8.1与三角形有关的边和角 讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

本讲义聚焦“与三角形有关的边和角”核心知识点，系统梳理三角形的定义、边（含三边关系、按边分类）、角（含内角和定理、外角性质、按角分类及直角三角形性质）等内容。从基本概念到性质探究，再到分类应用，构建递进式学习支架，帮助学生逐步掌握三角形的知识体系。 资料特色鲜明，包含思维导图辅助知识结构化呈现，通过分类型练习题（如三角形概念辨析、高与中线计算、内角和与外角性质应用等）培养学生的几何直观与推理能力。答案解析详细，结合实例引导学生用数学语言表达思路，既助力教师课堂教学，又便于学生课后自主复习、查漏补缺，提升数学思维与应用意识。

8.1与三角形有关的边和角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 与三角形有关的边 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，三角形的边可以用小写字母a、b、c表示（通常顶点A所对的边记为a，顶点B所对的边记为b，顶点C所对的边记为c）。 3. 三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。 4. 三角形的表示方法：三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”。 5. 三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。即对于，有a + b > c，a + c > b，b + c > a；且，，。 6. 三角形的分类（按边分）： · 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。 · 等边三角形（正三角形）：三条边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 与三角形有关的角 1. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于，即在中，。 3. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 4. 三角形外角的性质： · 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。例如，在中，是的一个外角，则。 · 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。例如，在中，是外角，则，。 5. 三角形的分类（按角分）： · 锐角三角形：三个角都是锐角（即每个角都小于）的三角形。 · 直角三角形：有一个角是直角（等于）的三角形，夹直角的两边叫做直角边，直角所对的边叫做斜边。直角三角形可以用符号“”表示，如直角三角形(ABC)记作“”。 · 钝角三角形：有一个角是钝角（大于且小于）的三角形。 6. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余，即在中，若，则。 型 习 练 题 三角形的相关概念 1．图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 3．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 4．下面四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 5．如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 三角形的高的有关计算 6．如图，在直角三角形中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，交的延长线于点．在点的运动过程中，的值（   ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大 7．如图，在中，，是边上的高，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，是边上的高，则的长度为（    ） A．4.8 B．5 C．5.2 D．6 9．如图，李大爷有一块三角形菜地，过点引一条与垂直的管道，把菜地分为面积比的两部分，若，，则的长度为（    ） A．26 B．30 C．24 D．8 10．如图，在中，，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 三角形中线的有关计算 11．如图，是的中线，是的中线，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 13．如图，是的中线，，，则与的周长之差为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，是的中线，是的中线，是的中线．若，则的长为（   ） A． B．1 C．2 D．4 15．如图，在中，，分别是边的中线、高线，过点D作于点F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 三角形内角和问题 16．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（    ）． A． B． C． D． 17．如图，直线，，，则等于（　　） A． B． C． D． 18．如图，在中，，的平分线，相交于点F，，则等于（    ） A． B． C． D． 19．如图，的两外角，的平分线交于点P，．则_______． A． B． C． D． 20．如图，点B，C是射线上的动点，的平分线和的平分线所在直线相交于点D，若，的大小为（   ） A． B． C． D．随点B、C的移动而变化 三角形的外角的定义及性质 21．如图，和都是的外角，已知，则（    ） A． B． C． D． 22．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（  ） A． B． C． D． 23．一副三角板如图所示方式摆放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 24．如图，是的一个外角，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 三角形的三边关系 26．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A． B． C． D． 27．若三角形的三边长分别为3，x，8，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 29．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A． B． C． D． 30．如图，将四根长度分别为，，，的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在保持四边形变化过程中，点和点之间的距离可能是（    ）    A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D C A B A A B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B C C B C B D C A C 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 B B D A B C A B C C 1．B 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查了三角形的分类，根据直角三角形，锐角三角形以及钝角三角形的定义分析即可． 【详解】解∶ 已知此三角形露出的一个角是锐角． 对于锐角三角形，它的三个角都是锐角所以仅一个锐角不能确定它就是锐角三角形． 对于直角三角形，除了一个直角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角也不能排除它是直角三角形． 对于钝角三角形，除了一个钝角外，另外两个角是锐角，所以仅一个锐角同样不能排除它是钝角三角形． 因此，仅根据露出的这一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，也可能是直角三角形，还可能是钝角三角形，此三角形的类别无法确定． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了三角形高的定义，正确理解三角形高的定义是解题的关键．根据三角形高的定义回答即可． 【详解】解：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 根据三角形高的定义可知，选项D中是的高． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查三角形中线、高线、角平分线的判断，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是的角平分线 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了三角形的高，能根据高表示出三角形的面积进行判断是解题的关键．根据点沿自点向点运动时，会减小，而的面积不变，由面积公式可得的值逐渐增大． 【详解】解：，， ， ∵点沿自点向点运动时，会减小，而的面积不变， 的值逐渐变大， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键． 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】解： ， ∴． 故选B． 8．A 【分析】本题主要考查了和三角形高有关的计算，根据三角形等面积法求解即可． 【详解】解：根据题意可知：， 即， 解得：， 故选A 9．A 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的面积计算，根据题意可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵，把菜地分为面积比的两部分，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．B 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，比例的求解，根据代入数值求解即可． 【详解】解：，， ，即， 与的比是 故选：B． 11．B 【分析】本题考查中线的性质，解题的关键是熟练掌握中线的相关知识．根据是的中线，是的中线，得到，再根据，即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴， ∴． ∵， ∴ 故选：B． 12．C 【分析】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质． 根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是和长度的差． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 13．C 【分析】本题考查了三角形的周长计算，中线的定义，熟练掌握中线的定义是解题的关键．根据中线的定义可得，再根据三角形的周长计算方法列式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为，的周长为，，， 与的周长之差为：． 故选：C． 14．B 【分析】本题考查了利用三角形的中线求线段，熟练掌握三角形的中线等分线段是解题的关键． 根据三角形的中线等分线段得到，，，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 15．C 【分析】本题考查的是三角形的中线和高，熟记它们的定义是解题的关键． 根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 16．B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ，， ， 故选： B． 17．D 【分析】本题考查了三角形内角和、邻补角的运用以及平行线的性质，先由三角形内角和算出，再结合，则同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：D． 18．C 【分析】本题重点考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，正确理解和应用“三角形的内角和等于”是解题的关键．由，求得，因为，的平分线，相交于点F，所以，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：在中，， ∴， ，的平分线，相交于点F， ，， ∴， ∴． 故选：C． 19．A 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，涉及了三角形的外角的定义及性质，由题意得：，求出，推，进而得，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 20．C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，设，则，由角平分线的定义推出，，再由三角形内角和定理推出，则可得到，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵的平分线和的平分线所在直线相交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 21．B 【分析】本题考查了三角形外角的性质．根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和得到，再利用求出，即可解题． 【详解】解：和都是的外角， ， ， ， 故选：B． 22．B 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题的关键． 先求出的度数，再利用三角形外角的性质可得． 【详解】解：由题意可知，， ． 故选：． 23．D 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 24．A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角性质直接解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∴， 故选：． 25．B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”及“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 利用平行线的性质得出同位角相等，再通过三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：令交于点 ∵，， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵是的外角，， ∴， ∴， 故选： 26．C 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题． 【详解】解： A．，等于第三边，不满足三角形三条边的关系； B．，不满足三角形三条边的关系； C．，满足三角形三条边的关系； D．，不满足三角形三条边的关系． 故选C． 27．A 【分析】考查了三角形三边关系，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求的取值范围． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即， 即的取值范围是． 故选：A． 28．B 【分析】本题考查了三角形的三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．首先根据三角形的三边关系定理求出的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【详解】解：∵能构成三角形， ∴，即， 只有不符合题意， 故选：B． 29．C 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、B、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；C选项伸缩门是用到了菱形的不稳定性， 故选：C． 30．C 【分析】本题考查三角形三边的关系的应用． 连接，根据三角形的三边关系，可得的范围，即可求解． 【详解】解：连接，   在中，，即， 在中，，即， ∴， ∴只有C选项符合题意． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $