《第15章轴对称与等腰三角形》期末复习综合练习题2025-2026学年沪科版数学八年级上册

2025-2026学年沪科版八年级数学上册《第15章轴对称与等腰三角形》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（   ） A．三条高的交点 B．三条内角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 3．在中，，，若，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则说明的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，的边的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，和分别是的外角和的平分线，和交于点，过点作交于点于点，若，点到的距离为4，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在平面直角坐标系中，已知点和点关于y轴对称，则的值为 ． 9．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的度数为 ． 10．如图，在中，，，垂直平分交于点，，则 ． 11．如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 12．如图，在中，，．点在边上运动（不与，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时， ． 13．如图，在中，于点D，且，，于点F，若，，则 ． 14．如图，在中，，以为边作，满足，E为上的一点，连接，． （1）若，则的度数为 ． （2）若，则的长为 ． 三、解答题 15．如图，在和中，，，，分别交，于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 16．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，求． 17．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 18．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置） (3)求出的面积． 19．如图，是等边三角形，是等腰三角形，，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交，边于点M，N，连接． (1)当与垂直时，求证：是等边三角形； (2)当与垂直时，求证：． 20．如图，中，于点D，，点E在CD上，，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F，连接，点G在上，且，求的度数； (3)过点C作连接交于点N，若，直接写出的面积_______． 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 3．A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解决问题的关键．根据等腰三角形三线合一的性质即可得到，进而可得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 根据尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得到，从而确定答案． 【详解】解：如图所示： 由尺规作图作已知角的平分线的作法步骤，可知，， ， ， ， 即的依据是， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴ ∴ ∵，则 ∴ 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，等角对等边，平行线的性质，三角形的面积；连接，根据已知得出平分，根据平行线的性质，以及等角对等边得出，同理得出，进而求得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵和分别是的外角和的平分线， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点到的距离为4， ∴的面积为， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， 故选：B． 8． 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标特征．关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等． 根据关于y轴对称的坐标特征求出m、n的值，进而计算即可． 【详解】解：∵点和点关于y轴对称， ∴横坐标互为相反数，纵坐标相等， 即，， 解得，， ∴． 故答案为：． 9．或 【分析】此题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论，分当的垂直平分线与边相交和当的垂直平分线与的延长线相交两种情况求解即可． 【详解】解：当的垂直平分线与边相交时，如图①，边的垂直平分线与边交于点D，，则， ∵， ∴； 当的垂直平分线与的延长线相交时，如图②，边的垂直平分线与的延长线交于点D，，则， ∴． ∵， ∴； 综上所述：为或． 故答案为：或． 10．3 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，根据中垂线的性质，得到，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3． 11．15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．或 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是等腰三角形的性质． 根据等腰三角形的性质分类讨论，①当时；②当时；③当时；分情况求解即可． 【详解】解：， ． 当为等腰三角形时分三种情况：①当时，，， ． ，点不与点，重合， ∴不合题意； ②当时，， ， ； ③当时，， ， ∴ ． 综上所述，为或． 故答案为：或． 13．9 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，过点E作于点H，由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，过点E作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为9． 14． /60度 9 【分析】（1）先通过三角形的外角定理求出，然后即可求解，再由求解即可； （2）延长至，使，从而得到，进一步证明，接着证明，则，再根据线段和差计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，设与交于点，    ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，9． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理； （1）证明即可得到； （2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， ， ， ． （2）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）得，， ，， ， ， 又，， 平分． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形判定和性质，作出合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，，由，，可得，，由是的中垂线可得，即可证，得； （2）设，则，，易证，得，由，代入列方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵是的中垂线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵平分，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即． 17．(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形； （2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下 ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是直角三角形 （2）解：∵， 设 ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查轴对称作图、两点之间，线段最短，网格求三角形的面积，解题关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）根据题意点是点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所作． （3）利用直角梯形的面积减去其余两个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求： （2）解：如下图，点即为所求： （3）解：． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质与等腰三角形的性质． （1）根据角边角的判定方法证明与全等，由此可得，再结合即可证明； （2）添加辅助线，证明与全等，由此可得；同理可证与全等，由此可得，即可证明． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，， ∴， ∵与垂直，即， ∴， ∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形． （2）证明：如图，过点D作交于点E， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴． 20．(1)证明见解析 (2) (3)21 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）利用已知条件即可证明，进而证得； （2）由（1）知，，证，得，最后由求解； （3）延长交于F，证明，得到，求得长度，利用三角形面积公式即可得到的面积． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ； （3）解：延长交于F． 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：21． 学科网（北京）股份有限公司 $