专题13 将军饮马问题（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题13 将军饮马问题 目录 1 类型一、两定一动型 4 类型二、一定两动型 20 类型三、造桥选址问题 40 类型四、画图问题 50 类型五、与一次函数综合 58 69 类型 两定一动型（四种） 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 类型 一定两动型（三种） 图形 条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 结论 过A点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 做A点关于m1的对称点A'点，过A'点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 图形 条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 结论 做点P关于m1，m2的对称点P'，P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 类型 两动两定型（两种） 图形 条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值. 结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长. 类型 平移线段型（两种） 图形 条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值. 结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN. 【本节内容常用勾股定理相结合考查，下面为勾股定理基础知识】 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 类型一、两定一动型 重难点一 同侧/异侧，求线段和的最小值 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、轴对称的性质、垂线段的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键． 要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴就是的最小值， ∵直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短， ∴时，最小， ∵是等边三角形， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为8，故C正确． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：A． 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点，则，那么的最小值为，过点作交于，过点作于点，证明，导角证明得到，则由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时重合，点共线， 过点作交于，过点作于点， ∴， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的外角定理等知识点，难度大，解题的关键是正确构造全等三角形． 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 由基本作图得到垂直平分，则，所以，连接，如图，利用两点之间线段最短可判断的最小值为，再利用等腰三角形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算出即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， 连接，如图， ∵（当且仅当M点在上时取等号）， ∴的最小值为， ∵，D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴长度的最小值为5． 故答案为：5． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——轴对称变换及最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点即可； （2）连接交y轴于P点，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件，从而得到P点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如图，根据轴对称的性质可知，，连接交y轴于P点，此时点P即为所求作，P点坐标为． 故答案为：． 重难点二 同侧/异侧，求线段差的最大值 6．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点，连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接， ∴， ∴， ∴点P就是使的值最大的点， 已知为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值；由三角形三边之间的关系可得，，进而可得，由绝对值的意义可得，由此即可得出的最大值；综上，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的最小值为； ，， ， ， 的最大值为； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形三边之间的关系，三线合一，三角形的面积公式，线段中点的有关计算，绝对值的意义等知识点，找出点关于直线的对称点为点以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 11．（24-25八年级上·河南漯河·期中）是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中动点和线段和差最值问题，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和面积计算公式求得的边长为，结合等边三角形的性质，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号，由轴对称可知，当、、三点共线，取等号，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，过点作交于， 则，且所在直线为过点的对称轴， 即点是直线上的一动点，如图， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号， ∴取得最大值，最大值为； ∵点关于的对称点为点， ∴， ∴，当、、三点共线，取等号， ∴的最小值为， ∵是等边三角形，为的中点， ∴， 则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，点是线段的中点，以为直角顶点，作等腰直角三角形（C，，三点按顺时针方向排列），且，将等腰直角三角形绕点顺时针方向旋转，在旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 【分析】如图，过作，且，连接，，证明，，可得当三点共线时，，此时最大，再进一步利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作，且，连接，， ∵，点是线段的中点， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 当三点共线时，，此时最大， ∴的最大值为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 13．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可； （3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明∶ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 作C点关于直线的对称点， ∵平分． ∴在直线上， ∴连接的直线就是， ∴当P点和A点重合时，最大， 此时的最大值为， ∵， ∴的最大值为2． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 类型二、一定两动型 重难点一 利用垂线段最短解决线段和问题 14．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 15．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 16．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5.6 B．4.8 C．6.4 D．3.9 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，作点Q关于的对称点，连接，过点C作于点H．结合角平分线的性质以及轴对称的性质可得点在上，，根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，作点Q关于的对称点，连接，过点C作于点H． ∵是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，． ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4.8． 故选：B． 17．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ，垂直平分， ∴， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 【答案】4 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短，过点P作关于的对称点，连接，，证明，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作关于的对称点，连接，， ． ∵平分， ． 在和中， ， ， ， ∴要求的最小值，只要求出的最小值，即的最小值， ∴当时，的值最小，即点Q与点D重合，点与点B重合，最小值为的长． ∵在中，， ， 的最小值为4． 重难点二 求周长最小值（角内一点） 19．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，已知，点P是内任意一点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的应用，等边三角形的性质和判定， 先作点P关于的对称点C，连接，作点P关于的对称点D，连接，再根据两点之间线段最短可得当点C，D，M，N四点共线时，周长最小，然后说明是等边三角形可得答案. 【详解】解：如图所示，作点P关于的对称点C，连接，作点P关于的对称点D，连接， ∴， ∴的周长， 根据两点之间线段最短可得当点C，D，M，N四点共线时，周长最小， ∵， ∴， 同理可得， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴. 故选：A. 20．（2025·河北邯郸·二模）如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等腰直角三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ， 由对称轴的性质可得：，，，，，， ∴的周长为， ∴当最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可得，当时，最小，即最小， ∵点到的距离为， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：B． 21．（21-22八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线上异于点O的动点，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．作点关于的对称点E、D，连接，由轴对称的性质可得，当线段在同一直线上时，取最小值，且，再证明是等边三角形，易得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，作点关于的对称点E、D，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， 当线段在同一直线上时，取最小值，且， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴此时， ∴． 故选：B． 22．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3 (2)3 (3)5 【分析】（1）连接，可得点B，C关于对称，则，那么，故就是的最小值，然后根据等边三角形的性质得到，再根据等边三角形的高即可求解； （2）过点作于点，可得平分，，，，则，那么，即可求解最小值； （3）分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接，则，，然后得到是等边三角形，则，，而，故点共线时，周长取得最小值即为，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B，C关于对称，， ∴， ∴ ∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点， ∴， 而是边上的高 ∴， ∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为 ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 重难点三 求周长最小值（角内两点） 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在的内部有两点A，B，在两边上各取两点C，D，使得四边形的周长最小，请在图中确定C，D的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称−最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键． 分别作出点关于的对称点，连接与的交点即为点，再顺次连接即可，根据两点之间线段最短即可得到最小，继而四边形的周长最小． 【详解】解：如图，四边形即为所求： 24．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，由对称的性质，得，，，，，，推出的最小值是的长，再证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：B． 25．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即． 在直线上另取任一点，连接，在中可知， 综上所述：．故，当共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径问题，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，根据题意可得都是等边的高，则，据此可得答案； （2）分别作点A关于的对称点G、H，连接，由轴对称的性质可得，则；可证明当G、M、N、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，求出，则，进而可得． 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，且垂线段最短， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为6； （2）如图所示，分别作点A关于的对称点G、H，连接， 由轴对称的性质可得， ∴； ∵的周长， ∴当G、M、N、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点四 与角度有关的计算问题 26．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，先由题意可得，由轴对称的性质结合等边对等角可得，，由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理可得，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得：，， ∴，， ∵，，， ∴， 由可得：， 故选：A． 27．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 【答案】 120 【分析】分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小，连接，，由轴对称的性质得，，结合得到，进而推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 28．（17-18八年级上·江苏苏州·期末）如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称和等边三角形性质，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质，分别作点关于的对称点、，分别连、、交、于、，则可证明此时周长的最小，由轴对称性，可证明为等边三角形，． 【详解】解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 29．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 类型三、造桥选址问题 31．（21-22八年级下·江苏宿迁·期中）如图，矩形中，，，为边的中点，点、为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小． 【答案】2 【分析】由题意可知要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=PQ=1，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，可知AP=FQ，此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度． 【详解】解：如下图，在AD上截取线段AF=PQ=1，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，可知四边形APQF是平行四边形，AP=FQ，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点， ∵GH=DF=4-1=3，EH=1+2=3，∠H=90°， ∴∠GEH=45°， ∴∠CEQ=45°， 设BP=x，则CQ=BC-BP-PQ=4-x-1=3-x， 在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°， ∴CQ=EC， ∴3-x=1， 解得x=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线以及运用数形结合思维分析． 32．（24-25九年级上·重庆·开学考试）重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在处直角转弯，河宽相同，都为0.5公里，从处到达处（到的水平距离是4.5公里，到的竖直距离是3.5公里），须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使从到的路程最短，处到处的最短路径长为 公里． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，平行四边形的性质，勾股定理等知识， 过A作，且等于河宽，过B作，且等于河宽，连接，与河岸相交于、．作、即为桥，根据平行四边形的性质得到，，然后得到处到处的最短路径长即为的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过A作，且等于河宽，过B作，且等于河宽，连接，与河岸相交于、．作、即为桥． 由作图可知，，， 则四边形为平行四边形， ， 同理，， ∴ ∴处到处的最短路径长即为的长度 ∵到的水平距离是4.5公里，到的竖直距离是3.5公里，河宽相同，都为0.5公里 ∴（公里） ∴（公里） ∴（公里） ∴处到处的最短路径长为6公里． 故答案为：6． 33．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】此题主要考查了最短路线问题，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时点到与的距离和最短，正确作出辅助线，构造出最短路线为斜边的直角三角形是解决本题的解题关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， ， ，此时点到与的距离和最小， 过作，延长与交于点， ， ，，且， ， ， ， 点与点的距离是， 故答案为：． 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 35．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点； （2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短． （II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 36．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 类型四、画图问题 37．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）分别作出点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）由点C与点F关于直线对称，则，根据两点之间线段最短即可求作． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，点P即为所求． 38．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查了轴对称，以及含30度角的直角三角形的特征，正确确定如何使线段的和最小是关键． （1）要使最短，根据同一平面内线段最短，可知要作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P； （2）根据三角形两边之差小于第三边，当点A，B，Q三点共线时，最大，延长交直线l于Q； （3）过点A作交直线l于G，根据直角三角形的性质，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图所示，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P， 即点P为所求； （2）解：如图所示，延长交直线l于Q， 即点Q为所求； （3）解：如图，过点A作交直线l于G， 由（1）（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的最小值为9． 39．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 40．（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短 【解决问题】图见解析． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． （1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再结合三角形三边关系证明路径最短； （2）作点关于草地的对称点，作点关于河的对称点，连接即为最短路径． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 41．（24-25七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题； （1）作点 关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求； （2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可． （4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求． 【详解】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可） （2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）如图④，即为所求的桥． 根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． （4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点C关于l的对称点D， ∴，， ∴，， ∵为定值， ∴要求的最小值，只需求， ∴点B、F、D共线时，最小． 类型五、与一次函数综合 42．（20-21八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向正方向移动，过点P的直线1：也随之移动，设移动时间为t秒． (1)若直线l与线段有交点，确定t的取值范围； (2)设直线l与x轴交点为Q，若取得最小值，求此时直线l的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征分别求出当直线l过点M，N时t的值，进而可求出t的取值范围； （2）求得Q点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l的函数解析式． 【详解】（1）解：当直线l过点时，， 解得：， ， ， 当直线l过点时，， 解得：， ， ， 当直线l与线段有交点，t的取值范围为； （2）解：作M关于x轴的对称点，连接，交x轴于Q，此时的值最小，最小值为， 直线的解析式为，把，代入得，解得， 直线的解析式为， ， 把代入得，，解得， 直线l的函数解析式为． 43．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是，上的动点，求周长的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合． 作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，由对称得：，，，轴，周长为，当点共线时，周长取得最小值为，再由两点间距离公式即可求解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 当时，， 解得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由对称得：，， ∴，轴， ∴周长为， ∴当点共线时，周长取得最小值为， 而． 44．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， (1)求的值； (2)直接写出二元一次方程组的解； (3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）把点P的坐标代入中，求出的值，即求出点P的坐标，再把点P的坐标代入中，求出m的值即可； （2）两直线的交点的横纵坐标即为两直线的解析式组成的方程组的解，据此可得答案； （3）如图，作点A关于y轴对称点，则，由两点之间线段最短可知的最小值为的长，求出直线的表达式，则可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， 把点P坐标代入中得， ∴； （2）解：由（1）可得直线与直线交于点， ∴二元一次方程组的解为； （3）解：如图，作点A关于y轴对称点，则， 由两点之间线段最短可知的最小值为的长， ， 在中，当时，， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得 解得 直线的表达式为， 在中，当时，， 点C的坐标为． 45．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，，轴于点B，轴于点D，为的中点，直线交x轴于点F． (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作且交x轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值为 （请直接写出答案）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“，轴于点B，轴于点D”得到点D坐标，利用待定系数法即可得到直线的函数关系式； （2）利用证得，得到，利用，得到，进而得到； （3）连接交直线于点P，由点D与点F关于直线对称，可得，则的最小值为的长． 【详解】（1）解：∵，轴，轴， ∴，四边形是正方形，， 设直线解析式为， 将和代入，得：， 解得 ， ∴； （2）解：∵C是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接交直线于点P， ∵垂直平分， ∴点D与点F关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质以及轴对称﹣最短距离等，解题的关键是能够确定出P点的位置． 46．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的关系式； (2)若轴正半轴上有一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，若的长为6，求点的坐标； (3)轴上有一动点，连接，，求当周长取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设的关系式为，将和两点坐标代入解析式解答即可； （2）设点的坐标为，，解答即可． （3）作点关于轴对称点，连接交轴于点，则，当三点共线，即当在点处时，的周长最小，设直线的解析式为，将和坐标代入解答即可． 本题考查了待定系数法，轴对称的性质求最值，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：的横坐标是， 代入中得， ， 设的关系式为，将和两点坐标代入得， ， 解得， 一次函数的关系式为． （2）解：设点的坐标为， ， ， ， 解得， 点的坐标为． （3）解：在中，令， 解得， ， 作点关于轴对称点，连接交轴于点，则， 则，当三点共线，即当在点处时，的周长最小， 设直线的解析式为，将和坐标代入得， 解得 直线的解析式为， 是直线与轴交点， 令，得， ． 47．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)，；求解过程见解析 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数解析式的求解，一次函数的图像平移，熟练掌握一次函数函数的性质是解决本题的关键． （1）先由直线：求出A、B两点的坐标，再根据可求解C点的坐标，将B、C两点代入即可求解； （2）构造辅助线，利用面积求解点H的坐标，当点，Q，G三点共线时，即可求得最小值； （3）先求解出直线的解析式，再根据点M在点E的右侧即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：交坐标轴于A、B两点， 令，解得，即， 令，即，解得，即， ∵， ∴， ∵直线：过点B交y轴于点C， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：过点H作y轴平行线交直线BC于点K，如图， 设H点得坐标为，则K点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴H点的坐标为， 将点H沿着y轴向下平移个单位得到点， 作点关于y轴的对称点，连接，， ∴点的坐标为， 由题意知点G坐标为， ∴， 当点，Q，G三点共线时取等号， ∴的最小值为，当点，Q，G三点共线时取得最小值． （3）解：， 由题意知：直线的解析式为：， 当点M在点E的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， 令：，得：， 解得， ∴． 48．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 【答案】（1）见详解（2）见详解（3）4 【分析】本题主要考查轴对称的性质、三角形三边关系等相关知识，等边三角形的判定和性质等知识． （1）利用三角形三边关系及轴对称性质证明反射路径最短即可． （2）通过作对称点确定反射光线在挡板上的最高和最低位置； （3）过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D，通过轴对称的性质得出，过点P作于F， 进而可得出，由光入射角等于反射角的规律可得出进一步得出是等边三角形，由等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（三角形两边之和大于第三边）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）． ，， ． 故答案为∶三角形两边之和大于第三边；；线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等． （2）如图所示，作A关于的对称点，连接并延长交于点Q，连接并延长交为P，则点P和点Q即为所求； （3）如图，过点P作的对称点，过点作于点E，交于点D， ∴， 则 过点P作于F， ∵， ∴， ∴， ∵光线射出经过镜面D处反射到地面E点， ∴，     又∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为∶4． 49．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 50．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，点A、B分别是射线、射线上的动点，连接的角平分线与的角平分线交于点P． (1)当时，求证：； (2)在点A、B运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； (3)连接，C是线段上的动点，D是线段上的动点，当时，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)不变， (3)4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的判定、三角形内角和定理及最短路径问题，解题的关键是灵活运用几何图形的性质和判定定理，结合对称思想解决最值问题． （1）由且， 判定为等边三角形，得出；计算，利用角平分线性质得，通过证明． （2）根据三角形外角性质得出；由角平分线性质得，结合三角形内角和定理求出， 确定其大小不变． （3）利用角平分线性质证明平分； 通过三角形面积公式求出； 作点关于的对称点， 转化， 根据垂线段最短得出最小值为4． 【详解】（1）证明：如图1中， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴． （2） 解：如图2中，的大小不变，．理由如下： ∵， ∴， ∵分别平分， ， ∴． （3） 解：如图3中，过点A作于H，过点P作于J于K于I． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 作点D关于的对称点，连接， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 51．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 【答案】(1) (2) (3)16 (4) 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据对称性得到，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）同法（1）即可得出结果； （3）根据对称性得到，进而得到的周长为线段的长即可； （4）根据对称性得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小，得到与点重合，最小等于图中线段的长即可． 【详解】（1）解：由对称性可知：， ∴， 即：； 故答案为：； （2）同（1）可知：； （3）由对称性可知：， ∴的周长； 故答案为16； （4）由对称性可知：， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴当与点重合，最小等于图中线段的长； 故答案为：． 52．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图①，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点． (1)请直接写出直线的表达式：______． (2)已知在直线上存在一点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标； (3)如图②，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据直线与轴的交点，可求出点的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）设，分别用含的式子表示出，，由此即可求解； （3）是等腰直角三角形，设，，可表示出，再证，如图所示，当点，，在一条直线上时，的值最大，最大值为的值，可求得点的坐标，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线（6分）别与，轴交于，两点， 令，则， ，且， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得，， 直线的解析式为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知直线的解析式为，直线的解析式为， ，，， ，，， 如图1所示，点在直线上，过点作轴于， 设，， ，，； ①当，即时，， 若，则， 解得， 则 ，； ②当，即时，， 若，则， 解得（舍去）； ③当，即时，， 若，则， 解得， 则； 综上所述，当 或时，； （3）解：已知，，， 设，， 在中，，， 是等腰直角三角形，， ； 如图2所示，过点作轴于， 在，中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，且轴， 是等腰直角三角形，， 则点的轨迹在射线上， 如图3所示，作点关于直线的对称点， 连接，，，，，， 是等腰直角三角形，即，根据对称性质， ， 轴，且， ，则， 如图所示，当点，，在一条直线上时，的值最大，最大值为的值； 由勾股定理得：， 故答案为：． 53．（22-23八年级上·贵州安顺·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，的最小值是 【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）①根据垂直平分线的性质，可得的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②过点作于点，交于点，由垂直平分线的性质可得出，再利用垂线段最短可得出，再利用三角形面积即可得出 【详解】（1）解：若， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分线交与点N， ∴， ∴ 故答案为： （2）如图：连接， ①垂直平分． ， 又的周长是， ， ． ②过点作于点，交于点， 垂直平分 最小 的面积是． 的最小值是 【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，垂线段最短等知识， 掌握这些性质是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 将军饮马问题 目录 1 类型一、两定一动型 4 类型二、一定两动型 8 类型三、造桥选址问题 14 类型四、画图问题 18 类型五、与一次函数综合 21 23 类型 两定一动型（四种） 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 类型 一定两动型（三种） 图形 条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 结论 过A点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 做A点关于m1的对称点A'点，过A'点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 图形 条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 结论 做点P关于m1，m2的对称点P'，P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 类型 两动两定型（两种） 图形 条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值. 结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长. 类型 平移线段型（两种） 图形 条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值. 结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN. 【本节内容常用勾股定理相结合考查，下面为勾股定理基础知识】 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 类型一、两定一动型 重难点一 同侧/异侧，求线段和的最小值 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为（   ） A．20 B．18 C．16 D．14 3．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 4．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为 ． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 重难点二 同侧/异侧，求线段差的最大值 6．（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连接、，则的最大值是 ． 9．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，直线是的垂直平分线，是的中点，是上一个动点，的面积为12，，则的最小值为 ，的最大值为 ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． ∵， 11．（24-25八年级上·河南漯河·期中）是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知，点是线段的中点，以为直角顶点，作等腰直角三角形（C，，三点按顺时针方向排列），且，将等腰直角三角形绕点顺时针方向旋转，在旋转过程中，的最大值为 ． 13．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 类型二、一定两动型 重难点一 利用垂线段最短解决线段和问题 14．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 15．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 16．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A．5.6 B．4.8 C．6.4 D．3.9 17．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在等边中，D为边的中点，，P是线段上一动点，则的最小值为 ． 18．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分，分别是上的动点，连接，若，求的最小值． 重难点二 求周长最小值（角内一点） 19．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，已知，点P是内任意一点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的长是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·河北邯郸·二模）如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 21．（21-22八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，，点P是内的定点，且．若点M、N分别是射线上异于点O的动点，则的最小值是（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 22．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 重难点三 求周长最小值（角内两点） 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在的内部有两点A，B，在两边上各取两点C，D，使得四边形的周长最小，请在图中确定C，D的位置． 24．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·甘肃兰州·期末）教材呈现：以下是新教材北师大版七年级下册第页《问题解决策略：转化》的部分内容．课本提到：数学的学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题．转化是解决问题的一种重要策略． 【模型一】两定一动异侧求线段和最小 如图1，在直线的两侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． 问题解决： 小明的思考过程如下：如图1，连接两点，交直线于点，此时共线，即． 在直线上另取任一点，连接，在中可知， 综上所述：．故，当共线时，即 【模型二】两定一动同侧求线段和最小 如图2，在直线的同侧分别有两点，在直线上确定一个点，使得最短． （问题转化）小颖认为：可以借助轴对称，将同侧问题转化为异侧问题．如图2，作点关于直线轴对称点，连接，交于点，由轴对称可知，则 【应用】 （1）如图3，在等边中，，是的中点，是上的一点，求的最小值； 【拓展】两动一定三角形周长最小 （2）如图4，在四边形，，在上分别找一点、，当周长最小时，求的值． 重难点四 与角度有关的计算问题 26．（24-25七年级下·吉林长春·期末）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 28．（17-18八年级上·江苏苏州·期末）如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为 ． 29．（22-23八年级上·北京·期中）如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 30．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 类型三、造桥选址问题 31．（21-22八年级下·江苏宿迁·期中）如图，矩形中，，，为边的中点，点、为边上两个动点，且，当 时，四边形的周长最小． 32．（24-25九年级上·重庆·开学考试）重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在处直角转弯，河宽相同，都为0.5公里，从处到达处（到的水平距离是4.5公里，到的竖直距离是3.5公里），须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使从到的路程最短，处到处的最短路径长为 公里． 33．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄和李庄的群众出行到河岸．张庄和李庄位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄和李庄到河岸的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在，之间距离 m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 34．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 35．（24-25七年级下·天津河西·期中）（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 36．（23-24八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 类型四、画图问题 37．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短． 38．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知直线同侧有两点． (1)在直线上求作一点，使最小（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在直线上求作一点，使最大； (3)在（1）和（2）的条件下，若，，求的最小值． 39．（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 40．（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 41．（24-25七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 类型五、与一次函数综合 42．（20-21八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向正方向移动，过点P的直线1：也随之移动，设移动时间为t秒． (1)若直线l与线段有交点，确定t的取值范围； (2)设直线l与x轴交点为Q，若取得最小值，求此时直线l的函数解析式． 43．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是，上的动点，求周长的最小值． 44．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，直线与直线交于点，与轴、轴分别交于点和点， (1)求的值； (2)直接写出二元一次方程组的解； (3)若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标． 45．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，，轴于点B，轴于点D，为的中点，直线交x轴于点F． (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作且交x轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值为 （请直接写出答案）． 46．（24-25八年级下·甘肃平凉·期末）如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的关系式； (2)若轴正半轴上有一点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点，若的长为6，求点的坐标； (3)轴上有一动点，连接，，求当周长取最小值时点的坐标． 47．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程． 48．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）请根据以下素材，完成探究任务． 【背景材料】 背景1：中国西汉时期（公元前2世纪），《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”这一装置利用平面镜与水面的组合反射，实现了视野的扩展，被视为早期光学探索的重要实践． 背景2：古希腊数学家海伦（公元1世纪）在《反射光学》中通过几何方法证明，光在镜面反射时遵循入射角等于反射角的规律，且该路径为几何最短距离．17世纪，法国数学家费马提出费马原理，指出光在传播时总是选择耗时最短的路径（在均匀介质中即路径最短），从更普遍的物理原理上解释了海伦的结论，并将最短路径思想推广至折射等领域． 【任务1：证明反射路径最短】 （1）如图①，直线代表平面镜，点代表一实物，点代表眼睛，作实物关于平面镜的对称点，连接，交平面镜于点，连接，则为入射光线，为反射光线．求证：最短．请在横线上填写内容． 如图，在平面镜上任意找与点不重合的一点，连接，，， 在中，（_____）， 实物与点关于平面镜对称， 垂直平分， _____，（_____）． ，， ． 【任务2：确定挡板反射范围】 （2）如图②，若从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上，试确定反射光线在上的最高点和最低点．（简单说明作图） 【任务3：计算最短】 （3）如图③，一面镜子斜固定在地面上，且，点为距离地面为的一个光源，光线射出经过镜面处反射到地面点，当光线经过的路径长最短为时，的长为_____． 49．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 50．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，点A、B分别是射线、射线上的动点，连接的角平分线与的角平分线交于点P． (1)当时，求证：； (2)在点A、B运动的过程中，的大小是否发生改变？若不改变，请求出的度数；若改变请说明理由； (3)连接，C是线段上的动点，D是线段上的动点，当时，求的最小值． 51．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，点P在的内部，点C和点P关于对称，点P关于对称点是D，连接交于M，交于N． (1)若，则________．； (2)若，求的度数； (3)若，则的周长为________； (4)点在射线的同侧，在射线上找一点G，使最小，则G与图中的________点重合，的最小等于图中线段________的长度． 52．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图①，直线分别与轴交于两点，过点的直线交轴负半轴于点． (1)请直接写出直线的表达式：______． (2)已知在直线上存在一点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标； (3)如图②，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，以点为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角三角形，连接．求的最大值． 53．（22-23八年级上·贵州安顺·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． (1)若，则的度数是______． (2)连接，若，的周长是，的面积是． ①求的长； ②点是线段上的动点，在直线上是否存在点，使由最小？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $