专题02 分式与分式方程（期末复习讲义，12知识点+24题型）八年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学分式与分式方程期末复习讲义通过表格系统梳理7个核心考点，明确复习目标与考情规律，分12个知识点模块呈现分式概念、性质、运算及方程解法，以定义、性质、方法的逻辑链条构建知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于18类题型的梯度设计，含解题技巧与变式训练，如分式值为0条件判断培养抽象能力，工程问题应用题强化模型意识。分层练习覆盖基础到综合，助力不同学生提升运算与推理能力，为教师精准教学提供系统支持。

专题02 分式与分式方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 分式的定义，分式有意义、值为0的条件 能准确判断一个代数式是否为分式，熟练求解分式有意义、值为0时字母的取值范围 选择题高频考查，多以“分式有意义的条件”“分式值为0的条件”出题，难度低 2. 分式的基本性质，分式的通分、约分 掌握分式的基本性质，能正确对分式进行通分和约分，化简分式 填空题、解答题基础题，是分式运算的前提，常与后续运算结合考查 3. 分式的乘除运算 熟练运用分式乘除法则进行计算，能结合因式分解化简运算 解答题基础题型，单独考查或与加减运算结合，难度中等 4. 分式的加减运算（同分母、异分母） 掌握同分母、异分母分式加减的计算方法，运算步骤规范 解答题核心考点，计算量适中，易因通分失误丢分，难度中等 5. 分式的混合运算 能按照运算顺序进行分式的混合运算，合理运用运算律简化计算 解答题高频考点，综合性强，常结合因式分解考查，分值占比高 6. 分式方程的解法，增根的检验 熟练掌握分式方程的解法步骤，会检验根的有效性，理解增根产生的原因 解答题必考题型，增根检验是易错点，难度中等 7. 分式方程的实际应用（工程、行程等） 能根据实际问题情境列出分式方程，解决工程、行程等实际问题 解答题难点题型，建模过程易出错，分值占比高，难度偏上 知识点01 分式的概念 ◆1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． ◆2、分式必须满足的条件： （1）形如 的式子； （2）A，B都是整式； （3）分母B中含有字母. ◆3、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. ◆4、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． ◆5、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零. 知识点02 分式的基本性质 ◆1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. ◆2、式子表示为：（其中 A，B，C 是整式.） 知识点03 分式的约分 ◆1、分式的约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． ◆2、约分的依据：分式的基本性质． ◆3、约分的关键：是要找出分式的分子与分母的最大公因式． ◆4、约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式；如果分子、分母中至少有一个多项式，一般先分解因式，再确定公因式并约去． ◆5、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【注意事项】 （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 知识点04 分式的通分 ◆1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． ◆2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. ◆3、通分的关键是确定最简公分母． ◆4、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）分母含多项式且能分解的先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）取积：系数与所有字母（或因式）的最高次幂的积. 知识点05 分式的乘法 ◆1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 ◆2、分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定即的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. 知识点06 分式的除法 ◆1、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 ◆2、分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 知识点07 分式的乘除混合运算 ◆1、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. ◆2、运用分式的乘除混合运算的基本步骤： （1）先确定积的符合，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. （2）把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. （3）运算结果化成最简分式或整式. 知识点08 分式的乘方 ◆1、分式的乘方法则：分式乘方把分子、分母分别乘方． 用字母表示为：（n 是正整数，b≠0）． ◆2、分式乘方的计算步骤： （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合.正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. （3）当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方，不能分解因式时，将多项式看成整体分别乘方. ◆3、分式的乘除、乘方混合运算顺序：分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． ◆4、分式乘除、乘方混合运算的解题步骤： （1）在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除. （2）乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算. （3）当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的. 知识点09 分式的加减法 ◆1、同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： ◆2、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： ◆3、分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行.计算结果要化为最简分式或整式. 知识点10 分式的方程的概念 ◆1、分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． ◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． 知识点11 分式的方程的解法 ◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. ◆2、“去分母法”解分式方程的步骤 （1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2） 解这个整式方程； （3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； （4） 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. ◆3、检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. ◆4、分式方程的增根 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 知识点12 分式的方程的应用 ◆列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 7. 作答. 题型一 分式的概念 解｜题｜技｜巧 1、判断时，注意含有 π 的式子，π 是常数； 2、 式子中含有多项时，若其中某一项或几项为分式，其他项为整式，则该式也为分式，如：1＋ . 【典例1】下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二 分式有意义、无意义的条件 解｜题｜技｜巧 1、分式有意义的条件是分母不为零. 若分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零. 2、分式无意义的条件是分母为0. 【典例1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）下列分式中，有意义的条件为的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】无论x取什么值时，分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 题型三 分式的值为0 解｜题｜技｜巧 分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零. 【典例1】若分式的值是零，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ． 题型四 分式的规律性问题 解｜题｜技｜巧 对于与分式相关的规律探究题，应全面分析式子中各项的分子、分母的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 【典例1】（23-24八年级上·云南昆明·期末）观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式 是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 题型五 由分式的值求未知数的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、分式的值为正数的条件是分子、分母同号. 2、分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【典例1】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为 ． 题型六 分式的值为整数时字母的取值 解｜题｜技｜巧 分式值为整数的关键是将原分式通过代数变形（如分离常数、多项式除法）转化为“整式 + 分子为常数的分式”的形式，然后利用分母必须是分子的约数这一整除原理求解字母的可能取值. 【典例1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和 等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 题型七 分式的基本性质 解｜题｜技｜巧 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 【典例1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 【变式2】（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 题型八 最简分式的判断 解｜题｜技｜巧 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数． 【典例1】27．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九 分式的约分 解｜题｜技｜巧 1、若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； 2、 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·吉林白城·期末）化简： ． 题型十 分式的通分 解｜题｜技｜巧 1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. 3、通分的关键是确定最简公分母． 【典例1】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式1】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（1）通分：和； （2）约分：． 题型十一 分式的乘除法 解｜题｜技｜巧 分式的乘除法运算关键是掌握“乘法直接算、除法变乘倒数”的原则，并优先进行约分以简化计算过程. 【典例1】若式子有意义，则x满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【变式1】化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 题型十二 分式的乘方 解｜题｜技｜巧 （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合.正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. 【典例1】（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十三 分式的乘除与乘方混合运算 解｜题｜技｜巧 按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简形式. 【典例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； 题型十四 分式的加减法 解｜题｜技｜巧 掌握同分母与异分母分式加减的基本法则，并灵活运用约分、通分、裂项相消等技巧，是高效解题的关键。 【典例1】（24-25八年级上·天津·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十五 分式的实际应用 解｜题｜技｜巧 分式混合运算的实际应用的方法是先根据题意列出分式，然后进行分式的混合运算即可解答. 【典例1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某 施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天 数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 题型十六 分式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 2、计算结果要化为最简分式或整式. 【典例1】（2024秋•莱西市期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2024•安徽三模）化简•（a）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 题型十七 分式的化简求值 解｜题｜技｜巧 先把分式进行化简，化简后直接代入求值即可解答. 【典例1】（25-26九年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选 择一个你喜欢的数代入求值． 【变式2】先化简，再求值：，其中． 题型十八 分式与新定义问题 解｜题｜技｜巧 掌握分式与新定义问题的关键在于：一是熟练运用分式的基本性质和运算规则；二是精准理解“新定义”的内涵并将其转化为已知知识进行推理。其中，新定义问题常以分式运算为载体，考查学生的阅读理解与迁移能力. 【典例1】（2024春•谯城区期末）如果两个分式P与Q的和为常数m，且m为正整数，则称P与Q互为“完美分式”，常数m称为“完美值”，如分式，，，则P与Q互为“完美分式”，“完美值”m＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”m； （2）已知分式，，若C与D互为“完美分式”，且“完美值”m＝3，其中x为正整数，分式D的值为正整数． ①求E所代表的代数式； ②求x的值． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式 的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 题型十九 分式方程的定义 解｜题｜技｜巧 分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【典例1】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】给出下列关于x的方程：①，②，③，④ ．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十 解分式方程 解｜题｜技｜巧 解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以要检验： 【典例1】（2024春•南岸区期末）解分式方程的过程如下： 解：方程两边都乘x（x﹣2）， 得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1① 去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1② 解这个方程，得x＝1③ 检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④ 以上解答过程中，开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）解方程： (1)． (2)． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 题型二十一 分式方程的增根问题 解｜题｜技｜巧 利用分式方程的增根确定字母的取值，通常遵循以下步骤： ①将所给分式方程化为整式方程. ②确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）. ③将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值. 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式1】若分式方程有增根，则的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 【变式2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 题型二十二 分式方程的有解或无解问题 解｜题｜技｜巧 分式方程的无解有两种情况： 一是分式方程转化为整式方程无解； 二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0. 【典例1】若分式方程无解，则k的值为（　　） A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 【变式1】已知关于x的分式方程的解为正数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞﹣6 B．m＜6 C．m＜6且m≠3 D．m＞﹣6且m≠3 【变式2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 题型二十三 根据实际问题列分式方程 解｜题｜技｜巧 分析实际问题中的等量关系，列出方程即可解答． 【典例1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）我县把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”·现需要购买甲、乙两种绿植，已知甲种绿植单价是乙种绿植单价的2倍，用5000元购买的甲种绿植比用3000元购买的乙种绿植少25株．设乙种绿植单价是元，则可列方程是(   ) A． B． C． D． 题型二十四 分式方程的应用 解｜题｜技｜巧 要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：路程＝ 速度×时间 ；工作量问题：工作总量＝工作效率×工作时间；商品销售问题：总价= 单价×销量． 【典例1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）春节期间，小明同学每天从家出发到相距4.5千米的图书馆学习，他每天出发的时间相同．第一天步行去图书馆，到达时图书馆已开馆5分钟；第二天骑自行车去图书馆，结果早到10分钟，图书馆还未开馆，已知图书馆每天开馆时间相同，小明骑自行车的速度是步行速度的1.5倍，求小明步行的速度和骑自行车的速度． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）“绿水青山就是金山银山”，县政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将滨河路段改建成滨河步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运送渣土．已知甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．求甲、乙两个工程队平均每天各运渣土多少吨？ 【变式2】为创建宜居环境，某市正在建设若干街心花园，某工程队负责在街心花园种植A、B两种树木，已知A种树木的单价比B种树木的单价贵20元．工程队在第一批购买中，购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍． （1）求第一批购买时，A、B两种树木的单价各是多少元？ （2）工程队计划第二批购买A、B两种树木的总数量是第一批总数量的2倍，此次购买时两种树木的单价没有变化，本次购买预算总费用不超过7200元，A种树苗最多可以购买多少棵？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在分式中，一定有意义的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（   ） A． B． C． D． 4．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（22-23七年级下·广西梧州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算下列各式： (1)； (2)． 11．已知：，求代数式的值． 12．（2024秋•河北区校级期末）解分式方程： （1）； （2）． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 14．（2024春•肥西县期末）已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝1，求m的值； （2）若方程无解，求m的值． 15．（2024秋•双辽市期末）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同． （1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？ 16．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式与分式方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 分式的定义，分式有意义、值为0的条件 能准确判断一个代数式是否为分式，熟练求解分式有意义、值为0时字母的取值范围 选择题高频考查，多以“分式有意义的条件”“分式值为0的条件”出题，难度低 2. 分式的基本性质，分式的通分、约分 掌握分式的基本性质，能正确对分式进行通分和约分，化简分式 填空题、解答题基础题，是分式运算的前提，常与后续运算结合考查 3. 分式的乘除运算 熟练运用分式乘除法则进行计算，能结合因式分解化简运算 解答题基础题型，单独考查或与加减运算结合，难度中等 4. 分式的加减运算（同分母、异分母） 掌握同分母、异分母分式加减的计算方法，运算步骤规范 解答题核心考点，计算量适中，易因通分失误丢分，难度中等 5. 分式的混合运算 能按照运算顺序进行分式的混合运算，合理运用运算律简化计算 解答题高频考点，综合性强，常结合因式分解考查，分值占比高 6. 分式方程的解法，增根的检验 熟练掌握分式方程的解法步骤，会检验根的有效性，理解增根产生的原因 解答题必考题型，增根检验是易错点，难度中等 7. 分式方程的实际应用（工程、行程等） 能根据实际问题情境列出分式方程，解决工程、行程等实际问题 解答题难点题型，建模过程易出错，分值占比高，难度偏上 知识点01 分式的概念 ◆1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． ◆2、分式必须满足的条件： （1）形如 的式子； （2）A，B都是整式； （3）分母B中含有字母. ◆3、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. ◆4、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． ◆5、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零. 知识点02 分式的基本性质 ◆1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. ◆2、式子表示为：（其中 A，B，C 是整式.） 知识点03 分式的约分 ◆1、分式的约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． ◆2、约分的依据：分式的基本性质． ◆3、约分的关键：是要找出分式的分子与分母的最大公因式． ◆4、约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式；如果分子、分母中至少有一个多项式，一般先分解因式，再确定公因式并约去． ◆5、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【注意事项】 （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 知识点04 分式的通分 ◆1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． ◆2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. ◆3、通分的关键是确定最简公分母． ◆4、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）分母含多项式且能分解的先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）取积：系数与所有字母（或因式）的最高次幂的积. 知识点05 分式的乘法 ◆1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 ◆2、分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定即的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. 知识点06 分式的除法 ◆1、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 ◆2、分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 知识点07 分式的乘除混合运算 ◆1、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. ◆2、运用分式的乘除混合运算的基本步骤： （1）先确定积的符合，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. （2）把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. （3）运算结果化成最简分式或整式. 知识点08 分式的乘方 ◆1、分式的乘方法则：分式乘方把分子、分母分别乘方． 用字母表示为：（n 是正整数，b≠0）． ◆2、分式乘方的计算步骤： （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合.正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. （3）当分式中含多项式的乘方时，要先分解因式，转化为积的乘方，不能分解因式时，将多项式看成整体分别乘方. ◆3、分式的乘除、乘方混合运算顺序：分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． ◆4、分式乘除、乘方混合运算的解题步骤： （1）在分式乘除、乘方的混合运算中，先计算乘方，再计算乘除. （2）乘、除是同一级运算，要按照从左到右的顺序计算. （3）当分式中的分子、分母是多项式且能分解因式时，还要分解因式，以达到约分的目的. 知识点09 分式的加减法 ◆1、同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： ◆2、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： ◆3、分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行.计算结果要化为最简分式或整式. 知识点10 分式的方程的概念 ◆1、分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． ◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． 知识点11 分式的方程的解法 ◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. ◆2、“去分母法”解分式方程的步骤 （1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2） 解这个整式方程； （3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； （4） 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. ◆3、检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. ◆4、分式方程的增根 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 知识点12 分式的方程的应用 ◆列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 7. 作答. 题型一 分式的概念 解｜题｜技｜巧 1、判断时，注意含有 π 的式子，π 是常数； 2、 式子中含有多项时，若其中某一项或几项为分式，其他项为整式，则该式也为分式，如：1＋ . 【典例1】下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式，根据分式的定义判断即可，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分式要求分母中含有字母， ∴均不满足，中分母含有字母，是分式， 故选：． 【变式1】（23-24八年级上·山东济宁·期末）下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断各式中分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母无字母，不是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式． ∴属于分式的有2个． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义，掌握分式的构成特点，特别是在分母中必须含有字母，即可正确判断． 形如的式子叫分式，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，依此判断即可． 【详解】解：，，这三个式子，分母不含字母，都不是分式； ，，，这四个式子，分母含字母，都是分式； ∴分式共有4个， 故选：B． 题型二 分式有意义、无意义的条件 解｜题｜技｜巧 1、分式有意义的条件是分母不为零. 若分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零. 2、分式无意义的条件是分母为0. 【典例1】（24-25八年级下·山西晋城·期末）下列分式中，有意义的条件为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：A、要使分式有意义，则，即，故符合题意； B、要使分式有意义，则，即，故不符合题意； C、要使分式有意义，则，即，故不符合题意； D、要使分式有意义，则，即，故不符合题意． 故选：A． 【变式1】若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分式无意义分母等于零列式求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2】无论x取什么值时，分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；此题可根据分式有意义的条件进行排除选项． 【详解】解：A、由无论x取何值时，始终成立，故该选项符合题意； B、当时，即，分式有意义，故该选项不符合题意； C、当时，即，分式有意义，故该选项不符合题意； D、当时，即，分式有意义，故该选项不符合题意； 故选A． 题型三 分式的值为0 解｜题｜技｜巧 分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零. 【典例1】若分式的值是零，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件为：分子等于零，分母不等于零，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵分式的值是零， ∴且， ∴， 故选：D． 【变式1】若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，列式求解即可．分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）已知当时，分式没有意义；而当时，该分式值为，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式的值为零的条件，解题的关键是掌握：①分式无意义的条件：分式的分母等于零；②分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零．据此列式分别求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵当时，分式， 此时分式没有意义， ∴， 解得：， ∵当时，分式， 此时分式的值为， ∴且， 解得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型四 分式的规律性问题 解｜题｜技｜巧 对于与分式相关的规律探究题，应全面分析式子中各项的分子、分母的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 【典例1】（23-24八年级上·云南昆明·期末）观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式中的规律探究，观察可知，奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为， ∴第10个式子是； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的分式：，…．第n个分式 是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 【变式2】已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 题型五 由分式的值求未知数的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、分式的值为正数的条件是分子、分母同号. 2、分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【典例1】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）如果分式的值为负数，那么x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴， ∴， ∴满足题意的x的值可以为2， 故答案为：2（答案不唯一）． 题型六 分式的值为整数时字母的取值 解｜题｜技｜巧 分式值为整数的关键是将原分式通过代数变形（如分离常数、多项式除法）转化为“整式 + 分子为常数的分式”的形式，然后利用分母必须是分子的约数这一整除原理求解字母的可能取值. 【典例1】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式的值是整数，则满足条件的所有正整数m的和 等于（　　） A．9 B．8 C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值是整数得或2或3或6，求得的值即可求解，根据题意得或2或3或6是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是整数， 是6的约数，即或2或3或6， 解得：（舍去）或1或2或5， 则满足条件的所有正整数m的和为． 故选：B． 题型七 分式的基本性质 解｜题｜技｜巧 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 【典例1】（24-25八年级上·重庆江北·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 【变式1】如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 题型八 最简分式的判断 解｜题｜技｜巧 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数． 【典例1】27．（23-24八年级上·云南红河·期末）下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式． 结合最简分式的定义求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、是最简分式，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 【变式2】分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 题型九 分式的约分 解｜题｜技｜巧 1、若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； 2、 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分． 直接根据分式的约分法则进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1】下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了约分，根据分式约分的法则逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、不能约分，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（23-24八年级上·吉林白城·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分．把分式的分子和分母因式分解，再化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型十 分式的通分 解｜题｜技｜巧 1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. 3、通分的关键是确定最简公分母． 【典例1】把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式1】将分式与分式通分后，的分母变为，则的分子变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据最简公分母是，将分式变为，分子和分母都乘以，即可得出答案． 【详解】． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，确定最简公分母是通分的关键． 【变式2】（1）通分：和； （2）约分：． 【分析】（1）通分时先分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，计算即可； （2）先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，计算即可． 【详解】解：（1）； ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查的是通分和约分，熟练掌握其定义和规律方法总结是解题的关键． 题型十一 分式的乘除法 解｜题｜技｜巧 分式的乘除法运算关键是掌握“乘法直接算、除法变乘倒数”的原则，并优先进行约分以简化计算过程. 【典例1】若式子有意义，则x满足的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的除法，分式有意义的条件，正确理解定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ， 且且， 故选：D． 【变式1】化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把除法变成乘法后进行约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）将原式直接约分即可； （2）将除法化为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十二 分式的乘方 解｜题｜技｜巧 （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合.正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. 【典例1】（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 【变式1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 题型十三 分式的乘除与乘方混合运算 解｜题｜技｜巧 按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简形式. 【典例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解： = =. 故选：B. 【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式1】下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查含乘方的分式的乘除混合运算，因式分解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 题型十四 分式的加减法 解｜题｜技｜巧 掌握同分母与异分母分式加减的基本法则，并灵活运用约分、通分、裂项相消等技巧，是高效解题的关键。 【典例1】（24-25八年级上·天津·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用通分，约分计算即可． 本题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·期末）化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算．通过通分将两个分式合并，利用平方差公式分解分母，然后相加化简，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B 【变式2】计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加法和减法运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （3）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （4）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十五 分式的实际应用 解｜题｜技｜巧 分式混合运算的实际应用的方法是先根据题意列出分式，然后进行分式的混合运算即可解答. 【典例1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水： 吨， 故选C． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某 施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天 数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的运算，根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)户型二的单价较低，理由见解析 【分析】（）根据图形分别表示出户型一的主房面积和户型二的主房面积，进而求出，再分别求出户型一的入户花园的面积和户型二的入户花园的面积，求出，最后利用作差法比较即可； （）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法比较即可； 本题考查了列代数式，整式的加减和分式加减的应用，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米， ∴平方米， 户型一的入户花园的面积为平方米， 户型二的入户花园的面积为平方米， ∴平方米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：户型二的单价较低，理由如下： 户型一的单价为：万元平方米， 户型二的单价为：万元平方米， ∵ ， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴户型二的单价较低． 题型十六 分式的混合运算 解｜题｜技｜巧 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 2、计算结果要化为最简分式或整式. 【典例1】（2024秋•莱西市期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【分析】根据分式的乘方运算对A选项进行判断；利用通分对B选项进行判断；根据分式的运算顺序对C选项进行判断；根据同分母分式的减法运算和约分对D选项进行判断． 【详解】解：A． （）3，所以A选项不符合题意； B． ，所以B选项不符合题意； C．a•b＝a•b•b＝ab2，所以A选项不符合题意； D． 1，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的混合运算：一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【变式1】（2024•安徽三模）化简•（a）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 【答案】A． 【分析】先算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】解：•（a） • • ＝a+b， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)a+1 (3)x (4) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算规则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再按照分式乘除法即可求解； （2）根据分式乘除法运算法则计算即可； （3）根据分式加减法运算法则计算即可； （4）先对括号里进行通分相减，再把除法运算化为乘法运算，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 题型十七 分式的化简求值 解｜题｜技｜巧 先把分式进行化简，化简后直接代入求值即可解答. 【典例1】（25-26九年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古·期末）先化简，再从，，0，1四个数字中选 择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】， 或 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先化简分式，再将使分式有意义的值代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式无意义， 当时，原式无意义， 当时，原式． 当时，原式．（0与选一个代入求值即可） 【变式2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，根据得到，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 题型十八 分式与新定义问题 解｜题｜技｜巧 掌握分式与新定义问题的关键在于：一是熟练运用分式的基本性质和运算规则；二是精准理解“新定义”的内涵并将其转化为已知知识进行推理。其中，新定义问题常以分式运算为载体，考查学生的阅读理解与迁移能力. 【典例1】（2024春•谯城区期末）如果两个分式P与Q的和为常数m，且m为正整数，则称P与Q互为“完美分式”，常数m称为“完美值”，如分式，，，则P与Q互为“完美分式”，“完美值”m＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”m； （2）已知分式，，若C与D互为“完美分式”，且“完美值”m＝3，其中x为正整数，分式D的值为正整数． ①求E所代表的代数式； ②求x的值． 【分析】（1）根据完美值的定义，运算验证即可； （2）根据完美值的定义，C+D＝3，运算出E，再根据x为正整数，分式D的值为正整数的条件进行运算即可． 【详解】解：（1）A+B2， 根据完美值的定义，A与B是“完美分式”，完美值”m＝2． （2）∵C与D互为“完美分式”， ∴3， ①3， ∴E＝﹣2x﹣4， ②D， ∵分式D为正整数，x为正整数， ∴x﹣2＝﹣1或x﹣2＝﹣2， ∴x＝1，x＝0（舍去）， ∴x＝1． 【点睛】本题考查了分式的加减法以及分式的值的计算，读懂题意是突破该题的前提． 【变式1】（24-25八年级上·江西上饶·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式 的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝________； (3)应用：先化简，并回答：x取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查分式的化简，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行计算即可； （3）除法变乘法，约分化简后，进行加减运算，再根据新定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：；故①是和谐分式； 不能化成一个整式与一个分子为常数的分式；故②不是和谐分式； ；故③是和谐分式； ；故④是和谐分式； 故答案为：①③④ （2）； 故答案为：； （3）原式 ； ∵， ∴当时，分式的值为整数， ∴， ∵时，分式无意义， ∴当时，分式的值为整数． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 【答案】(1)是对称式，不是对称式 (2) 【分析】本题考查了整式的化简与整式恒成立求参数，正确理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据对称式的定义对各式进行判断即可； （2）根据对称式的定义，交换的位置，得到，由题意得，得到，化简求解即可． 【详解】（1）解：代数式，交换字母后的代数式为：， ∵， ∴是对称式； 代数式，交换字母后的代数式为：， 当，时， ，， ∴， ∴不是对称式； （2）代数式交换，的位置得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵对称式是不论如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等， ∴不论如何取值均成立， ∴． 题型十九 分式方程的定义 解｜题｜技｜巧 分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【典例1】（23-24八年级上·湖北荆门·期末）下列方程不是分式方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的定义，根据分式方程的定义逐项验证即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、是分式方程，不符合题意； C、不是分式方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 【变式2】给出下列关于x的方程：①，②，③，④ ．其中，分式方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题． 【详解】解：①，③，④ 是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程． 故分式方程有1个， 故选：A． 题型二十 解分式方程 解｜题｜技｜巧 解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以要检验： 【典例1】（2024春•南岸区期末）解分式方程的过程如下： 解：方程两边都乘x（x﹣2）， 得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1① 去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1② 解这个方程，得x＝1③ 检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④ 以上解答过程中，开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 方程两边都乘x（x﹣2）， 得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①， 以上解答过程中，开始出错的一步是：①， 故选：A． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键，最后的检验是易错点． （1）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：将代入中可得， 所以是原方程的解． （2）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 是原方程的增根，舍去； 原方程无解． 【变式2】（24-25八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得 解得 检验：将代入得 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得 解得 检验：将代入得 所以，是原方程的根． 题型二十一 分式方程的增根问题 解｜题｜技｜巧 利用分式方程的增根确定字母的取值，通常遵循以下步骤： ①将所给分式方程化为整式方程. ②确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）. ③将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值. 【典例1】（24-25八年级下·山东济南·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式方程有增根的问题，去分母将方程转化为整式方程，将增根代入整式方程，进行求解即可． 此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念，准确计算是解题关键． 【详解】解：方程两边同乘以，得， 整理得， ∴ ， ∵ 方程有增根，且增根为 ， ∴ ， 解得：， ∴ ， 故k的值为， 故选：B． 【变式1】若分式方程有增根，则的值为（　　） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，涉及由分式方程解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 先解分式方程，得到，再由分式方程有增根，列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得， 解得， 分式方程有增根， ， 即， 解得， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程增根问题，化分式方程为整式方程，求出，然后求出增根为，然后代入求解即可． 【详解】解： 方程的两边都乘以，得 化简，得． ∵当时，即时，方程有增根 ∴当时，； 当时，． ∴当或时，关于x的方程会产生增根． 题型二十二 分式方程的有解或无解问题 解｜题｜技｜巧 分式方程的无解有两种情况： 一是分式方程转化为整式方程无解； 二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0. 【典例1】若分式方程无解，则k的值为（　　） A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 【答案】C． 【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案． 【详解】解：， 去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1， 2x﹣4+1﹣kx＝﹣1， 2x﹣kx＝2， （2﹣k）x＝2， ∵分式方程无解， ∴x﹣2＝0，x＝2， 2﹣k＝0，k＝2， 当k＝1时，原方程为：， 2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1， 2x﹣4+1﹣x+1＝0， x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴k＝1时，原方程无解； 综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法． 【变式1】已知关于x的分式方程的解为正数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞﹣6 B．m＜6 C．m＜6且m≠3 D．m＞﹣6且m≠3 【答案】C． 【分析】根据分式方程的解答得到x＝6﹣m，再根据分式方程的解为正数即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘以x﹣3，得， x+m﹣2m＝2（x﹣3）， 解得：x＝6﹣m， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， ∴解得：m＜6且m≠3， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，解一元一次不等式组，理解分式方程的最简公分母不能为0是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·安徽六安·期末）关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)2或1 【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （2）先解方程，用含k的式子表示出x，，若该方程无解，则或，分别求解即可． 【详解】（1）解：时，关于的方程为， 化为整式方程，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得， 当时，， 因此该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得：， 解得， 若该方程无解，有两种情况： ，解得； ，即，解得，经检验符合， 综上可知，的值为2或1． 题型二十三 根据实际问题列分式方程 解｜题｜技｜巧 分析实际问题中的等量关系，列出方程即可解答． 【典例1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时，在飞行当天测得平均风速为36千米/小时，若无人机顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等（顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速），则可列分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解顺风和逆风的速度是解题关键．根据题意，无人机顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时，再根据“顺风飞行200千米所用时间与逆风飞行120千米所用时间相等”列分式方程即可． 【详解】解：一架新款无人机在无风时的飞行速度为x千米/小时， 则顺风速度为千米/小时，逆风速度为千米/小时， 由题意得：， 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可． 【详解】解：由原计划每间宿舍住名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）我县把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”·现需要购买甲、乙两种绿植，已知甲种绿植单价是乙种绿植单价的2倍，用5000元购买的甲种绿植比用3000元购买的乙种绿植少25株．设乙种绿植单价是元，则可列方程是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据甲、乙两种绿植单价间的关系，可得出甲种绿植单价是2x元，利用数量=总价÷单价，结合用元购买的甲种绿植比用元购买的乙种绿植少株，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵甲种绿植单价是乙种绿植单价的2倍，乙种绿植单价是元， ∴甲种绿植单价是元． 根据题意得 故选：A． 题型二十四 分式方程的应用 解｜题｜技｜巧 要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：路程＝ 速度×时间 ；工作量问题：工作总量＝工作效率×工作时间；商品销售问题：总价= 单价×销量． 【典例1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）春节期间，小明同学每天从家出发到相距4.5千米的图书馆学习，他每天出发的时间相同．第一天步行去图书馆，到达时图书馆已开馆5分钟；第二天骑自行车去图书馆，结果早到10分钟，图书馆还未开馆，已知图书馆每天开馆时间相同，小明骑自行车的速度是步行速度的1.5倍，求小明步行的速度和骑自行车的速度． 【答案】小明步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 设小明步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，根据题意建立分式方程求解即可． 【详解】设小明步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则， 答：小明步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时． 【变式1】（24-25八年级上·山东聊城·期末）“绿水青山就是金山银山”，县政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将滨河路段改建成滨河步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运送渣土．已知甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．求甲、乙两个工程队平均每天各运渣土多少吨？ 【答案】甲工程队平均每天运渣土500吨，乙工程队平均每天运渣土300吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土吨，由题意：甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲工程队平均每天运渣土500吨，乙工程队平均每天运渣土300吨． 【变式2】为创建宜居环境，某市正在建设若干街心花园，某工程队负责在街心花园种植A、B两种树木，已知A种树木的单价比B种树木的单价贵20元．工程队在第一批购买中，购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍． （1）求第一批购买时，A、B两种树木的单价各是多少元？ （2）工程队计划第二批购买A、B两种树木的总数量是第一批总数量的2倍，此次购买时两种树木的单价没有变化，本次购买预算总费用不超过7200元，A种树苗最多可以购买多少棵？ 【分析】（1）设第一批购买时，A种树木的单价是x元，则B种树木的单价是（x﹣20）元，根据购买A树木花费2400元，购买B树木花费1200元，且所购买A树木的数量是B树木的数量的1.5倍．列出分式方程，解方程即可； （2）求出第一批购买A种树木的数量和B种树木的数量，得出第二批购买A、B两种树木的总数量为100棵，设A种树苗购买m棵，则B种树苗购买（100﹣m）棵，根据本次购买预算总费用不超过7200元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设第一批购买时，A种树木的单价是x元，则B种树木的单价是（x﹣20）元， 由题意得：1.5， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意， ∴x﹣20＝80﹣20＝60， 答：第一批购买时，A种树木的单价是80元，B种树木的单价是60元； （2）第一批购买A种树木的数量为30（棵），B种树木的数量为20（棵）， ∴第二批购买A、B两种树木的总数量为2×（30+20）＝100（棵）， 设A种树苗购买m棵，则B种树苗购买（100﹣m）棵， 由题意得：80m+60（100﹣m）≤7200， 解得：m≤60， 答：A种树苗最多可以购买60棵． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在分式中，一定有意义的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是根据的取值，看分母的值是否为进行判断．依据分式有意义的条件进行判断． 【详解】解：当时，分式无意义； 因为，所以分式一定有意义； 当时，即，分式无意义； 当时，即，分式无意义， 所以一定有意义的有个． 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西临汾·期末）下列分式中是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式．通过检查各选项分子和分母的公因式情况即可判断． 【详解】A．，故不是最简分式； B．，分子与分母无公因式（平方和不能因式分解），故是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式． 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如果一个分式，当时分式无意义，当时分式的值为0，则这个分式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义，分式的值为零的条件，解题的关键掌握分式代值的计算方法．先根据当时，分式无意义，排除选项B、D，然后把代入A、C选项计算即可判断． 【详解】解：当时，，则分式，无意义；，，则分式，有意义，故排除选项B、D， 当时，，，故选项C符合题意，选项A不符合题意． 故选：C． 4．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算；设“□”中的式子为，把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【详解】解：设“口”中的式子为， 原式 ， 所以当时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 5．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴不论a为何值时，都有意义，故①正确； ②∵当时，， 此时分式无意义， ∴②错误； ③∵的值为负，， ∴， ∴，故③正确； ④∵有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且，故④正确． 故选：B 6．（24-25八年级下·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，先分别求出两者的速度，再求比值即可． 【详解】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 故选：B． 7．（24-25八年级上·山东威海·期末）（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，解题的关键是掌握分式的运算法则．根据分式的运算法则，先算乘方，再算乘除即可求解． 【详解】解： 故选：D． 8．（24-25八年级上·河南信阳·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为（ ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，结合解是正整数，得到m的值，结合分式有意义的条件，得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， ， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，3， 整数m的值为，1， ，即， ， 即， 整数m的值为， 故选：. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（22-23七年级下·广西梧州·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)2 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）根据分式的加法运算可进行求解； （2）根据分式的除法运算可进行求解； （3）根据分式的乘法可进行求解； （4）根据分式的乘除法可进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 10．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的加减法，把异分母分式化为同分母是关键． （1）把异分母分式化为同分母分式进行减法计算即可； （2）把异分母分式化为同分母分式进行加法计算即可． 【详解】（1） ； （2） 11．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 12．（2024秋•河北区校级期末）解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x； （2）分式方程无解． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：（1）去分母得：3（3x﹣1）﹣2＝5， 解得：x， 检验：把x代入得：2（3x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x； （2）去分母得：（x+2）2﹣x2+4＝16， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0， ∴x＝2是增根，分式方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义，分式的混合运算，分式有意义的条件，解题的关键是正确理解“和谐分式”的定义． 对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），先将原式化简为，再根据和谐分式的定义整理为，然后讨论得出答案． 【详解】（1）解：①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式． 故答案为：①③④． （2）， 故答案为∶． （3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 14．（2024春•肥西县期末）已知关于x的分式方程． （1）若方程的增根为x＝1，求m的值； （2）若方程无解，求m的值． 【答案】（1）m＝﹣6； （2）或﹣6或﹣1． 【分析】先去分母，整理得（m+1）x＝﹣5， （1）根据方程有增根，且增根为x＝1，求解即可； （2）根据方程无解，分情况讨论：当x＝﹣2，x＝1，m+1＝0分别求解即可． 【详解】解：去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1， 整理，得（m+1）x＝﹣5， （1）将x＝1代入（m+1）x＝﹣5， 解得m＝﹣6； （2）∵方程无解， 当x＝1时，m＝﹣6； 将x＝﹣2代入（m+1）x＝﹣5， 解得m， 当m+1＝0时，m＝﹣1， ∴满足条件的m的值有或﹣6或﹣1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． 15．（2024秋•双辽市期末）某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现A，B两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知B种图书每本的进价比A种图书贵6元，用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同． （1）A，B两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本A种图书的利润为3元，每本B种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1600元，则至多购进A种图书多少本？ 【答案】（1）A种图书进价为30元，则B种图书进价为36元； （2）至多购进A种图书33本． 【分析】（1）设A种图书进价为x元，则B种图书进价为（x+6）元，根据“用2100元购进A种图书和用2520元购进B种图书的本数相同”列方程求解即可； （2）设购进A种图书m本，则购进B种图书（200﹣m）本，根据“销售完后所获利润不少于1600元”列不等式即可求解． 【详解】解：（1）设A种图书进价为x元，则B种图书进价为（x+6）元， 由题意得：， 解得：x＝30， 检验：当x＝30时是原分式方程的根且符合实际， ∴x+6＝30+6＝36， ∴A种图书进价为30元，则B种图书进价为36元； （2）设购进A种图书m本，则购进B种图书（200﹣m）本， 由题意得：3m+9（200﹣m）≥1600， 解得：， ∵m为整数， ∴m的最大整数为33， ∴至多购进A种图书33本． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 16．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）某校计划组织八年级师生进行研学旅行，拟租用辆车数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，得到如下信息：大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，一辆中型客车的租金比一辆大型客车少元，用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同． (1)一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？ (2)已知该校八年级师生共人． 该校至少需要租用多少辆大型客车？ 若租车费用的预算为元，学校有哪几种租车方案？哪种方案花费最低？ 【答案】(1)一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； (2)该校至少需要租用辆大型客车； 学校有种租车方案：方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案：租用辆大型客车，辆中型客车；方案花费最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用. （1）设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元，根据用元租大型客车的数量和用元租中型客车的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据大型客车载客量为人，中型客车载客量为人，师生共人，列出一元一次不等式，解不等式即可； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆，根据租车费用的预算为元，运用（1）的结论，列出一元一次不等式，再结合的结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：设一辆大型客车的租金为元，则一辆中型客车的租金为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元； （2）设至少租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 答：该校至少需要租用辆大型客车； 设租用辆大型客车，则租用中型客车辆， 由题意得：， 解得：， 由得：，且为正整数， 或， 当时，，费用为：； 当时，，费用为：； 学校有种租车方案： 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； 方案：租用辆大型客车，辆中型客车； ， 方案花费最低． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $