2.3 一元一次不等式与一次函数 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式与一次函数的实际应用，通过购书优惠、研学旅行等生活决策问题导入，引导学生经历设变量、列函数、比大小的过程，构建函数与方程、不等式的知识联系。 其亮点是以真实情境为载体，通过问题链驱动探究，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。如购书问题中，学生列函数关系式、解方程找临界值、用不等式划分方案区间，既提升解决实际问题的能力，也为教师提供结构化的教学支架，助力高效教学。

不等式与不等式组 第3节 一元一次不等式与一次函数 第2课时 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过对实际问题的分析,能根据实际问题建立一次函数模型,用一元一次方程、不等式比较函数值大小. 2.会用“设变量→列函数→比大小”的方法解决实际决策类问题,体会数学模型在生活决策中的作用. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题:如何根据不同的优惠方案,借助一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的相关知识,选择最划算的方案？ “鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也。二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。”——《孟子・告子上》 生活里我们总遇到“二选一”的难题：①学校用2000元买图书,甲店20元办卡打八折,乙店200元办卡打七折，选哪家更省？ ②咱们班10-25人研学,甲社全员七五折,乙社免1人费其余八折,哪家更划算？ 4 问题构建 问题背景1:某学校为打造“书香校园”,准备用2000元购买一批图书.甲书店的付款方式为:花20元办一张会员卡,所购图书总价可打八折.乙书店的付款方式为:花200元办一张会员卡,所购图书总价可打七折.你认为学校选哪个书店购书更合算？ 问题1:甲书店费用如何用函数表示？ 甲书店付款规则：花20元办会员卡,所购图书总价打八折 设学校购买图书的总价为x元,实际支付总费用为​元. 函数关系式： “20”：办甲书店会员卡的固定费用（元）； “0.8x”：图书总价打八折后的费用（元）； 问题构建 追问1:乙书店费用如何用函数表示？ 乙书店付款规则:花200元办会员卡,所购图书总价打七折. 设学校购买图书的总价为x元，实际支付总费用为元 函数关系式：0 “200”：办乙书店会员卡的固定费用（元）； “0.7x”：图书总价打七折后的费用（元）； 追问3:2000元在乙书店能买多少元的书？ 0.8𝑥+20=2000;x=2475元 追问2:2000元在甲书店能买多少元的书？ 0.7𝑥+200=2000；x≈2571元 问题构建 追问4:两家书店费用相等时,购书总价是多少？ 20+0.8x=200+0.7x;x=1800 追问5:甲书店更合算时，购书总价满足什么条件？ 当​时,甲书店更省钱. 解不等式20+0.8x<200+0.7x,求x的取值范围,并解释其实际情境. 20+0.8x<200+0.7x x＜1800 实际情境：当购书总价小于1800元时,在甲书店购书的总费用更低,甲书店更合算. 问题构建 追问6:乙书店更合算时，购书总价满足什么条件？ 当​时,甲书店更省钱. 解不等式20+0.8x＞200+0.7x,求x的取值范围,并解释其实际情境. 20+0.8x＞200+0.7x x＞1800 实际情境：当购书总价大于于1800元时,在乙书店购书的总费用更低,乙书店更合算. 追问7:2000元预算下,选哪家书店更合算？ 2000元预算下,甲书店能买2475元的书,乙书店能买约2571元的书（均大于1800元）.再结合追问6的结论,因此选乙书店更合算. 问题构建 问题背景2:某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10～25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 问题2:题目中“参加旅游的人数估计为10～25人”,这个信息的作用是什么？ 确定了自变量的取值范围,后续分类讨论需在这个范围内分析费用关系,保证人数符合实际场景. 追问1:甲、乙两家旅行社的“服务质量相同”对解题有什么影响？ 解决问题时只聚焦费用这一个问题. 协作破冰 追问2:两家旅行社的报价和优惠方式分别是怎样的？尝试用自己的话复述. 甲旅行社：报价每人200元,给予每位游客七五折优惠（即每人实际支付 200×0.75=150元）； 乙旅行社：报价每人200元,优惠方式是先免去一位游客的旅游费用,然后对其余游客打八折[即先减少1人,剩余(x-1)人每人支付200×0.8=160元] 追问3:若设参加旅游的人数为x人,选甲旅行社的总费用为元，写出关于x的表达式及依据? =150x 依据：甲旅行社每人实际支付150元,总费用=每人费用×人数,即 200×0.75×x=150x. 协作破冰 追问4:写出乙旅行社总费关于x的表达式,并解释“x−1”的含义. =160x−160 “x−1”的含义:乙旅行社先免去1位游客的费用,因此实际付费的游客人数是(x-1)人;在此基础上,其余游客每人费用为200×0.8=160元,因此总费用为 160×(x−1)=160x−160. 追问5:两家旅行社费用相等时,和​满足什么等式？求对应的x值? 当和​时,等式为150x=160x−160； 解方程得:x=16. 协作破冰 追问6:当人数x小于16时（如x=10）, 和谁更大？用“代入数值”和“解不等式”两种方法验证. 当x＜16时, 和. 方法一（代入数值）： 取x=10,则=150×10=1500元，=160×10−160=1440元,显然1500>1440,即. 方法二（解不等式）： 由得150x>160x−160,移项得160>10x,即x<16. 追问7:当人数x大于16时（如x=20）, 和谁更大？用“代入数值”和“解不等式”两种方法验证. 教师示范 当x＞16时, 和. 方法一（代入数值）： 取x=20,则=150×20=3000元，=160×20−160=3040元,显然3040>3000,即. 方法二（解不等式）： 由得150x＜160x−160,移项得160＜10x,即x＞16. 追问8:结合人数范围10≤x≤25,分三类讨论费用关系： 当x=16时，两家费用关系如何？ 当10≤x<16时，选哪家更便宜？ 当16<x≤25时，选哪家更便宜？ 教师示范 当x=16时,​,两家旅行社收费相同； 当10≤x<16时, ​,选择乙旅行社费用较少； 当16<x≤25时, ​,选择甲旅行社费用较少. 若参加旅游的人数为16人,甲、乙两家旅行社收费相同； 若人数在10～15人之间，选择乙旅行社费用较少； 若人数在17～25人之间，选择甲旅行社费用较少. 追问9:在方案选择问题中,像10,16,25这样的数据有怎样的作用？ 这些特殊数据是将“方案选择”从“定性描述”转化为“定量计算”的重要依据, 为决策提供数据支持. 教师示范 问题3:本节问题中,一次函数在实际情境里的作用是什么？ 一次函数的作用是刻画实际问题中两个变量之间的相互依赖关系. 追问1:一元一次方程、一元一次不等式,描述的是变量满足什么状态时的情况？ 描述的是问题中两个变量满足“某些特定条件”时的状态.比如最常见的研究相等时的关系. 巩固拓展 追问2:从知识的关联角度看,我们可以用一次函数解决哪类问题？ 可以用一次函数解决一元一次方程或一元一次不等式的问题. 追问3:利用一元一次方程或不等式能研究什么内容？ 能利用一元一次方程或不等式研究一次函数的相关问题 以购书问题为例: 1.用一次函数刻画“购书总价”与“实际支付费用”的依赖关系； 2.用一元一次方程找两家费用相等的临界购书总价； 3.用一元一次不等式划分“哪家更合算”的购书总价区间; 体现了一次函数与方程、不等式的相互辅助. 巩固拓展 如图,反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系,反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系. 问题4:根据本节课的学习,你能尝试提出哪些问题让同学们解决？ 当堂检测 1.如图所示，某单位准备和一个体车主或一出租 车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行 驶千米，个体车主收费为 元，出租车公司收费 为 元，观察下列图象可知，当____时，选用个 体车较合算( ) D B. C. D. 当堂检测 2.某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司，欲租一处临街房屋. 现有甲、乙两家房屋出租，甲家已经装修好，每月租金为3 000元；乙 家未装修，每月租金为2 000元，但若装修成与甲家房屋同样的规格， 则需要花装修费4万元. （1）设租用时间为个月，承租房屋所需费用为 元，分别求租用甲、 乙两家的费用与租用时间 之间的函数关系式. 解：根据题意，租用甲家房屋时 ； 租用乙家房屋时 . 当堂检测 （2）根据求出的两个函数表达式，试判断租用哪家的房屋更合算. 解：，解得 . 当 时，租用甲、乙两家房屋一样合算； ，解得 . 当 时，租用乙家房屋更合算； ，解得 . 当 时，租用甲家房屋更合算. 当堂检测 3.某通信公司就宽带上网推出A，B，C三种月收费 方式.这三种收费方式每月所需的费用 （元）与上 网时间 之间的函数关系如图所示，则下列判断 错误的是( ) D A. 每月上网时间不足 时，选择A方式最省钱 B. 每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多 C. 每月上网时间为 时，选择B方式最省钱 D. 每月上网时间超过 时，选择C方式最省钱 反思总结 1.在解决这类优惠方案选择问题时，我们建立函数模型的关键步骤是什么？ 2.对比一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在解决此类问题中的作用和联系，它们分别解决了什么类型的问题？ 3.在实际应用中，除了题目中给出的优惠情况，对于可能出现的复杂优惠方式，我们应该如何应对？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第69页 第1题 二、素养类作业 课本第70页 第4题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $