专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理等腰（等边）三角形的经典模型构建知识体系，用知识框架图呈现帽子模型、等边截等长模型、等边内接等边模型的核心思想及内在联系，系统归纳对称性、全等变换等解题方法，明确各模型的条件、结论与证明思路。 讲义亮点在于“真题现模型”的分层练习设计，如湖北荆门期中题考查帽子模型的全等证明，重庆期末题结合等边截等长模型判断结论，培养学生几何直观与推理能力。通过模型运用示例和变式训练，帮助不同层次学生掌握解题技巧，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，．则的长是（   ） A．6 B．7 C． D． 例2（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，是等边三角形，是边上的一点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．8cm 例3（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在等边三角形中，， 与交于点P，，垂足为Q．的度数为 ，若，，则的长为 ． 例4（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，是边上的一点，，为上一点，为上一点，且，当最小时，的度数是 ． 例5（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在等边中，交于点于点． （1）∠PBQ的度数为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 例2（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 例3（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是AD上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（填序号） ． 例4（25-26八年级上·天津和平·期中）如图所示，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于． (1)求证：； (2)求； (3)若，，则_____． 例5（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图①，P，Q分别是边长为的等边三角形的边，上的动点，点P从顶点A向顶点B运动，点Q从顶点B向顶点C运动，两点同时出发且速度均为． (1)连接，交于点M，则在点P，Q运动的过程中，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． (2)连接，设点P，Q的运动时间为．求当t为何值时，是直角三角形． (3)如图②，若点P，Q分别在，的延长线上运动，作直线，交于点M，其余条件不变，则在此运动过程中，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变．则求出它的度数． 模型3.等边内接等边模型 例1（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使，则是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 例3（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点D在边上，且与不平行时，求证：； (3)如图3，若点D在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 例4（24-25八年级上·江苏常州·月考）（1）如图1四边形中，点、、分别是四边形的、、边上的点，，，是 ； （2）如图2，为等边三角形，点、、分别是的、、边上的点，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，中，，点从点向点以运动，点从点向点以运动，点从点向点以运动，三点同时运动秒，试问：当和分别为多少时，与全等． 例5（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且，，证明：． 1．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，等边三角形的边长为12，D为边上一动点，，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，E，F分别是等边三角形的边上的点，且交于点，则的度数为 ． 10．（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 11．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，为等边三角形，于点，点是线段上的一点，过点作的垂线分别交和延长线于点，过点作，垂足为，若，则的长为 ． 13．（2025·重庆·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为 ． 14．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，为等边三角形，为边上的高，点，分别在上，，当的值最小时，的度数为 度． 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，交于点，若，，则的长为 ． 17．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则的长为_____． 18．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在等边三角形中，为边上一点，为的延长线上一点，且，连接，交边于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若的边长为，求的长． 19．如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 20．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，为等边三角形，，分别交，于点D，点F为延长线上一点，且，连接交于点P． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：点P为的中点． (3)若的边长为8，过点D作于点G，求的长． 21．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知是等边三角形， (1)如图1，在线段、上各取一点、，、相交于点，若，求证：； (2)如图2，在线段上取一点使得，在线段上有一个动点，、相交于点，连接，若，求的值； (3)如图3，若是等边的中线，点、分别是线段、上的动点，且，当取得最小值时，求的度数． 22．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在中，点，，分别在边，，上，，． (1)如图1，若，．求证：是等边三角形． (2)如图2，若，，，，则______． 23．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是边长为8的等边三角形，P是边上一点（与A、C不重合），Q是延长线上一点（与B不重合），且，过P作于E，连接交于D． (1)当时，求的长； (2)求的值． 24．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，点在边上，连接，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数． 25．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 等腰（等边）三角形中重要模型之长短手模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.帽子模型（长短手模型） 5 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，点从点出发沿线段移动（点不与，重合），同时，点从点出发沿线段的延长线移动，已知点、移动的速度相同，与直线相交于点．(1)求证：；(2)过点作直线的垂线，垂足为，、在移动过程中，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)见详解(2)的长度保持不变，理由见详解 【详解】（1）证明：过点作交于，如下图， ∵点、同时出发，且移动的速度相同，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：的长度保持不变，理由如下：由（1）可知，， ∵，∴，由（1）可知，，∴， ∴，∴为定值． （24-25八年级上·重庆·期末）如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，，， ，，在和中， ，，故结论①正确； ，， ，故结论②正确； ，，， 不是等腰三角形；故结论③错误； ，，， ， ，即，故结论④正确；综上所述：正确的结论为①②④，共有3个，故选：B． （24-25八年级上·江苏·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【详解】解：（1）是等边三角形，， ，，，． ，，是等边三角形； （2）根据题意可得：∵△PMN是等边三角形，∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中，， ∴（AAS），，； ，，． 是正三角形，，而， ．，，，． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，．则的长是（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．证明，可得，，结合三角形外角的性质可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 例2（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，是等边三角形，是边上的一点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．8cm 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解答的关键． 先由等边三角形的性质得，，再根据余角性质和对顶角的性质可得，即可得，然后求得，利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的长为． 故选：A． 例3（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在等边三角形中，， 与交于点P，，垂足为Q．的度数为 ，若，，则的长为 ． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，三角形外角的性质， 先根据等边三角形的性质证明，可得，再证明，然后根据三角形外角的性质求出；先根据直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：，7． 例4（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图，在中，，，是边上的一点，，为上一点，为上一点，且，当最小时，的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；过点A作，且，证明，可得，，从而得到当点G，B，F三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长，连接交于点F，再结合等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，且，      ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点G，B，F三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长， 连接交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 例5（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在等边中，交于点于点． （1）∠PBQ的度数为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等，由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则； （2）根据含的直角三角形的性质即可证明，再证明，求得，据此计算即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，． 在与中， ， ∴． ， ， ． ． ， ； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在线段上，，与交于点，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到三个内角是，再根据角度的计算用表示出相关的角，得到，进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，在 上截取，连接． 设，则， ∵是等边三角形， ∴,， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 例2（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，等边三角形的边长为3，点D在边上，且，与相交于点P，若，则CE的长为 ． 【答案】1 【分析】根据题干条件和三角形的内角和等于，推断出，判定，即可得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，． ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴， ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是能证明． 例3（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是AD上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（填序号） ． 【答案】①②③④ 【分析】设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；过作交于，截取，而，证明，可得③符合题意；作，连接，证明，可得，，再证明，可得④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，故①符合题意； 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 过作交于，截取，而， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； 作，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，多边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 例4（25-26八年级上·天津和平·期中）如图所示，为等边三角形，、分别是、上的点，且，与相交于点，于． (1)求证：； (2)求； (3)若，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据边角边判定两个三角形全等即可； （2）先根据全等三解形的性质，得，再根据三角形外角的性质： （3）根据直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半，先求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ； （3）解：由（1）知， ， 于， ， 由（2）知， ， ， ． 故答案为：9． 例5（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图①，P，Q分别是边长为的等边三角形的边，上的动点，点P从顶点A向顶点B运动，点Q从顶点B向顶点C运动，两点同时出发且速度均为． (1)连接，交于点M，则在点P，Q运动的过程中，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． (2)连接，设点P，Q的运动时间为．求当t为何值时，是直角三角形． (3)如图②，若点P，Q分别在，的延长线上运动，作直线，交于点M，其余条件不变，则在此运动过程中，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变．则求出它的度数． 【答案】(1)的度数不会发生变化， (2)当或时，是直角三角形 (3)的度数不会发生变化， 【分析】（1）由题意得，，由等边三角形的性质得，，证得，得，进而得，再由三角形外角的性质即可求解； （2）由题意得，，则，分类讨论：当时，则或当时，则，再根据直角三角形的性质列方程求解即可； （3）由题意得，，由等边三角形的性质得，，进而得，，证得，得，再由对等角相等得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：的度数不会发生变化，，理由如下： 由题意得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，则， 当时，则， ∵，即， 解得， 当时，则， ∵，即， 解得， 当或时，是直角三角形． （3）解：的度数不会发生变化，， 由题意得，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数不会发生变化． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质、对顶角相等、三角形内角和定理、三角形外角的性质、解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质是解题的关键． 模型3.等边内接等边模型 例1（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形， ∴， ∵ , 即， ， ∴， 是等边三角形， ， 故选：C． 例2（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，对于，若存在点分别在上，使得，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，等腰及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，合理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当时，， 钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形， 只有锐角三角形存在反射三角形， 故①正确，符合题意； 当是等边三角形时，， 是等边三角形， 故②正确，符合题意； 当时，， 直角三角形不存在反射三角形 故③错误，不符合题意； 当是等腰三角形时，假设， 等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形， 故④正确，符合题意； 故选：①②④． 例3（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，点E是边上一定点，点D是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． (1)如图1，若，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点D在边上，且与不平行时，求证：； (3)如图3，若点D在边的延长线上，请探究线段与之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质与判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定及全等三角形判定与性质是解题关键， （1）先得出，再根据平行得出，可证明即可得出结论； （2）作，交于点M，证明即可得出结论； （3）作，交于点N，证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：在等边三角形中，， ， ， ， 为等边三角形； （2）证明：作，交于点M， 同（1）可得是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 作，交于点N， 同（1）可得是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 例4（24-25八年级上·江苏常州·月考）（1）如图1四边形中，点、、分别是四边形的、、边上的点，，，是 ； （2）如图2，为等边三角形，点、、分别是的、、边上的点，，，求证：是等边三角形； （3）如图3，中，，点从点向点以运动，点从点向点以运动，点从点向点以运动，三点同时运动秒，试问：当和分别为多少时，与全等． 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）当，或，时，与全等 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，根据同角的余角相等，得到，根据等腰直角三角形的概念解答； （2）证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据等边三角形的判定定理证明； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】解：（1）在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）证明：为等边三角形， ． 在和中， ， ，， ， ， ， ， 又， 为等边三角形； （3）解：当时，， ，， ，； 当时，，， ，， ，， 答：当，或，时，与全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的定义，等边三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的判定定理是解题的关键． 例5（24-25七年级下·上海·期末）如图，已知是等边三角形，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，先证明是等边三角形，推出，由等边三角形的性质得到，结合，利用三角形内角和定理证明，从而证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，等边三角形的边长为12，D为边上一动点，，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，的角所对的边是斜边的一半． 先证是等边三角形，再证，得，设，设，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， ，， ∴是等边三角形， ， ∵点为中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在等边三角形中，为上一点，过点的直线交于点，交延长线于点，作垂足为，如，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键，作交于点M，证明是等边三角形，进而证明，得出，，即可求出结论． 【详解】解：作交于点M， 在等边三角形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， 故选：B． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 根据等边三角形的性质可得，再证明可得，最后根据三角形外角的性质以及等量代换的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 5．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明得，由三角形外角性质推出即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质等知识，掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．（24-25八年级下·江西抚州·期中）已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，正确； ∴， ∵， ∴，， ∴，正确； ∵，， ∴，正确； 只有当时，，②不一定正确； 故选：C． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，利用等边三角形的性质得到，则，则可根据“”判定，所以；于是可对①进行判断；利用可判断，则可对②进行判断；由于只有当时，，则可对③进行判断；利用得到，加上，所以，从而得到，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵于E，于G， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 所以①正确； 在和中， ， ∴， 所以②正确； ∵， ∴只有当时，， 所以③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用等边三角形的性质证明，根据全等三角形的性质得到，再利用三角形的外角定义即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 9．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，E，F分别是等边三角形的边上的点，且交于点，则的度数为 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质结合可证明，则可得到，由三角形内角和定理可得，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：120． 10．（24-25八年级上·重庆永川·期中）如图，是等边三角形，，于Q，交于点P，下列说法：①；②；③；④；⑤．其正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，即可得到①正确；根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半即可判断③正确，根据线段的和差关系即可证明④正确，无法证明，以及． 【详解】解：是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，③正确； ， ， ，故④正确； 无法证明，以及，故②和⑤错误； 故答案为：①③④． 11．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则 ． 【答案】16 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，为等边三角形，于点，点是线段上的一点，过点作的垂线分别交和延长线于点，过点作，垂足为，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了含有角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求出相关角度，通过角度关系得到边的关系，进而求出线段长度． 【详解】∵为等边三角形，， 又∵， ， 又 故答案为：6． 13．（2025·重庆·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据和都是等边三角形，证明，，得到，根据解答即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边上，且，与交于点F，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 先根据等边三角形的性质证明可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，为等边三角形，为边上的高，点，分别在上，，当的值最小时，的度数为 度． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，作，使得，连接，，利用等边三角形的性质结合平行线的性质进一步证明，由全等三角形的性质得出即可得出，即可知三点共线时，的值最小，再利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质得出，最后再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，作，使得，连接，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， ， 三点共线时，，此时这个值最小， ， ， ， ． 故答案为：15． 16．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是等边三角形得，，根据垂直的定义得，从而求出，根据等角对等边得，根据所对直角边是斜边的一半得，设，则，，然后求出的值即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由，设，则，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 17．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则的长为_____． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形中角所对的边是斜边的一半和等腰三角形的判定和性质，解决此题的关键是熟练运用三线合一； （1）根据等腰三角形中有一个的角即为等边三角形即可； （2）先根据等边三角形的性质得到角度，进而判断出等腰三角形，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半进而即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：在中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ 又， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）如图，在等边三角形中，为边上一点，为的延长线上一点，且，连接，交边于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若的边长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形三线合一等知识点，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）过作的平行线至于，易证是等边三角形，再证明，得出结论； （2）利用是等边三角形，，得出，再由，得出，由此得出与的关系解决问题． 【详解】（1）证明：如图， 过作交于点， ，， 为等边三角形， ， ， 是等边三角形； ， ∵， ， ∵， ， ． （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 19．如图，为等边三角形，，与相交于点P，于Q，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （3）求出，再由直角三角形的性质得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，为等边三角形，，分别交，于点D，点F为延长线上一点，且，连接交于点P． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：点P为的中点． (3)若的边长为8，过点D作于点G，求的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据为等边三角形，得出，根据，得出，，则，即可证明是等边三角形； （2）根据是等边三角形，得出，结合，得出，根据，得出，证明，得出．即可证明点P为的中点． （3）根据是等边三角形，得出，根据，，得出，结合，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ， ∵， ∴，， ∴， 是等边三角形； （2）证明：是等边三角形， ， ， ， ∵， ， 在与中， ， ， ． ∴点P为的中点． （3）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知是等边三角形， (1)如图1，在线段、上各取一点、，、相交于点，若，求证：； (2)如图2，在线段上取一点使得，在线段上有一个动点，、相交于点，连接，若，求的值； (3)如图3，若是等边的中线，点、分别是线段、上的动点，且，当取得最小值时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，平行线的性质等， 对于（1），先根据等边三角形的性质得，，再根据三角形的外角的性质求出，然后根据“角边角”证明，则此题可证； 对于（2），分两种情况：当时，可证明，进而得出， 此时，然后则，接下来表示出，可得答案；第二种情况：时，由等边三角形的性质，当时，仍然有，即可求出答案； 对于（3），作，使，连接，先证明，可得，即，当点B，P，F共线时，取得最小值，再根据等腰三角形的性质得，然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 此时， 设则， ∴， ∴， ∴； 当时，由等边三角形的性质，当时，仍然有， 同理，得． 综上所述，的值为或； （3）解：作，使，连接， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点B，P，F共线时，取得最小值， 如图所示， ∴， ∴， ∴， 所以的度数为． 22．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在中，点，，分别在边，，上，，． (1)如图1，若，．求证：是等边三角形． (2)如图2，若，，，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质； （1）证明得出，，则，根据，，即可得出，即可求解； （2）过点作于点，则，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而求得，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴，， ∴ ∵，， ∴， 又∵ ∴是等边三角形． （2）解：如图所示，过点作于点，则 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是边长为8的等边三角形，P是边上一点（与A、C不重合），Q是延长线上一点（与B不重合），且，过P作于E，连接交于D． (1)当时，求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，，再利用直角三角形的性质列式计算即可求解； （2）延长，过点Q作于点证明，得出，，根据直角三角形的性质得出，从而得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则的长为； （2）如图，延长，过点Q作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 24．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，，点在边上，连接，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，点在边上，连接交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据等边三角形的判定定理可进行求解； （2）由（1）可得，则可证，然后问题可求解 【详解】（1）证明：如题图①， ， ． ， ， ． ， ， ∴是等边三角形． （2）解：如题图②， ∵是等边三角形， ． 在和中， ， ， ， 的度数是． 25．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点在等边三角形的边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点． (1)如图（1），若，试说明． (2)如图（2），若，，过点作，垂足为点，的长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长是定值，定值为 【分析】（）过点作交于点，可证，得到，再证明是等边三角形，得到，即可求证； （）过点作交于点，由得到，由是等边三角形得到，又由是等边三角形，得到，即得到，即可求解． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点，则，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：的长是定值，定值为，理由如下： 如图，过点作交于点，则，， 由（）知，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（）知，是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴的长是定值，定值为 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $