精品解析：湖北省 黄石市第十五中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度初中数学12月月考卷 一、单选题（3×10=30分） 1. 数据85000000用科学记数法可表示为（　　） A. 0.85×108 B. 8.5×106 C. 8.5×107 D. 85×106 2. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列所描述的事件，是不可能事件的是（ ） A. 下周一下雨 B. 买彩票中奖 C. 太阳西升东落 D. 掷硬币，国徽面朝上 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为（　　） A. 11 B. 15 C. 19 D. 21 6. 如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）． A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 7. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，．正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F，连接，以点F为圆心，长为半径画弧，与交于点G，射线交于点H，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 9. 已知下列四个命题：其中真命题的个数是（ ） （1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （2）对角线垂直相等四边形是菱形； （3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （4）四边都相等的四边形是正方形． A 1 B. 2 C. 3 D. 0 10. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（3×5=15分） 11. 如图，多边形ABCDE为正五边形，则∠ACB的度数为______． 12. 对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是____________． 13. 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 14. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为14，面积为8，则m2n+mn2的值为_____． 15. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值_____． 三、解答题 16. （1）计算： （2）解不等式组． 17. 为了解市民对全市创文工作满意程度，娄星区某中学数学兴趣小组在娄底城区范围内进行了抽样调查，将调查结果分为非常满意，满意，一般，不满意四类，回收、整理好全部问卷后，绘制了两幅不完整的统计图1、图2，结合图中信息，回答： （1）此次共调查了多少名市民？ （2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）若我市城区共有480000人口，请估算我市对创文工作“非常满意和满意”的市民人数． 18. 已知． （1）化简； （2）若，是方程的两个根，求的值． 19. 如图，在平行四边形中，点，分别是，上的点，且，连接、，求证：、互相平分． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的坐标为（2n，－n）． （1）求n的值，并确定反比例函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 21. 家用手推洗地机配合人体工学设计把手和简单清晰的控制面板，操作舒适，配备刷子压力自动调节系统及出水系统，保证地板的清洗效果，深受人们喜爱．商场根据市场需求，采购了A，B两种型号的家用手推洗地机．已知B型每个的进价比A型的2倍少400元，若采购相同数量的A，B两种型号的家用手推洗地机，分别需要8万元和14万元． （1）请问A，B两种型号的家用手推洗地机的进价分别为多少？ （2）若A型家用手推洗地机的售价为1800元/个，B型家用手推洗涤机的售价为3200元/个，商场计划购进A，B两种型号的家用手推洗涤机共75个，要使总利润不低于2.48万元，则A型家用手推洗涤机最多购进多少个？ 22. 如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°． (1)求∠P的大小； (2)若AB=2，求PA的长（结果保留根号）． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 24. 如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中数学12月月考卷 一、单选题（3×10=30分） 1. 数据85000000用科学记数法可表示为（　　） A. 0.85×108 B. 8.5×106 C. 8.5×107 D. 85×106 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据85000000用科学记数法可表示为8.5×107． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 计算的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，任何不等于0的数的－p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即（，p是正整数）；0的负整数指数幂没有意义．据此求解即可． 【详解】解：． 故选D． 3. 下列所描述的事件，是不可能事件的是（ ） A. 下周一下雨 B. 买彩票中奖 C. 太阳西升东落 D. 掷硬币，国徽面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、下周一下雨是随机事件，此选项不符合题意； 、买彩票中奖是随机事件，此选项不符合题意； 、太阳西升东落是不可能事件，此选项符合题意； 、掷硬币，国徽面朝上是随机事件，此选项不符合题意； 故选：． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法运算法则判断A和B，利用二次根式的乘除法运算法则判断C和D． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式的乘除法计算法则；是解题关键． 5. 一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为（　　） A. 11 B. 15 C. 19 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】设盒子中红球的个数为x，根据题意列出方程，解方程即可求得红球的个数. 【详解】解：设盒子中红球的个数为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解， 即盒子中红球大约有21个. 故选D. 6. 如图，已知矩形的对角线的长为，连接矩形各边中点E、F、G、H得四边形，则四边形的周长为（ ）． A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理易得四边形的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为10，那么就求得了各边长，让各边长相加即可． 【详解】解：连接，由矩形性质可知，， ∵、是与的中点， ∴是的中位线， ∴（cm）， 同理，， ∴四边形的周长为20cm. 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线的应用，能求出四边形的各个边的长是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 7. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间（不包含端点）．下列结论中：①；②；③；④一元二次方程的两个根分别为，．正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像判断出， ，利用对称轴判断出即可判断出①错误；根据两根之积得出，再结合即可得出结论；根据条件得到当时，有，可得即可求解；把化为即可求解． 【详解】解：由函数图像可知，， ， ∵， ∴， ∴：故①错误， ∵抛物线与x轴交于点，顶点坐标为， ∴抛物线与x轴的令一交点为， ∴， ∴ ∵． ∴． ∴，故②正确； ∵顶点坐标为， ∴其对称轴．即． ∵抛物线与x轴交于点， ∴，即， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在和两点之间， ∴． ∵顶点坐标为，即当时，有， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴．故③正确； ∵一元二次方程可化为， 又∵．∴可有， 解方程，得，，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质、运用数形结合思想分析问题是解题的关键． 8. 如图，矩形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F，连接，以点F为圆心，长为半径画弧，与交于点G，射线交于点H，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】连接根据证明得出再证明设即在中，得出方程求解即可． 【详解】解：∵以点F为圆心，长为半径画弧，与交于点G，连接则 又以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，交于点F， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴即 ∴ 设即 在中， ∴ 解得， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，证明是解答本题的关键． 9. 已知下列四个命题：其中真命题的个数是（ ） （1）对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （2）对角线垂直相等的四边形是菱形； （3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形； （4）四边都相等的四边形是正方形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理． 根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可． 【详解】（1）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题； （2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题； （3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题； （4）四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题； 故选：A． 10. 如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根；⑤．其中，正确结论的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象，依次判断、、，可判断①；根据抛物线的对称性与过点（3，0），可得抛物线与x轴的另一个交点为(−1，0)，可判断②；根据图象，可知y是有最大值，但不一定是3，可判断③；由函数与的图象有两个交点，可判断④；由于抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），可知，再根据、推导，可判断⑤；从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴，故②正确； 根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由可得， 根据图象，抛物线与直线有交点， ∴有实数根，故④正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即，故⑤正确． 综上所述，正确的为②④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 二、填空题（3×5=15分） 11. 如图，多边形ABCDE为正五边形，则∠ACB的度数为______． 【答案】36° 【解析】 【分析】根据正多边形的性质和内角和公式，可知∠B=108°，AB=BC，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和求∠ACB的度数. 【详解】解：∵多边形ABCDE为正五边形 ∴AB=BC 又五边形的内角和为（5-2）×180°=540° ∴∠B=540°÷5=108° ∵AB=BC ∴∠ACB=（180°-108°）=36° 故答案为：36°. 【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，等腰三角形的性质以及三角形内角和，熟练地掌握这些知识是解题的关键. 12. 对于任意实数a，抛物线与x轴都有公共点，则b的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点问题．由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解． 【详解】解：由抛物线与轴都有公共点可得：，即， ∴， 设，则， 要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可， ∴，即的最小值为， ∴； 故答案：． 13. 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________． 【答案】11或13##13或11 【解析】 【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解． 【详解】解：∵（a﹣3）2+=0， ∴，， 当为腰时，周长为：， 当为腰时，三角形的周长为， 故答案为：11或13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 14. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为14，面积为8，则m2n+mn2的值为_____． 【答案】56 【解析】 【分析】根据题意可知m+n＝7，mn＝8，然后根据因式分解法将多项式进行分解后即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：m+n＝7，mn＝8， 原式＝mn（m+n）＝8×7＝56， 故答案为56 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型． 15. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值_____． 【答案】2﹣1 【解析】 【分析】根据题意先证明△ADE≌△CDF，则CF＝AE＝1，根据三角形三边关系得：AF≤AC﹣CF，可知：当F在AC上时，AF最小，所以由勾股定理可得AC的长，可求得AF的最小值． 【详解】解：如图，连接FC，AC，AE． ∵ED⊥DF， ∴∠EDF＝∠EDA+∠ADF＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠CDF＝90°， ∴∠EDA＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中 ∵， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴CF＝AE＝1， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴AC＝2， ∵AF≥AC﹣CF， ∴AF≥2﹣1 ∴AF的最小值是2﹣1； 故答案为2﹣1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是确定AF最小时，F在线段AC上，是一道中等难度的试题． 三、解答题 16. （1）计算： （2）解不等式组． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】考查知识点为有理数的乘方、绝对值的化简、立方根的计算；一元一次不等式的解法、不等式组的解集确定． （1）先计算，根据化简，再计算，最后将三项结果相加：． （2）先解第一个不等式，移项得，变向得；再解第二个不等式，两边乘3后移项得，变向得；最后取公共部分得． 【详解】（1） （2） 解第一个不等式： ． 解第二个不等式： ， ， ． 故不等式组的解：． 17. 为了解市民对全市创文工作的满意程度，娄星区某中学数学兴趣小组在娄底城区范围内进行了抽样调查，将调查结果分为非常满意，满意，一般，不满意四类，回收、整理好全部问卷后，绘制了两幅不完整的统计图1、图2，结合图中信息，回答： （1）此次共调查了多少名市民？ （2）将两幅统计图中不完整的部分补充完整； （3）若我市城区共有480000人口，请估算我市对创文工作“非常满意和满意”的市民人数． 【答案】（1）200；（2）详见解析；（3）384000 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可得到“非常满意”的有90人，占调查人数的，可求出调查的人数； （2）求出“满意人数”，即可补全条形统计图； （3）样本估计总体，样本中“非常满意和满意”的占，因此估计480000人的是“非常满意和满意”的人数． 【详解】解：（1）（人， 答：此次共调查了200名市民． （2）（人；补全条形统计图如图所示： （3）（人， 答：我市对创文工作“非常满意和满意”的市民人数约为384000人． 【点睛】考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题，样本估计总体是统计中常用的方法． 18. 已知． （1）化简； （2）若，是方程的两个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系； （1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果； （2）利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个根， ∴ ∴ 19. 如图，在平行四边形中，点，分别是，上的点，且，连接、，求证：、互相平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据且平行证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分． 【详解】证明∶连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴与互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点B的坐标为（2n，－n）． （1）求n的值，并确定反比例函数的表达式； （2）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）n=2，； （2）-2<x<0或x>4 【解析】 【分析】（1）将点B的坐标代入y1求出 n，得到点B的坐标，代入即可得到函数解析式； （2）求出两个函数图象的交点坐标，即反比例函数的图象在一次函数图象的上方，利用两个函数图象的交点坐标得到答案． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入，得-2n+2=-n， 解得n=2， ∴点B的坐标为（4，-2）， 将点B的坐标代入，得k=-8， ∴； 【小问2详解】 解方程组， 解得， ∴A(-2，4)，B（4，-2）， 由图象得，当-2<x<0或x>4时，． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象判断不等式的解集，正确掌握一次函数与反比例函数的知识是解题的关键． 21. 家用手推洗地机配合人体工学设计的把手和简单清晰的控制面板，操作舒适，配备刷子压力自动调节系统及出水系统，保证地板的清洗效果，深受人们喜爱．商场根据市场需求，采购了A，B两种型号的家用手推洗地机．已知B型每个的进价比A型的2倍少400元，若采购相同数量的A，B两种型号的家用手推洗地机，分别需要8万元和14万元． （1）请问A，B两种型号的家用手推洗地机的进价分别为多少？ （2）若A型家用手推洗地机的售价为1800元/个，B型家用手推洗涤机的售价为3200元/个，商场计划购进A，B两种型号的家用手推洗涤机共75个，要使总利润不低于2.48万元，则A型家用手推洗涤机最多购进多少个？ 【答案】（1）A，B两种型号的家用手推洗地机的进价分别为1600元、2800元． （2）A型家用手推洗涤机最多购进27个． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出分式方程和不等式成为解题的关键． （1）设A种型的进价为x元，则B种型号扫地机器人每个的进价为元，利用“数量=总价÷单价”结合采购相同数量的A，B两种型号的家用手推洗地机，分别需要8万元和14万元，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A种型号家用手推洗地机的进价，再将其代入中，即可求出B种型号家用手推洗地机的进价； （2）设A型家用手推洗涤机最多购进m个，则购买个B型号家用手推洗涤机，根据总利润不低于248万元列不等式求解即可． 小问1详解】 解：设A种型的进价为x元，则B种型号扫地机器人每个的进价为元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A，B两种型号的家用手推洗地机的进价分别为1600元、2800元． 【小问2详解】 解：设A型家用手推洗涤机最多购进m个，则购买个B型号家用手推洗涤机， 根据题意进而得：，解得：， 所以，A型家用手推洗涤机最多购进27个． 22. 如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°． (1)求∠P的大小； (2)若AB=2，求PA的长（结果保留根号）． 【答案】（1）∠P=60°；（2）PA=． 【解析】 【详解】（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴PA⊥AB， ∴∠BAP=90°； ∵∠BAC=30°， ∴∠CAP=90°-∠BAC=60°． 又∵PA、PC切⊙O于点A、C， ∴PA=PC， ∴△PAC为等边三角形， ∴∠P=60°． （2）如图， 连接BC，则∠ACB=90°． 在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°， ∵BC=1， ∴AC=， ∵△PAC为等边三角形， ∴PA=AC， ∴PA=． 23. 九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　 　°，与的数量关系是 　 　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）90， （2）； （3）或2 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：①当点E在右边时，②当点E在左边时，利用等腰三角形性质即可解决问题． 【小问1详解】 ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案：90，； 【小问2详解】 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 分以下两种情况进行讨论： ①如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 24. 如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数最值，二次函数在线段长的应用； （1）由抛物线的解析式可求，将其代入直线的解析式得，由直线解析式可求，将、的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求解； （2）由可求得，由在抛物线上得，即可求解；②将化成顶点式即可求解． 掌握待定系数法，会求二次函数的最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：由得， 当时，， ， ， ， 当时， ， ， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：①由题意得 ， 点是抛物线上的一个动点， ， ； ② ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $