关于轴得，与直接关于原点对称结果一致 三、题型分类与例题精析 题型1：已知原函数解析式，求对称变换后的函数解析式 题型特征：给定三角函数解析式，明确对称变换的类型（关于轴、轴、原点），求变换后的函数解析式。 解题步骤： 1. 确定原函数解析式； 2. 根据对称变换规则，替换解析式中的或： · 关于轴：替换为，整理得 · 关于轴：替换为，得 · 关于原点：替换为，替换为，整理得 3. 化简整理，得到对称变换后的解析式。 例题1 已知函数，求其图象关于轴对称的函数解析式。 解析： 根据关于轴对称的变换规则，解析式为； 代入原函数得 答案： 举一反三1-1 已知函数，求其图象关于轴对称的函数解析式。 解析： 根据关于轴对称的变换规则，解析式为； 代入原函数得，由余弦函数偶函数性质，化简得 答案： 举一反三1-2 已知函数，其图象关于原点对称的函数解析式为（） A. B. C. D. 解析： 根据关于原点对称的变换规则，解析式为；代入得，由，化简得，选D 答案：D 举一反三1-3 已知函数（），其图象关于轴对称后得到，求和的值。 解析： 关于轴对称的解析式为，与已知解析式对比得， 答案： 题型2：已知对称变换后的解析式，求原函数解析式 题型特征：给定三角函数经过对称变换后的解析式，明确变换类型，反向推导原函数解析式。 解题步骤： 1. 设原函数解析式为，变换后的解析式为； 2. 根据对称变换规则建立等式： · 若关于轴对称： · 若关于轴对称： · 若关于原点对称： 3. 代入解析式，化简得到原函数。 例题2 已知某函数图象关于轴对称后得到，求原函数解析式。 解析： 设原函数为，由关于轴对称的规则得； 令，则，代入得； 故原函数解析式为 答案： 举一反三2-1 已知某函数图象关于轴对称后得到，求原函数解析式。 解析： 设原函数为，由关于轴对称的规则得； 变形得 答案： 举一反三2-2 已知某函数图象关于原点对称后得到，则原函数解析式为（） A. B. C. D. 解析： 设原函数为，由关于原点对称的规则得，即； 令，则，即，选C 答案：C 举一反三2-3 已知函数是由关于原点对称得到，求、、的值。 解析： 由关于原点对称的规则得； 利用诱导公式，化简得； 对比得，， 答案： 题型3：对称变换与函数奇偶性、图象特征的综合应用 题型特征：结合对称变换后的函数奇偶性、对称轴、对称中心等条件，求参数的值或取值范围，需综合对称变换规则和三角函数性质。 解题步骤： 1. 根据对称变换规则写出变换后函数的解析式； 2. 结合奇偶性或图象特征的条件（如偶函数满足、奇函数满足），列出关于参数的方程； 3. 解方程，结合三角函数的诱导公式化简，求出参数的值或取值范围。 例题3 已知函数（，）的图象关于轴对称，且，求的值。 解析： 关于轴对称，则是偶函数，满足； 代入得，由正弦函数性质得（）； 化简得，即； 结合，得时，（舍去），修正：利用，得（无解）或，得，结合范围得或，又因偶函数，验证得错误，正确应为，结合范围取得（舍去），最终得不满足，实际应为型，故，但，此题条件下不符合，说明时，为偶函数的条件是，结合范围无解，此题修正条件后，若，，则 答案： 举一反三3-1 已知函数（，）的图象关于原点对称，求的值。 解析： 关于原点对称，则是奇函数，满足； 代入得，即； 由余弦和角公式得； 化简得对任意成立，故； 结合，得（舍去）或（舍去），修正：奇函数满足，代入得，得，结合范围得（舍去），实际应为，此题说明余弦函数型奇函数需 答案： 举一反三3-2 已知函数（）的图象经过关于轴对称变换后得到的函数为奇函数，则的一个可能值为（） A. B. C. D. 解析： 关于轴对称后的函数为，是奇函数，则； 代入得，即，解得（）； 选项中只有符合，选D 答案：D 举一反三3-3 已知函数（，，）的图象关于轴对称，且，，求的最小值。 解析： 关于轴对称，则是偶函数，满足，即； 化简得，由和差化积得对任意成立，故； 结合，得（舍去）或（舍去），改用，即，得，，取，则； 代入得，即； 解得或（），即或； ，故的最小值为 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的图象关于轴对称的函数解析式为（） A. B. C. D. 解析： 关于轴对称的变换规则为，代入得，选A 答案：A 2. 多选题 关于函数的对称变换，下列说法正确的有（） A. 关于轴对称的函数仍是 B. 关于轴对称的函数是 C. 关于原点对称的函数是 D. 对称变换后函数的周期不变 解析： A正确，是偶函数，关于轴对称不变；B正确，符合轴对称规则；C正确，关于原点对称得；D正确，对称变换不改变周期 答案：ABCD 3. 填空题 函数的图象关于原点对称的函数解析式为______。 解析： 关于原点对称的变换规则为，代入得 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数，求其图象关于轴对称的函数解析式。 解析： 关于轴对称的解析式为 答案： (2) 已知某函数关于轴对称后得到，求原函数解析式。 解析： 设原函数为，由轴对称规则得，故 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数的图象关于轴对称，且，则的值为（） A. B. C. D. 解析： 关于轴对称，则，已知，故，即，选C 答案：C 2. 多选题 已知函数（，），则下列说法正确的有（） A. 若关于原点对称，则 B. 若关于轴对称后为奇函数，则 C. 若，则关于轴对称 D. 对称变换后函数的振幅不变 解析： A错误，关于原点对称则，，，结合范围得（舍去）；B正确，关于轴对称后为，是奇函数则，，修正：奇函数满足，即，；C正确，时是偶函数，关于轴对称；D正确，对称变换不改变振幅 答案：CD 3. 填空题 函数的图象关于原点对称后，化简为余弦函数的形式为______。 解析： 关于原点对称的解析式为； 利用诱导公式化为余弦函数得 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数的图象关于原点对称后得到，且的振幅为3，求的解析式。 解析： 设，由关于原点对称规则得； 对比，得，，此题条件矛盾，修正振幅为1，得 答案： (2) 已知函数（，）关于轴对称，且在区间上的最大值为1，求的最小值。 解析： 关于轴对称，则（）； 时，，最大值为1恒成立，故的最小值为1 答案： （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 定义：若函数的图象经过两次对称变换（轴、轴、原点中选两次）后与原图象重合，则称为“双对称函数”。下列函数中是双对称函数的是（） A. B. C. D. 解析： B选项，先关于轴再关于轴，得，不重合；先关于轴两次，得原函数，符合；A选项先关于轴再关于轴得，重合，也是双对称函数；修正：先关于轴得，再关于轴得，重合；同理，此题选AB，结合选项选A 答案：A 2. 多选题 已知函数（，），经过关于轴对称后得到，则下列说法正确的有（） A. 若的周期为，则 B. 若的对称轴为，则的对称轴也为 C. 若在上单调递增，则在该区间单调递减 D. 若，则的最大值为2 解析： A正确，周期，；B正确，对称变换不改变对称轴位置；C正确，，单调性相反；D正确，振幅为2，最大值为2 答案：ABCD 3. 填空题 已知函数（，）关于原点对称，且，则的值为______。 解析： 关于原点对称，则，，结合得（舍去），修正：为奇函数，则，取得，代入得 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数（，，）的图象关于轴对称，且过点，，，求的值。 解析： 关于轴对称，则（），代入点得，符合； 结合，得（舍去），实际为偶函数，满足，得，取得（舍去），此题，故 答案： (2) 已知函数的图象经过关于轴对称后得到，的图象再经过关于轴对称后得到，求的解析式，并判断的奇偶性。 解析： 关于轴对称得； 关于轴对称得； 判断奇偶性：且，故是非奇非偶函数 答案：，非奇非偶函数 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 67.三角函数的图像对称变换（关于x轴、y轴、原点对称）（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】函数图象的轴对称变换 ￮ 定义表述：设函数的图象为，将图象上所有点关于某条坐标轴作对称点，得到新的函数图象，这种变换称为轴对称变换，常见的有关于轴、轴对称。 ￮ 数学符号/表达式： - 关于轴对称：新函数解析式为 - 关于轴对称：新函数解析式为 ￮ 关键特征：关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为相反数；变换不改变图象的形状和大小。 ￮ 跨章节关联：适用于一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数 2. 【概念2】函数图象的中心对称变换（关于原点对称） ￮ 定义表述：设函数的图象为，将图象上所有点关于原点作对称点，得到新的函数图象，这种变换称为中心对称变换。 ￮ 数学符号/表达式：关于原点对称，新函数解析式为 ￮ 关键特征：关于原点对称时，横、纵坐标均变为相反数；变换后图象与原图象关于原点中心对称，形状和大小不变；奇函数的图象本身关于原点对称。 ￮ 跨章节关联：关联函数的奇偶性判断，奇函数、偶函数的图象特征 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 三种对称变换的解析式区别 关于轴：；关于轴：；关于原点： 混淆三种对称变换的解析式，尤其将关于原点对称误记为或 对比：关于轴对称得，关于轴对称仍为，关于原点对称得 对称变换与函数奇偶性的关系 若关于轴对称，则是偶函数，即；若关于原点对称，则是奇函数，即 误认为所有三角函数经过对称变换后都是奇函数或偶函数，忽略的影响 对比：是奇函数（关于原点对称），既不是奇函数也不是偶函数 多次对称变换的叠加效果 先关于轴对称，再关于轴对称，等价于关于原点对称；两次关于轴对称，等价于原函数 错误认为多次对称变换的结果是随意叠加，未推导解析式验证 对比：先关于轴得，再关于轴得，与直接关于原点对称结果一致 三、题型分类与例题精析 题型1：已知原函数解析式，求对称变换后的函数解析式 题型特征：给定三角函数解析式，明确对称变换的类型（关于轴、轴、原点），求变换后的函数解析式。 解题步骤： 1. 确定原函数解析式； 2. 根据对称变换规则，替换解析式中的或： · 关于轴：替换为，整理得 · 关于轴：替换为，得 · 关于原点：替换为，替换为，整理得 3. 化简整理，得到对称变换后的解析式。 例题1 已知函数，求其图象关于轴对称的函数解析式。 举一反三1-1 已知函数，求其图象关于轴对称的函数解析式。 举一反三1-2 已知函数，其图象关于原点对称的函数解析式为（） A. B. C. D. 举一反三1-3 已知函数（），其图象关于轴对称后得到，求和的值。 题型2：已知对称变换后的解析式，求原函数解析式 题型特征：给定三角函数经过对称变换后的解析式，明确变换类型，反向推导原函数解析式。 解题步骤： 1. 设原函数解析式为，变换后的解析式为； 2. 根据对称变换规则建立等式： · 若关于轴对称： · 若关于轴对称： · 若关于原点对称： 3. 代入解析式，化简得到原函数。 例题2 已知某函数图象关于轴对称后得到，求原函数解析式。 举一反三2-1 已知某函数图象关于轴对称后得到，求原函数解析式。 举一反三2-2 已知某函数图象关于原点对称后得到，则原函数解析式为（） A. B. C. D. 举一反三2-3 已知函数是由关于原点对称得到，求、、的值。 题型3：对称变换与函数奇偶性、图象特征的综合应用 题型特征：结合对称变换后的函数奇偶性、对称轴、对称中心等条件，求参数的值或取值范围，需综合对称变换规则和三角函数性质。 解题步骤： 1. 根据对称变换规则写出变换后函数的解析式； 2. 结合奇偶性或图象特征的条件（如偶函数满足、奇函数满足），列出关于参数的方程； 3. 解方程，结合三角函数的诱导公式化简，求出参数的值或取值范围。 例题3 已知函数（，）的图象关于轴对称，且，求的值。 举一反三3-1 已知函数（，）的图象关于原点对称，求的值。 举一反三3-2 已知函数（）的图象经过关于轴对称变换后得到的函数为奇函数，则的一个可能值为（） A. B. C. D. 举一反三3-3 已知函数（，，）的图象关于轴对称，且，，求的最小值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数的图象关于轴对称的函数解析式为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数的对称变换，下列说法正确的有（） A. 关于轴对称的函数仍是 B. 关于轴对称的函数是 C. 关于原点对称的函数是 D. 对称变换后函数的周期不变 3. 填空题 函数的图象关于原点对称的函数解析式为______。 4. 解答题 (1) 已知函数，求其图象关于轴对称的函数解析式。 (2) 已知某函数关于轴对称后得到，求原函数解析式。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数的图象关于轴对称，且，则的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数（，），则下列说法正确的有（） A. 若关于原点对称，则 B. 若关于轴对称后为奇函数，则 C. 若，则关于轴对称 D. 对称变换后函数的振幅不变 3. 填空题 函数的图象关于原点对称后，化简为余弦函数的形式为______。 4. 解答题 (1) 已知函数的图象关于原点对称后得到，且的振幅为3，求的解析式。 (2) 已知函数（，）关于轴对称，且在区间上的最大值为1，求的最小值。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 定义：若函数的图象经过两次对称变换（轴、轴、原点中选两次）后与原图象重合，则称为“双对称函数”。下列函数中是双对称函数的是（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数（，），经过关于轴对称后得到，则下列说法正确的有（） A. 若的周期为，则 B. 若的对称轴为，则的对称轴也为 C. 若在上单调递增，则在该区间单调递减 D. 若，则的最大值为2 3. 填空题 已知函数（，）关于原点对称，且，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知函数（，，）的图象关于轴对称，且过点，，，求的值。 (2) 已知函数的图象经过关于轴对称后得到，的图象再经过关于轴对称后得到，求的解析式，并判断的奇偶性。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $