5.4.3 正切函数的图象与性质课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正切函数的图象与性质，涵盖定义域、周期性、奇偶性、单调性及对称性等核心内容。课堂导入通过“思考”环节引导学生迁移正弦、余弦函数的研究经验，以“先作图象探性质”和“从定义研性质”为学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于借助单位圆中线段AT的几何作图直观构建正切函数图象，培养数学眼光的几何直观；通过例题变式中求周期、单调区间的推理过程，发展数学思维的推理能力；用符号语言精确表述性质，强化数学语言应用。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第 5 章 三角函数 5.4.3 正切函数的图象与性质 【思考】根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究 正切函数的图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？ 【解答】(1)应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述. (2)对于正切函数，也可以从其定义出发研究它的性质，再利用性质研究 其图象. 【问题】正切函数 y = tanx 的定义域是什么？ 【解答】由正切函数的定义可知，它的定义域是   一.周期性与奇偶性 由诱导公式 ，∈R，且≠+， ∈Z, 可知，正切函数是周期函数，周期是π． 周期性 奇偶性 由诱导公式=， ∈R，且≠+， ∈Z， 可知，正切函数是奇函数． 注意 区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T=. 【例1】(1)函数y=tan的定义域是 A.B. C.D. 由x-≠kπ+k∈Z，得x≠kπ+k∈Z. √ (2)函数f(x)=tan的最小正周期为 A. B. C.π D.2π √ 方法一　T=. 方法二　f(x)=tan=tan =tan=f ∴T=. 4 (1)判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠+kπ，k∈Z. (2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 ①一般地，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=常常利用此公式来求周期. ②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系. 5 【变式】1.函数f(x)=2tan的最小正周期为 A. B.π C.2π D.4π √ 函数f(x)=2tan的最小正周期为=2π. 解析 2. f(x)=tan2x是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 √ f(x)=tan2x的定义域为关于原点对称， 又f(-x)=[tan(-x)]2=(-tan x)2=tan2x，∴f(-x)=f(x).∴f(x)是偶函数. 解析 6 二.单调性与对称性 【思考】如何画出函数, ∈[0, 的图象的图象？ 【答】如图，设 ），在坐标系中画出角x 的终边与单 位圆的交点B .过点B作x轴的垂线，垂足为M； 过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则                     O x y 角 的终边 A T     O x y 角 的终边 角 的终边 角 的终边 角 的终边 角 的终边 角 的终边 角 的终边 角 的终边 二.单调性与对称性 x y O 渐近线 渐近线 二.单调性与对称性 由此可见，当 ∈[0,时，线段AT的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段AT画出函数∈[0,的图象， 如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知， 当∈[0, 时，随狓的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数 ∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线＝ x y O O1 TA T A T A AT A T A T 二.单调性与对称性 O x y 二.单调性与对称性 根据函数的周期性，只要把函数y=tan x，x∈的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y=tan x，x∈R，x≠+kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线. x O y 二.单调性与对称性 x O y 二.单调性与对称性 二.单调性与对称性 正切函数的对称中心为_________________. k∈Z) 注意：正切函数只有对称中心，没有对称轴. 【例2】函数y=tan的对称中心是_______________ 单调增区间为：____________________ 令x+k∈Z，得x=k∈Z， 所以函数y=tan的对称中心是k∈Z. 单调增区间为 解析 二.单调性与对称性 15 【变式】 (1)y=a(a为常数)与y=tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为 A.π B. C. D. y=tan 3x的周期为所以y=a(a为常数)与y=tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为. 解析 √ (2)与函数y=tan的图象不相交的一条直线是 A.x= B.y= C.x= D.y= 令2x+=kπ+k∈Z)，得x=k∈Z).令k=0，得x=. 解析 √ 16 【例3】已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间； 二.单调性与对称性 (2)试比较f(π)与f 的大小. 17 （1）因为f(x)=3tan=-3tan 所以f(x)的最小正周期T==4π. 由kπ-<kπ+k∈Z)， 得4kπ-<x<4kπ+k∈Z). 因为y=3tank∈Z)上单调递增， 所以f(x)的单调递减区间为k∈Z). 解 18 （2）f(π)=3tan=3tan=-3tan f =3tan=3tan=-3tan 因为0< 且y=tan x 在上单调递增， 所以tan<tan所以f(π)>f . 解 19 【变式 】1.求函数的定义域、周期及单调区间． 解（换元法）： 令 ，则 ∵对于 ，∴ 即 故原函数的定义域为 又∵∴ 即满足故原函数的周期为 又∵ 的单调递增区间为且由 可得 （还原法） ∴ 的单调递增区间为 【变式】2.tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为　 　　 　 . tan 2=tan(2-π)，tan 3=tan(3-π)， tan 4=tan(4-π). 又∵-<2-π<3-π<4-π<1<且y=tan x在上单调递增， ∴tan(2-π)<tan(3-π)<tan(4-π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. 解析 tan 2<tan 3<tan 4<tan 1 21 【变式】3.函数y=tanx∈的值域为　　　　； ∵x∈∴x- ∴tan∈(-1)，∴函数的值域为(-1). 解析 (-1) 22 正切函数图象与性质的综合应用 四 【例4】设函数f(x)=tan. (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； 三.正切函数图象与性质的综合应用 (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 24 由+kπ(k∈Z)， 得x≠+2kπ(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 因为ω= 所以最小正周期T==2π. 由-+kπ<+kπ(k∈Z)， 得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z). 解 25 所以函数f(x)的单调递增区间是 k∈Z)，无单调递减区间. 由k∈Z)， 得x=kπ+k∈Z)， 故函数f(x)的对称中心是k∈Z). 解 26 由-1≤tan 得-+kπ≤+kπ(k∈Z)， 解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z). 所以不等式-1≤f(x)≤的解集是. 解 (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 27 【变式】画出函数y=|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 28 由y=|tan x|， 得y= 画出其图象，如图所示， 由图象可知，函数y=|tan x|的定义域为 值域为[0，+∞)，是偶函数， 函数y=|tan x|的周期T=π， 函数y=|tan x|的单调递增区间为k∈Z， 单调递减区间为k∈Z. 解 29 【值域】观察图象，当 时， 在 内可以取到任意实数 值，但没有最大值或者最小值，因此，正切函数的值域是实数集R.               奇函数     课堂小结 作业 课本P213的练习的1-5题. 练习(第213页) 练习(第213页) 练习(第213页) 练习(第213页) 练习(第213页) 练习(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) （1）偶函数 ； （2）偶函数； （3）奇函数； （4）既不是奇函数也不是偶函数． 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) A 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) O x y 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 习题5.4(第213页) 19．容易知道，正弦函数y = sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数的性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题． x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  习题5.4(第213页) 19．容易知道，正弦函数y = sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数的性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题． x 6 y o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  习题5.4(第213页) 19．容易知道，正弦函数y = sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数的性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题． x 6 o - -1 2 3 4 5 -2 -3 -4 1  y 习题5.4(第213页) 19．容易知道，正弦函数y = sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数的性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题． $