精品解析：福建省厦门第六中学2026届高三上学期1月月考数学试题

厦门六中2025—2026学年第一学期高三年1月月考 数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：余浩川 命题时间：25年12月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集运算即可求解 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的除法运算法则，可得，根据复数的几何意义，即可得答案. 【详解】由题意得，，所以， 在复平面内对应的点为，故该点在第三象限． 故选：C 3. 已知是定义在R上的函数，且，当时，则，则（ ） A. B. 2 C. D. 98 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定函数周期，即可求解. 【详解】函数满足，则函数周期为2， 则， 故选：B 4. 已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（ ） A. 变换到 B. 变换到 C. 变换到 D. 变换到 【答案】D 【解析】 【分析】利用伸缩变换的相关知识一一分析选项即可. 【详解】由题意可知“变换到”是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 对于A，B，C选项从变换到都是纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 即；， 对于D项，从变换到是先将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右移动个单位，该变换与题干中的变换不一致，D错误. 故选：D 5. 若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上皆有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系可得，从而确定点与圆的位置关系. 【详解】若直线与圆没有公共点，则直线与圆心的距离，即， 又点到圆圆心的距离为，因此点在圆内． 故选：C. 6. 月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（ ）． A. 80 B. 96 C. 100 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件和等比数列等差数列的性质，得，又，均为正整数，求出，的值得. 【详解】依题意，有，， 时，不是正整数； 时，； 时，，不是正整数. 所以，，. 故选：B 7. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：. 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用同构互为反函数的图象对称性和数形结合法来求解即可. 【详解】由可得：， 又由可得：. 而函数与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称， 下面作出函数，，，的图象： 由图可得：方程的根为，即为如图交点的横坐标， 方程的根为，即为如图交点的横坐标， 由图可知交点的横坐标为，根据对称性可得：， 根据同构方程思想可得：满足和的根必有：， 所以， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确. 故选：BC. 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 在单增 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，根据函数的单调性可得极值点，即可判断A，根据复合函数的单调性原则即可求解B，代入化简即可求解C，举反例即可求解D. 【详解】对于A, ，， 由，得到或，由，得到， 所以单调递增区间为，；减区间为， 故在处取到极大值，在处取到极小值，故A正确， 由于在单调递增，且，在单调递减，因此在单调递减，故B错误， 对于C，因为，即， 故C正确， 对于D，取，则，不满足，故D错误， 故选：AC 11. 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ） A. 设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形 B. 设内切球的半径为，外接球的半径为，则 C. 设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D. 设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得为等边三角形，设球心为（即为的重心），即可求出的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球的体积公式判断C，所对的圆心角为（在圆上），设的中点为，即可求出，不妨设为上的点，连接，过点作交于点，利用三角形相似求出，即可求出截面圆的半径，从而判断D. 【详解】作出圆锥的轴截面如下： 因为圆锥的内切球和外接球的球心重合，所以为等边三角形，故A正确； 又，所以， 设球心为（即为的重心），所以，， 即内切球的半径为，外接球的半径为，所以，故B正确； 设圆锥的体积为，则， 内切球的体积为，则，所以，故C错误； 设、是圆锥底面圆上的两点，且，则所对的圆心角为（在圆上）， 设的中点为，则，不妨设为上的点，连接，则， 过点作交于点，则，所以， 即，解得， 所以平面截内切球截面圆的半径， 所以截面圆的面积为，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从而确定外接球、内切球的半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 13. 已知是抛物线：的焦点，点，为抛物线在第一象限上的两点，且，设的重心为，则的纵坐标为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求出点，的纵坐标之和，再结合三角形中心坐标公式求出重心的纵坐标. 【详解】由题意知，抛物线焦点，准线方程为. 设，， 则，，. 又，，所以. 又，所以， 即. 即. 因为点，为抛物线在第一象限上的两点，不妨设，， 两边同时除以可得： ，即. 两边同时平方得：， 整理得：，解得或（舍去）. 又，所以的重心的纵坐标为. 故答案为：. 14. 剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C、重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC级剪，展开得到四边形，若，则当四边形的面积最小时，______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合三角形面积公式，辅助角公式、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】设圆的半径为r，，∵，∴， 在中由正弦定理可得，∴， 在中由正弦定理可得，∴， ，当时四边形的面积取得最小值，此时， ∴. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形面积公式、正弦定理得到面积的表达式，利用辅助角公式进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，（其中）． （1）求函数的值域； （2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简，然后利用辅助角公式化简函数为 ,利用正弦函数的值域，求得函数的值域； (2）利用函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为 ，求出周期。继而求出，利用正弦函数的单调增区间，求得函数的单调增区间． 【小问1详解】 由题意得 ， 由于 ，得 ， 可知函数的值域为． 【小问2详解】 当时，， 由函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为， 可知与x轴的两个相邻交点间的距离为， 故的最小正周期为，即的最小正周期为， 又由，得 ，即得， 于是有 ， 再由 ， 解得 ， 所以的单调增区间为 . 16. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，由计算可得； （2）依题意可得恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以，依题意，解得； 【小问2详解】 因为的定义域为， 又， 所以恒成立， 令，，则， 令，，则，所以在上单调递增， 又，， 所以使得，即，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，平面． （1）求证：； （2）若平面与平面ABC的夹角的正弦值为，且，求到平面ABC的距离． 【答案】（1） 过作于点， 因为平面平面，是交线，平面， 所以平面，因为 平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 而平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）． 【解析】 【分析】（1）过作于点，然后根据面面垂直的性质定理得平面，然后再利用线面垂直的性质定理得，同理，然后再利用线面垂直的判定定理得平面，然后用线面垂直的性质定理得； （2）以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，根据夹角公式，垂直关系，利用坐标计算确定位置，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过B作，以B为原点，BA，BC，BM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 依题意， 设平面的法向量为，有，即， 令，得，又平面ABC的法向量为， 设平面与平面ABC的夹角为，则， 所以， 所以，解得（舍）或， 代入，可得，解得． 故到平面ABC的距离为． 18. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1）模型①，； （2）①；②均值为2，方差为 【解析】 【分析】（1）根据残差点的分布情况即可确定函数模型①的拟合效果较好，将非线性回归转化为线性回归，根据所给数据代入公式即可得回归方程； （2）①由题意表示，利用导数分析函数单调性和最值可得结果； ②由①得每年需要人工防治的概率为，故服从二项分布，根据二项分布的均值和方差公式即可得解． 【小问1详解】 模型①更合适，理由如下： 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄， 所以模型①的拟合效果更好，故选模型①比较合适. 令，则， 由所给的参考数据可得，， 所以， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数关于温度的回归方程为． 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以 ， 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值， 所以当时，， 由题意可知每年需要人工防治的概率为，且服从二项分布， 所以，． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 （1）椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上运动，证明：为定值，并求出该定值； （2）对于给定的正整数，经过点的动直线和椭圆交于、两点，为坐标原点，设面积的最大值为． （i）求； （ii）证明：. 【答案】（1）证明见解析，定值为 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1），，，则，对点是否在轴上进行分类讨论，结合椭圆定义、平面向量数量积的定义计算即可证得结论成立； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合二次函数的基本性质可求出的表达式. （i）由的表达式可得出的值；（ii）分析得出，结合放缩法可证得结论成立. 【小问1详解】 设，，，则， 当点不在轴上时，由余弦定理可得， 此时； 当点在轴上时，由对称性，不妨设点为椭圆的右顶点， 此时. 综上所述，为定值. 【小问2详解】 若直线与轴重合，则直线经过原点，此时，、、不能构成三角形，不合乎题意. 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，可得， 由韦达定理可得，， 原点到直线的距离为， ， 设，则， 设，则， 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 由于且， 所以且，只需，所以且， 此时可取到最大值， 当时，此时，此时恒成立，即恒成立， 此时，只需满足即可，即， 所以，当时，的最大值为， 综上所述，. （i）因为，故； （ii）当且时，，则， ， ， 所以，， 由于， 所以， ， 所以. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门六中2025—2026学年第一学期高三年1月月考 数学试卷 满分150分 考试时间120分钟 命题人：余浩川 命题时间：25年12月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知是定义在R上的函数，且，当时，则，则（ ） A. B. 2 C. D. 98 4. 已知函数，下列变换与“变换到”不相同的是（ ） A. 变换到 B. 变换到 C. 变换到 D. 变换到 5. 若直线与圆没有公共点，则点与圆的位置关系是（ ） A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 以上皆有可能 6. 月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（ ）． A. 80 B. 96 C. 100 D. 112 7. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 设函数，则（ ） A. 是的极大值点 B. 在单增 C. D. 11. 圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为6，则（ ） A. 设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形 B. 设内切球的半径为，外接球的半径为，则 C. 设圆锥的体积为，内切球的体积为，则 D. 设是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 13. 已知是抛物线：的焦点，点，为抛物线在第一象限上的两点，且，设的重心为，则的纵坐标为_____________. 14. 剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C、重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC级剪，展开得到四边形，若，则当四边形的面积最小时，______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，（其中）． （1）求函数的值域； （2）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间． 16. 已知函数． （1）若在处的切线斜率为，求； （2）若恒成立，求的取值范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面ABC，平面． （1）求证：； （2）若平面与平面ABC的夹角的正弦值为，且，求到平面ABC的距离． 18. 蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：）有关.现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图. 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中，，，； （1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型_____比较合适？根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程. （2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为. ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 （1）椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上运动，证明：为定值，并求出该定值； （2）对于给定的正整数，经过点的动直线和椭圆交于、两点，为坐标原点，设面积的最大值为． （i）求； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $