精品解析：天津市第二十一中学2025-2026学年高一上学期12月练习数学试题

2025-2026学年第一学期高一年级数学12月练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集和补集的概念，直接求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以. 故选：A 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案. 【详解】特称量词的否定是全称量词： 命题“，”的否定是， 故选： 【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力. 3. 函数的零点所在的区间是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断求解端点的函数值，利用零点判定定理求解即可． 【详解】解：函数，因为是增函数，是增函数， 所以函数是增函数． ． ． . ．． 函数的零点所在的区间是：（1，2）． 故选：C． 【点睛】一是严格把握零点存在性定理的条件； 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件； 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分，必要条件关系判断. 【详解】由，可得， 但时，如，， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数函数性质判断大小关系即可. 【详解】由，所以. 故选：D 6. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系求，再利用诱导公式把用来表示即可得到答案. 【详解】因为为锐角，且，所以也是锐角， 所以. ，即. 故选：C. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即可得出，再利用诱导公式和齐次化思想即可化简求出. 【详解】因为，所以， 若，则，不符合，故，则， 则 ． 故选：D 8. 已知非零实数满足，则之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算得到，，，依次带入选项计算即可. 【详解】，且，则，，， ，，， 对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确. 故选：D 9. 若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，则有，作出函数的图象，结合图象即可得答案. 【详解】解：由， 得， 作出函数的图象，如图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而有3个零点， 但对恒成立，则， 故. 故选：A. 二、填空题 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 11. 已知，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 由诱导公式得. 故答案为： 12. 已知终边上一点，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义结合特殊角的三角函数值计算作答. 【详解】依题意，. 故答案为： 13. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为， 则扇形的面积，解得：， 此扇形所含的弧长. 故答案为：. 14. 已知，，且，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得代入，结合不等式求解即可. 【详解】由可得：， 所以， 当且仅当即. 故答案为：. 15. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，令，则，再分和两种情况讨论，结合图象即可得出答案. 【详解】如图，作出函数的图象， 令，则， 当时，由，得或， 即或， 若方程只有一个解， 则，解得， 若方程只有一个解， 则，解得， 此时方程必有解，与题意矛盾，所以， 当时，由，得，即， 令，解得， 要使方程只有一个解， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集、补集、并集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 当时，又， 所以，或， 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 显然，即， 所以，解得，即实数的取值范围为. 17. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂的运算法则求值. （2）根据对数的运算法则求值. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 18. 已知，且为第二象限角. （1）求，的值； （2）化简，并求值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接根据同角三角函数关系结合角度范围得到答案. （2）化简得到原式，代入数据计算得到答案. 【小问1详解】 ，为第二象限角，故， . 【小问2详解】 . 19. 已知，是关于的一元二次方程的两根． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理以及同角三角函数的平方关系求解即可； （2）根据已知条件判断出，所以利用即可求解. 【小问1详解】 由已知得①，②， 将①两边同时平方得， 则，所以； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，，∴， . 20. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）记函数在时的最小值为.求最小值的函数表达式. 【答案】（1）当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）不等式化为，讨论三种情况，分别利用一元二次不等式的解法求解即可； （2）令，转化为求在区间上的最小值，分三种情况讨论对称轴的位置，分别利用二次函数的单调性即可求的函数表达式. 【小问1详解】 即：， 不等式化为： 的根为 当时，，解得：或.不等式的解集为 当时，代入得，解得：.不等式的解集为 当时，，解得：：或.不等式的解集为 综上： 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 【小问2详解】 令，即求在区间上的最小值. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 ①当时，即当时， 函数在区间上单调递增， 当有最小值 ②当时，即当时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 有最小值 ③时，即当， 函数在区间上单调递减， 当有最小值 综上： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一年级数学12月练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的零点所在的区间是（　　） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知非零实数满足，则之间的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. ______． 11. 已知，则_____. 12. 已知终边上一点，则_________. 13. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________. 14. 已知，，且，则的最小值为_________． 15. 已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 已知，且为第二象限角. （1）求，的值； （2）化简，并求值. 19. 已知，是关于的一元二次方程的两根． （1）求的值； （2）若，求的值． 20. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）记函数在时的最小值为.求最小值的函数表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $