精品解析：安徽省亳州市利辛县利辛高级中学2026届高三上学期1月月考数学试题

利辛高级中学2026届高三上学期1月份质量检测数学试题 命题人：侯晓虎 审题人：冯冰 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由交集概念及真子集个数公式求解. 【详解】由，共有3个元素， 所以的真子集的个数为． 故选：D. 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量共线求解出参数的值，然后根据坐标运算即可计算出的结果. 【详解】因为，，且， 所以，， 故选：A. 3. 已知函数的定义域为，若，则的解析式不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判断的奇偶性，再结合幂函数、指数函数等性质判断各项函数的奇偶性，即可得. 【详解】由题设的定义域为，且， 所以为奇函数， 对于A，为奇函数，满足， 对于B，为奇函数，满足， 对于C，为偶函数，不满足， 对于D，且定义域为，满足. 故选：C 4. 若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数图象的对称中心为，由题意可知函数图象相邻对称中心间的距离为，则存在，使得，解出的表达式，即可得出结果. 【详解】对于函数，由可得， 所以函数图象的对称中心为， 又因为函数图象的对称中心也为， 故函数图象的对称中心为， 对于正弦型函数，由可得， 故函数图象对称中心为， 故函数图象相邻对称中心间的距离为， 易知函数图象相邻对称中心间的距离为， 且原点为函数、的一个公共对称中心， 因为函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心， 故存在，使得，解得，C选项合乎要求. 故选：C. 5. 定义：对于任意实数，符号表示的“临近整数”，即（为整数）当且仅当.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数新定义结合指数、对数的运算性质比较即可. 【详解】因为，由指数函数的单调性可得所以， 由临近整数可得， 由对数函数的单调性可知， ， 由临近整数可得， ，且， ， 由临近整数可得， 所以. 故选：A. 6. 已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交，    由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A. 7. 在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动．A，B分别以，为起点同时开始运动，经过后，动点A，B的坐标分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，可得的表达式，利用二次函数的性质求出最值. 【详解】由三角函数的定义可知，，， 则， 因为，其中， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得：当时，，当，，当，，再借助导数研究函数单调性与二次函数的性质计算即可得解. 【详解】由题意知，当时，恒成立，即恒成立， 即有在上恒成立，令，则， 故当时，，当，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即，即有； 当时，， 由题意可得，当，，当，， 则有当，，当，， 分别解得，，即； 综上所述：. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得的弦长为 C. 若直线与圆相切，则 D. 圆上的点到直线的最大距离为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简直线为，可判断A正确；利用圆弦长公式，可判断B正确；由圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，求得的值，可判断C不正确；求得圆心到直线的距离的最大值，结合圆的性质，可判断D正确. 【详解】对于A，由直线，可得， 可得直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到轴距离，所以弦长为，所以B正确； 对于C，若直线与圆相切，则满足，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由圆的圆心为，直线恒过定点，可得， 当直线与垂直时，此时圆心到直线的距离取得最大值，最大值为， 又因为圆的半径为，所以圆上的点到直线的最大距离为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式推出和时，条件成立，故，A错误；BCD选项，在A选项基础上结合三角恒等变换进行判断. 【详解】A选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 若，可得，当且仅当时，等号成立， 又，，故只有时，等号成立，此时， 综上，，A错误； B选项，当时，，满足要求； 当时，，满足要求，B正确； C选项，，两边平方得， 即，C正确； D选项，当时，， ， 满足要求； 当时，， 此时， 故成立，综上，D正确. 故选：BCD 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 点是所在平面内任一点，，则与的面积比为 D. 点是所在平面内任一点，若，则取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理可判断A；利用正弦定理、倍角公式、余弦函数的单调性及值域可判断B；在上取点，使得，取中点为，设直线交于点，设，利用三点共线的性质及三角形面积关系可判断C；取中点为，连接，利用向量的数量积运算及线性运算求解可判断D. 【详解】对于A：，由正弦定理得， 故或， 当时，因为，所以， 但，故，所以不符合要求，所以，故A正确； 对于B：由知，，， 其中， 因为为锐角三角形，所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故B正确； 对于C：在上取点，使得，取中点为， 则，设直线交于点，设， 所以，即， 因为三点共线，所以，解得， 所以，所以与的面积比为，故C错误； 对于D：取中点为，连接，则，且， 则， 由于点是所在平面内的任一点，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，____________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数相等、共轭复数概念及复数的加减运算求出，再由复数模的计算公式求解. 【详解】设，则， ， 又，则， 所以，，即，， 所以， 则． 故答案为：． 13. 已知实数满足 ，若，且，则 _____. 【答案】3 【解析】 【分析】由对数的运算求得结果. 【详解】∵，∴，即， ∴，∴， 故答案为：3 14. 在数列中，，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，运用累加法求得，代入不等式，由恒成立思想可得答案. 【详解】解：∵时，，即， ∴ ． 又时，也符合上式，∴． 不等式化为， ∵，∴． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当，求函数的值域． 【答案】（1）函数的对称轴为，对称中心 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质运算求解； （2）采用整体替换的方法，先确定出的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出的值域. 【小问1详解】 因为， 令，解得； 令，解得； 所以函数的对称轴为，对称中心. 【小问2详解】 因为，则， 当，即时，函数取到最大值； 当，即时，函数取到最小值； 所以函数的值域为. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简可得，从而可得； （2）由等面积法，利用三角形面积公式化简可得，再由基本不等式可得结果. 【小问1详解】 ， ， ， 化简可得，； 【小问2详解】 C的平分线与交于点D，， ， ， 化简可得，即， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值是. 17. 设数列的前项和为，已知，当时，. （1）求证：为等比数列； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用做差法即可证明为等比数列； （2）讨论绝对值里的正负，分别求当和两种情况下的. 【小问1详解】 当时，，而， 故原式为：，即： ， 等式两侧同时加得：， 即，当时，， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知：，故， 而，故， 则， 故当时， 当时， 当时，； 当时，， 故. 18. 如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. （1）求证：平面平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理得，再由直棱柱得 ，进而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得； （2）由点Q在坐标平面内，且，由解析法可得Q点的轨迹方程； （3）先用向量法表示出线面角正弦值，再结合点的坐标的范围可得正弦值的范围. 【小问1详解】 在中，，由余弦定理可得： ， 所以，，所以. 又因为在直三棱柱中，所以平面，平面，所以. 因为，，，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 故以所以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图： 因为M在上，设，又N在上，设. 点N在平面上的射影为点P，且平面平面，所以，. 由，得：，即，. 因为Q在坐标平面，设，又是线段的中点， 所以代入上式得：，且. 所以点Q的轨迹在坐标平面内，以C点为圆心，以为半径，以为圆心角的弧，如图： 所以点Q的轨迹长度为 【小问3详解】 设平面的法向量为，且， 由，得，令，则，即. 而，所以直线与平面所成角的正弦值为 ， 而由（2）可知，，所以， 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 已知函数其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）判断函数的极值点个数； （3）若有且仅有个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，无极值点， 当时，有个极值点， 当时，有个极值点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件求出切点坐标和切线方程，再利用导数的几何意义即可求出a的值； （2）判断函数的极值点个数，即求导函数等于零的个数，分类讨论导函数的零点个数； （3）有且仅有1个零点转化为即有唯一解，构建函数分类讨论. 【小问1详解】 由题可得：，故切点代入切线方程可得：， 即切线，，，故. 【小问2详解】 ，令 求极值点个数即求变号零点个数， 即求变号零点个数， 当时，，无零点，无极值点， 当时，，时，，故无极值点， 当时，， 变号零点数为有个极值点， 当时，当时，， 当时，，， 此时，是唯一变号零点，有个极值点， 综上当时，无极值点， 当时，有个极值点， 当时，有个极值点. 【小问3详解】 有唯一零点，即有唯一解， 即有唯一解， 令，即有唯一解， 由（2）可得： ①当时，即，在上单调递增， 存在唯一使得， ②当时，即， 令，当时，则， ， 当时，，当时，， 所以，当时，函数有极小值， 则 因为，所以，则， 因为，所以， 所以， 因为，当时，， 所以函数存在唯一零点； ③当时，即时，则， 此时函数在区间上单调递增，且，所以只有一个零点； ④当时，即令，则， 当，，当时，， 所以，当时，函数有极小值， 因为，故函数有极小值为负， 因为， ， 令，， 当时，， 所以函数在区间上单调递增， 因为，所以当时，， 所以， 因为， 所以函数在区间各有一个零点，不满足题意. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利辛高级中学2026届高三上学期1月份质量检测数学试题 命题人：侯晓虎 审题人：冯冰 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 2. 已知平面向量，，且，则（ ） A B. C. D. 3. 已知函数定义域为，若，则的解析式不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数图象的对称中心都是函数图象的对称中心，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 5. 定义：对于任意实数，符号表示的“临近整数”，即（为整数）当且仅当.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，．若直线l：与线段相交，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动．A，B分别以，为起点同时开始运动，经过后，动点A，B的坐标分别为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆被轴截得弦长为 C. 若直线与圆相切，则 D. 圆上的点到直线的最大距离为7 10. 已知实数x，θ满足则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，则下列说法中正确的是（ ） A B. 的取值范围是 C. 点是所在平面内任一点，，则与的面积比为 D. 点是所在平面内任一点，若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，____________． 13. 已知实数满足 ，若，且，则 _____. 14. 在数列中，，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）求函数的对称轴和对称中心； （2）当，求函数的值域． 16. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求C； （2）若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 17. 设数列的前项和为，已知，当时，. （1）求证：为等比数列； （2）若，求数列的前项和. 18. 如图，在直三棱柱中，若M，N分别为棱，上的动点，且，点N在平面上的射影为点P，线段的中点为Q. （1）求证：平面平面； （2）求点Q的轨迹长度； （3）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 已知函数其中. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）判断函数的极值点个数； （3）若有且仅有个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $