第二章分式与分式方程期末通关练习题2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第二章分式与分式方程期末通关练习题 一、单选题 1．下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值为零，则的取值为（   ） A． B． C． D．的值不存在 3．花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（   ） A． B． C． D． 4．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小为倍 D．不变 8．若关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A． B．3 C．或3 D．或3 9．对于正数x，规定，例如，则的结果是（　　） A．4049 B．4051 C． D． 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（   ） A．代数式是分式 B．分式中都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则的值为 D．分式是最简分式 12．下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．计算 的结果是 ． 14．化简的结果为 ． 15．化简： ． 16．已知实数，满足，则 ． 17．某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务．设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出方程为 ． 18．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． 20．分式化简求值：，其中x为满足的整数 21．生活中的数学 春日的济南，护城河畔垂柳依依，千佛山下百花争艳．越来越多的市民选购自行车用以骑行出游，穿梭于绿意盎然的街道与湖畔，尽享春日美景． 信息1 某自行车店抓住商机，计划购进，两种型号的自行车，其中每辆型自行车比每辆型自行车多600元，用5000元购进的型自行车与用8000元购进的型自行车数量相同． 信息2 型自行车每辆售价为1500元，型自行车每辆售价为2000元． 信息3 该自行车店计划购进A、B两种型号的自行车共50辆，且B型自行车的数量不低于A型自行车数量的一半． 任务1 （1）求A，B两种型号自行车的进货单价； 任务2 （2）根据进货要求，该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 22．如图是老师出示的一道习题及其举例出的错误的解答过程． 解：原式① ② ③ (1)该过程是从第__________（填序号）步开始出现错误的； (2)写出该习题正确的解答过程，并从“0，1”中选择合适的的值代入求值． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号的货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． (1)求型和型货车每台的载重量； (2)该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．根据最简分式的定义分别对每一项进行判断，即可得出答案． 【详解】解：选项A、，不符合题意； 选项B、，不符合题意； 选项C、不能约分，符合题意； 选项D、，不符合题意， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查分式的值为零的条件．分式的值为零需满足分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由得，即或， 又∵，即， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率． 乙队每天施工米，甲队每天施工米，两队合作每天施工米，合作100天完成2890米，由此列方程即可． 【详解】解：设乙队每天施工米，则甲队每天施工米． 依题意得：． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内的减法，再利用除法的性质转换为乘法，约分后化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； B、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； C、 ， ∴原计算正确，本选项不符合题意； D、 ，原计算错误，本选项符合题意． 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了分式的乘除运算，提公因式与完全平方公式的运算，将分式的除法变为分式的乘法是解题的关键．先根据提公因式与完全平方公式计算，再将除法变为乘法约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 7．B 【分析】本题考查分式的基本性质． 将和都扩大3倍后，代入分式化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：∵和都扩大3倍， ∴ 新分式为， ∴分式的值扩大3倍； 故选B． 8．C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，根据分式方程解的情况求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程矛盾（系数为零但常数项不为零），二是解出的根是增根（分母为零）． 【详解】解：原方程：． 去分母，得， 整理得：． 情况一：方程矛盾无解． 当且， 即． 情况二：解为增根． 代入方程：， 解得：． 当时，解出，为增根． 综上，或． 故选：C． 9．C 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；通过计算发现对于正数 ，有 ．将所求和的项配对，其中 到 与 到 形成2024对，每对和为1，再加上单独的 ，即可得到总和． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 所求和的项中， 到 与 到 对应成对，共2024对（ 从2到2025），每对和为1， ∴ 这些对的和为 ． 又 ∵ ， ∴ 总和为 ． 故选：C． 10．B 【分析】利用约分对A进行判断；根据负整数指数幂的意义对B进行判断；根据同分母的减法运算和约分对C进行判断；利用通分对D进行判断． 【详解】解：A、原式，所以A选项的计算错误； B、原式，所以B项的计算正确； C、原式，所以C选项的计算错误； D、原式，所以D项的计算错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 11．C 【分析】本题主要考查分式的定义、分式的性质、分式值为0的条件、最简分式的概念等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据相关定义和性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由分母是常数，不是字母，则 不是分式，故A错误； B．由当都扩大3倍时，分式变为 ，值扩大3倍，故B错误； C．由分式值为0需分子为0且分母不为0，则 且 ，解得 ，故C正确； D．由（当），分子分母有公因式，不是最简分式，故D错误． 故选C． 12．C 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，原变形错误； B．当时，无意义，原变形错误； C． ，原变形正确； D． 无法通过分式的基本性质变为，原变形错误； 故选：C． 13． 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用分式运算法则计算得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了同分母分式减法计算．根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 15． 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是关键．先把除法转化为乘法，再计算即可． 【详解】解： 故答案为： 16． 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，得到，然后代入所求表达式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴； 故答案为： 17． 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键．设原计划每天铺设管道x米，根据工作效率比原计划提高，结果提前了8天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为米，原计划完成任务所需时间为天，实际所需时间为天，根据题意，得 ， 故答案为：． 18．且 【分析】本题考查了解分式方程． 先通过分母变形化简分式方程，再求解得到x关于m的表达式，根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求m的取值范围 【详解】解：原方程可化为， 即， 两边同乘得， 整理得， 解得： 可知且， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴， ∵分子为负， ∴分母，即； 由得，解得， 综上且． 故答案为：且． 19．(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）先两边同时乘以，转化为一元一次方程后求解并检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得： 解得：， 检验：当时，， ∴该方程无解． （2）解：， 去分母得： 解得：， 检验：当时，， ∴该方程的解为． 20．； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足的整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 21．任务1：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元；任务2：购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，设A种型号自行车的进货单价是x元，则B种型号自行车的进货单价是元，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，设购进A种型号自行车m辆，则设购进B种型号自行车辆，则，可得，又设该商店利润为w元，则，结合，从而根据一次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：（1）设种型号自行车的进货单价是元，则种型号自行车的进货单价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 答：种型号自行车的进货单价是元，种型号自行车的进货单价是元； （2）设购进种型号自行车辆，则设购进种型号自行车辆， 根据题意得：， 解得， 设该商店利润为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 且为正整数 当时，有最大值， ， 此时（辆）， 答：该商店购进型自行车辆，型自行车辆能获得最大利润，此时最大利润是元． 22．(1)② (2)过程见解析；当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，在求分式的值时，所选取的字母的值一定要使原分式有意义． （1）分式加减法中通分化为同分母分式进行加减，所以第②步中去括号错误； （2）根据分式混合运算的法则计算即可，再根据分式有意义的条件选取的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：这位同学的错误出现在第②步， 故答案为：②． （2）解：原式 ， 要使分式有意义，不能取，1， 取． 当时，原式． 23．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算． （1）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （2）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解； （3）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （4）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：（可看成．）； （3）解：； （4）解：． 24．(1)型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； (2)采购型货车台，型货车台． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式组是解题的关键． （）设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨，根据题意方程，然后解方程并检验即可； （）设该公司采购型货车台，则采购型货车台，由题意得，然后解不等式组得，再由为正整数，得，从而求解． 【详解】（1）解：设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨， 根据题意，得方程， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； （2）解：设该公司采购型货车台，则采购型货车台， 由题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴该公司采购方案：采购型货车台，型货车台． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $