精品解析：内蒙古自治区呼伦贝尔市阿荣旗2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度上学期期末测试题 八年级数学 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1. 如图，安装空调时，一般都会采用三角形支架进行固定，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：安装空调时，一般都会采用三角形支架进行固定，这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故选：C． 2. 如果分式的值为．那么的值是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为需满足分子为且分母不为，据此求解即可． 【详解】解：分式 的值为， 且 ， 解得 ，且 ， 的值为． 故选：A． 3. 如图，把含有角的直角三角板的斜边放在直线上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：把含有角的直角三角板的斜边放在直线上， 则， 故选A 4. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为原数中第一个非零数字前所有0的个数（包括小数点前的0）．据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 5. 分式方程的解是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 无解 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握知识点是解题的关键． 根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得 解得， 经检验，不是原方程的解，原方程无解． 故选D． 6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于H， 由作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 7. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 8. 如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的定义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小3分，共12分） 9. 已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【详解】解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 10. 如图，在中，，直线l垂直平分，交于点D，若，，，则的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，先利用线段垂直平分线的性质得到，则由三角形周长公式可得的周长即可． 【详解】解：∵直线垂直平分，交于点， ∴， ∴的周长， 故答案为：16． 11. 如图①，MN为平面镜，AO，OB分别为入射光线和反射光线，则，如图②，一束光沿CD的方向射入，经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知，则的度数为_________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查平面镜反射和三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，根据平面镜反射的原理可得，，再利用三角形内角和定理得到的度数，从而得到的度数． 【详解】解：∵一束光沿的方向射入，经过平面镜，反射后，沿方向射出， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，分别是线段，的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线将三角形分成面积相等的两等份是解题的关键． 是线段中点，的面积为可得的面积为，再利用三角形中线的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵是线段的中点，的面积为， ∴的面积为， ∵是线段的中点， ∴阴影部分的面积为. 故答案为：2． 三、解答题（共6小题，共54分） 13 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）0；（2），2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，分式的化简求值． （1）先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，求算术平方根，然后计算乘法，最后再计算加减法即可． （2）先计算括号里面的分式，再把除法转化成乘法，然后约分计算，最后把代入化简后的分式计算即可得出答案． 【详解】解：（1） （2） 当时，． 14. 随着户外运动的兴起，攀岩作为一项极具挑战性和趣味性的活动，受到了越来越多的人的喜爱．某中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案： 课题 测量校内攀岩墙的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案及示意图 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角； ②使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点D； ③测得． 请根据以上方案求出校内攀岩墙的高度． 【答案】校内攀岩墙的高度为 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的性质和判定． 根据题意证明，再结合全等三角形性质即可求出校内攀岩墙的高度． 【详解】解：， ． ， ． 在和中， ， ． ． ∴校内攀岩墙的高度为． 15. 人教版八年级上册数学教材第118页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了解这道题的方法： ， ， ， ， ， 方法运用 请你参照上面解法，解答以下问题． （1）已知，，求的值； （2）在（1）的条件下，求的值； 拓展提升 （3）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）（2）17（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的变形． （1）利用完全平方公式进行求解即可； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）设，，表示出相关线段的数量关系，然后利用完全平方公式求出，最后求出三角形的面积之和即可． 【详解】解：（1）由条件可得， ， ， ， ， ； （2） 由（1）得，，，代入上式， ∴； （3）设，， 由条件可知，，，， ， ， ， 解得：， ． 16. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 17. 为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． （1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ （2）若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 【答案】（1）甲队每天施工千米，乙队每天施工千米 （2）千米 【解析】 【分析】本题考查了是分式方程的应用，一元一次方程的应用，依据题意列出方程是解题的关键． （1）设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米，根据“甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的”列方程求解即可． （2）设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米，根据“两个工程队施工的总费用为万元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设乙队每天施工千米，则甲队每天施工千米．根据题意得： ， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． ． 答：甲队每天施工千米，乙队每天施工千米． 【小问2详解】 解：设甲队需要施工千米，则乙队需要施工千米， 由题意得：， 解得， 答：甲工程队需要施工千米． 18. 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系． 已知：在中，， （1）如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与数量关系为______，与的数量关系为______． （2）如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段，和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等． 【答案】（1）， （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，则由，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末测试题 八年级数学 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、填空题（每小题3分，共24分） 1. 如图，安装空调时，一般都会采用三角形支架进行固定，这样做的数学依据是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形的任意两边之和大于第三边 2. 如果分式的值为．那么的值是（ ） A B. C. D. 3. 如图，把含有角的直角三角板的斜边放在直线上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为毫米，将数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 分式方程的解是（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 无解 6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. 14 D. 28 7. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 8. 如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小3分，共12分） 9. 已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 10. 如图，在中，，直线l垂直平分，交于点D，若，，，则的周长为______． 11. 如图①，MN为平面镜，AO，OB分别为入射光线和反射光线，则，如图②，一束光沿CD的方向射入，经过平面镜OB，OA反射后，沿EF方向射出，已知，则的度数为_________． 12. 如图，在中，，分别是线段，的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（共6小题，共54分） 13. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 14. 随着户外运动的兴起，攀岩作为一项极具挑战性和趣味性的活动，受到了越来越多的人的喜爱．某中学数学兴趣小组为测量校内攀岩墙的高度，设计了如下方案： 课题 测量校内攀岩墙的高度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量方案及示意图 ①找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角； ②使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，直到，标记此时直杆的底端为点D； ③测得． 请根据以上方案求出校内攀岩墙高度． 15. 人教版八年级上册数学教材第118页的第7题：已知，，求的值．老师讲解了解这道题的方法： ， ， ， ， ， 方法运用 请你参照上面解法，解答以下问题． （1）已知，，求值； （2）在（1）的条件下，求的值； 拓展提升 （3）如图，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积． 16. 综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 17. 为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长千米，甲工程队每天施工的长度比乙工程队每天施工长度的多施工千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的． （1）求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ （2）若甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元，如果两个工程队施工的总费用为万元，则甲工程队需要施工多少千米？ 18. 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间关系． 已知：在中，， （1）如图1，若，点D、A、E在直线m上，，则与的数量关系为______，与的数量关系为______． （2）如图2，若，点D、A、E在直线m上，，试判断线段，和的数量关系，并说明理由． （3）如图3，若，，，E是中点，点P在线段上以的速度由点B到点C运动，同时点Q在线段上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为多少时，能使与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $