专题03二元一次方程组的解法寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型解析+强化题型突破)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题03二元一次方程组的解法寒假预习核心讲义 1 预习目标 基础解法直接拿捏：两种消元法（代入/加减）练到“肌肉记忆”，解方程 像拆快递一样顺，开学课堂上抢着当“解题快手”~ ·技巧buf直接拉满：特殊解法、错解复原这类坑题”，看完题就能反杀， 再也不用对着错题挠头啦！ ·方程组脾气秒看透：瞅一眼系数比例，直接判断“唯一解/无数解/无解”， 参数题不用算到天荒地老 生活题直接通关：行程、利润、分配这些“绕脑题”，抓等量关系像抓零食 样准，寒假作业速度直接upup! 2 预习内容概览 预习核心 1.基础解法核心知识 2.基础/易错类核心知识 知识点梳理 3.方程组技巧类知识 4实际应用类核心知识 1.代入消元法 2.加减消元法 3.二元一次方程组的特殊求解技巧 4.结合实际问题列二元一次方程组 5.由二元一次方程组的解的情况求参 6.二元一次方程组的同解问题分析 常考题型 数 精讲精炼 7.结合几何图形列二元一次方程组 8.二元一次方程组的应用：行程问题 9.二元一次方程组的应用：工程问题 10.二元一次方程组的应用：分配问题 11.二元一次方程组的应用销售利润 12.二元一次方程组的应用：和差倍分 问题 问题 强化巩固 (15题) 题型通关 核心知识点梳理 试卷第1页，共3页 【知识点01.基础解法核心】 1.代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入消元。 关键步骤：变形（表未知数）→代入（消元）→求解→回代得解。 2.加减消元法 核心思路：使同一未知数系数相等/相反，加减消元。 关键步骤：凑系数（同/反）→加减消元→求解→回代得解。 【知识点02.特殊/易错类核心】 1.特殊解法（如整体代入） 适用场景：方程含“重复整体式子”（如2x+3y); 核心：将整体式子看作一个新未知数代入。 2.错解复原问题 核心：错解代入未看错的方程，正确解代入所有方程，列新方程组求解。 【知识点03.方程组技巧类核心】 ax+by=c 解的情况判断 (针对 a x+by=c2 唯解：司≠品 (系数不成比例)； 无数解：：费=号=号 (全成比例)； 无解：号=号≠号 (系数成、常数不成)。 2.同解问题 核心：先解“公共方程，得公共解，再代入剩余方程求参数。 【知识点04.实际应用核心（关键等量关系】 行程问题：路程=速度×时间；相遇（路程和=总路程）、追及（路程差= 初始距)； 工程间题：工作量=效率×时间；总工作量常为“I”; 销售利润：利润=售价·成本；利润率=（利润÷成本）×100%； 和差倍分：和(x+y=a)、差(x-y=b)、倍(x=ny): 试卷第1页，共3页 几何问题：利用周长、面积公式（如长方形：周长=2（长+宽）)。 常考题型精讲精练 【题型1.代入消元法】 【典例】已知方程3x+4y=6,用含x的式子表示y,可表示为() A.x=6-4 B.x=6+4y C.y=6-3x 3 4 D.y=6+3x 4 【跟踪专练1】若 =13是方程组 x=24 2x+ay=87 x-5y-7=0的解，则a=一，b= x+3y=-3 【跟踪专练2】下列方程组中，与方程组 x+y=-2有相同解的是() x-y=1 x=y-1 x=y-1 x=y-1 A B C 3x=5-y 3x+5+y=0 3x+5-y=0 3x=5-y 【题型2.加减消元法】 2x-5y=7① 【典例】用加减法解方程组 2x+3y=2@时，②-0得 x+2y=4 【跟踪专练1】若关于x,y的二元一次方程组 的解也是方程x+y=3k的解，则 12x+y=5 k的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 ax+2y=6 【跟踪专练2】已知关于x,y的二元一次方程组 2x-3y=7的解与3x+5y=1的其中一个解 相同，则a的值是」 【题型3.二元一次方程组的特殊解法求解技巧】 x+2y=5 【典例】己知二元一次方程组 2x+y=7'则x+y的值为() A.2 B.4 C.5 D.6 ax-by=3 x=2 【跟踪专练1】若关于x,y的二元一次方程组 2ar-36y=10的解为 =-1’则关于m,n 试卷第1页，共3页 二元一次方程组 2am+小-36n-2引°20的解为 a(m+1-bn-2=6 【跟踪专练2】己知方程组 「ax+by=G的解是 x=2 ax+bay=cz y=4'则关于x,y的方程组 ax+bhy=a+G的解是（） ax+bay=a,+c x=3 x=3 x=4 x=4 A B. D y=-4 y=4 y=4 y=-4 【题型4.结合实际问题列二元一次方程组】 【典例】我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：00个和 尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个.设大和尚x人， 小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： 【跟踪专练1】《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗 里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思 对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你 9只羊，我们两家的羊数就一样多.”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次 方程组为() x-9=2(y+9) x+9=2(y-9 A. B. y+9=x-9 y+9=x-9 [x+9=2y [x-9=2y C. D. y+9=x y+9=x-9 【跟踪专练2】小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和 一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机 打8折销售， ○，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费 7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据题意，得 0,① 0.8x+2y-400)=720.@该题中的一个条件和方程0不小心被污染了，已知小明所列的 试卷第1页，共3页 方程组是正确的，则被污染的条件是 ,方程①是 【题型5.由二元一次方程组的解的情况求参数】 2x+3y=3k+2 【典例】如果关于x,y的二元一次方程 的解x,y满足x+y=3,那么k的 3x+2y=1-k 值是 「4x+2y=5k-4, 【跟踪专练1】若关于x,y的二元一次方程组 的解满足x+y=1,则k的值 2x+4y=5 为() A.1 B.0 C.2 D.-1 2x+my=15 【跟踪专练2】关于x,y的二元一次方程组 x-2y=0 的解为正整数，则所有满足条件 的整数m之和是」 【题型6.二元一次方程组的同解问题分析】 br+ay=-7有相同的解，则a+b-3的值为() 2x+3y=19,3x-2y=9 【典例】关于x,y的方程组 与 ax+by=-1 A.-1 B.-6 C.-8 D.-4 x+y=3 x-y=1 【跟踪专练1】如果方程组 my+x=1 x-y=4049的解相同，则m=一 和 「2x+3y=33x-2y=11 【跟踪专练2】若关于x、y的方程组 ar-郇=-5和 有相同的解，则 bx-ay=1 (a+b)25的值为(） A.-1 B.O C.1 D.2025 【题型7.结合几何图形列二元一次方程组】 【典例】在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的，图1所示的算筹图表示的是 关于x,y的方程组 x+3y=28,则图2所示的算筹图表示的方程组是() 2x+4y=17 试卷第1页，共3页 三 图1 图2 [3x+2y=32 g 3x+2y=36 A. 2x+3y=22 11x+3y=22 [3x+2y=36 6x+3y=22 0 [3x+2y=36 3x+6y=22 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影 部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问 题.若设图中 的面积为x, 的面积为y,则可列出方程： (填写 一个) 【跟踪专练2】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方 形，若设小长方形的长为x,宽为y,则可列方程组为() 40 4y=40 x+y=40 x+y=40 A B. x-y=40 D y=3x 3x=2x+3y 3y=2y+3x x=3y 【题型8.二元一次方程组的应用：行程问题】 【典例】一条船顺流航行，每小时行驶18km;逆流航行， 每小时行驶16km,若设船在静 水中的速度为xkm/h,水流速度为km/h,则列出的方程组为() x+y=18 x+y=18 x+2y=18 x+y=18 A. C. y-x=16 x-y=16 x-2y=16 2x-y=16 【跟踪专练1】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵.甲 试卷第1页，共3页 每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选 择在A地或B地植树. (1)若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要_ 天完成； (2)若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天 【跟踪专练2】某科研团队对两款仿生机器人A,B进行步行性能测试，计划让一台A型机 器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器 人接着走，在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14 秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒. (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)己知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力 测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人 的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【题型9.二元一次方程组的应用：工程问题】 【典例】某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子.该厂一天能生产桌子12张或 椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅.如果要使生产的桌子和椅子正好配套， 设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为() x+y=20 x+y=20 A. B. 4×12x=32y 112x=4×32y x+y=20 x+y=20 C. D. 4×32x=12y 32x=4×12y 【跟踪专练1】甲加工一种零件，乙加工另一种零件.甲用A型机器需要6小时才能完成任 务，用B型机器效率降低60%；乙用B型机器需要10小时才能完成任务，用A型机器效率 提高20%·如果甲用A型机器，乙用B型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器， 甲和乙同时完成任务.则甲完成任务所用的时间是 小时. 【跟踪专练2】某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成.按原来 的生产进度，每天生产这科工作服150套，在规定的期限内只能完成订货量的等。现在，工 厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服200套.按现在的生产进度，不仅比规定的期限 试卷第1页，共3页 少用1天，而且比订货量多生产了25套.那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成 的期限是多少天？ 【题型10.二元一次方程组的应用：分配问题】 【典例】一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装 76瓶.大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得 () 「3x+2y=76 3x+4y=76 3x+4y=108 3x+2y=76 A. B C. 3x+4y=108 2x+3y=108 2x+3y=76 2x+4y=108 【跟踪专练1】某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机 轴要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配 套，根据题意可得方程组· 【跟踪专练2.】某酒店客房部有三人间、双人间客房.三人间的价格为300元/天，双人间 的价格为280元/天.为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动.一个50人的旅 游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间.若每间客房正好住满，且一天共花 去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【题型11.二元一次方程组的应用：销售利润问题】 【典例】某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去 年减少了10%，今年的总利润为780万元.小明列出二元一次方程组 x-y=200 1+20%)x-1-10%y=780刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量 为 ,y表示的未知量为■ 【跟踪专练1】根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲 地上涨10%，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地 少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为() A.50元、60元 B.44元、54元 C.40元、50元 D.45元、55元 【跟踪专练2】.如图，佳宁同学的作业本中有一页被墨水污染了. 小东在商场看中了一台电视和一台空调，标价之和是5500元，由于该商场开展促销活动， 试卷第1页，共3页 同样的电视打八折销售，三心二，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台、 空调两台，共花费7200元，则促销前同样的电视和空调每台各多少元？解：设促销前同 样的电视每台x元，同样的空调每台y元. 根据题意，得 阅泰 0.8.x+2(y-400)=7200. 已知佳宁同学所列的方程组是正确的. (1)写出图中被墨水污染的①②处的内容. (2)请完整地解答这道题 【题型12.二元一次方程组的应用：和差倍分问题】 【典例】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具 有滞尘净化空气的作用，己知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞 尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克.设一 片银杏树叶一年的平均滞尘量为x毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y毫克.依据题 意，可列方程组() [x-2y=4 [x=2y-4 A. B. 2x+3y=146 2x+3y=146 y=2x-4 y=2x+4 C. D. 2x+3y=146 3x+2y=146 【跟踪专练1】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师 傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需85min;加工4个甲种零件和9个乙种零件共需 125min,则李师傅加工8个甲种零件和16个乙种零件共需 min. 【跟踪专练2】学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用30才能完成.现由两 组同学共同参与此项工作，第一组整理了1h,第二组整理了1.5h,恰好完成工作.如果每 个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 强化巩固通关 [3x+2y=m+1 1.已知关于x,y的方程组 2x+3y=4m+4 的解满足3x+3y=4,则m的值为 试卷第1页，共3页 2.己知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120 秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒.如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为米 3.某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、 乙两个工程队负责施工.甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3 天后，还剩50米的工程.己知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米 4.有大、小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货18,5辆大货车与6辆 小货车一次可以运货40.5t,则4辆大货车与1辆小货车一次可以运货t. ax+by=c x=1 [a(x-1)+3by =2c 5.若关于x、y的方程组 (er+=d的解为) y=2,则方程组 (x-1)+3i=2d的解是() x=2 x=3 x=2 x=3 C 4 D y=- y= 3 3 3 x+by=3 a+2y=-5”甲同学看错了字母a解得 x=4 6.己知关于x,y的方程组 y=1: 乙同学看错了 x=3 字母b解得 y=-1’ 则该方程组的解为() x=1 X=2 x=-1 x=-2 A. B C. D y=-2 y=-1 y=2 y=1 7.某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色 帽子比红色帽子多2个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的2倍，则该兴趣小组男女生分 别有多少人？设男生有x人，女生有y人，则下列方程正确的是() x-1=y+2 x-1=y+2 A. B. x=2(y-1) x=2y x-1=y+2 x=y+2 C. D. x=2y-1 [x=2y 8.规定新运算：m★n=am+bn,其中a,b是不等于0的常数，且a≠b.已知 x★y=a,y★x=b,则y的值为() A.2 B.1 C.0 D.-1 试卷第1页，共3页 专题03二元一次方程组的解法寒假预习核心讲义 · 基础解法直接拿捏：两种消元法（代入 / 加减）练到 “肌肉记忆”，解方程像拆快递一样顺，开学课堂上抢着当 “解题快手”~ · 技巧 buff 直接拉满：特殊解法、错解复原这类 “坑题”，看完题就能反杀，再也不用对着错题挠头啦！ · 方程组脾气秒看透：瞅一眼系数比例，直接判断 “唯一解 / 无数解 / 无解”，参数题不用算到天荒地老～ · 生活题直接通关：行程、利润、分配这些 “绕脑题”，抓等量关系像抓零食一样准，寒假作业速度直接 up up！ 预习核心 知识点梳理 1.基础解法核心知识 2.基础/易错类核心知识 3.方程组技巧类知识 4.实际应用类核心知识 常考题型 精讲精炼 1.代入消元法 2.加减消元法 . 3.二元一次方程组的特殊求解技巧 4.结合实际问题列二元一次方程组 5.由二元一次方程组的解的情况求参数 6.二元一次方程组的同解问题分析 7.结合几何图形列二元一次方程组 8.二元一次方程组的应用:行程问题 9.二元一次方程组的应用:工程问题 10.二元一次方程组的应用:分配问题 11.二元一次方程组的应用:销售利润问题 12.二元一次方程组的应用:和差倍分问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.基础解法核心】 1. 代入消元法 核心思路：用一个未知数表示另一个未知数，代入消元。 关键步骤：变形（表未知数）→ 代入（消元）→ 求解→ 回代得解。 2. 加减消元法 核心思路：使同一未知数系数相等 / 相反，加减消元。 关键步骤：凑系数（同 / 反）→ 加减消元→ 求解→ 回代得解。 【知识点02.特殊/易错类核心】 1. 特殊解法（如整体代入） 适用场景：方程含 “重复整体式子”（如2x+3y）； 核心：将整体式子看作一个新未知数代入。 2. 错解复原问题 核心：错解代入未看错的方程，正确解代入所有方程，列新方程组求解。 【知识点03.方程组技巧类核心】 1. 解的情况判断（针对） 唯一解：​（系数不成比例）； 无数解：：​（全成比例）； 无解：：（系数成、常数不成）。 2. 同解问题 核心：先解 “公共方程” 得公共解，再代入剩余方程求参数。 【知识点04.实际应用核心(关键等量关系】 行程问题：路程 = 速度 × 时间；相遇（路程和 = 总路程）、追及（路程差 = 初始距）； 工程问题：工作量 = 效率 × 时间；总工作量常为 “1”； 销售利润：利润 = 售价 - 成本；利润率 =（利润 ÷ 成本）×100%； 和差倍分：和（x+y=a）、差（x−y=b）、倍（x=ny）； 几何问题：利用周长、面积公式（如长方形：周长 = 2 (长 + 宽)）。 【题型1.代入消元法】 【典例】已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用含的式子表示，需要通过移项和系数化为1来求解，正确移项是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边同时除以4）， 故选：C． 【跟踪专练1】若是方程组的解，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解方程组常用的方法是加减法和代入法． 把方程组的解代入原方程组，使方程组转化为关于a和b的二元一次方程组，再解方程组．即可求出a、b． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴， 解得：， 故答案为：，． 【跟踪专练2】下列方程组中，与方程组有相同解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入法、加减消元法是解题的关键．先求出题干中方程组的解，再分别求出各选项方程组的解，对比后即可解题． 【详解】解方程组，得， A、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； B、解方程组，得，与原方程组的解相同，故本选项符合题意； C、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； D、解方程组，得，与原方程组的解不相同，故本选项不符合题意； 故选：B． 【题型2.加减消元法】 【典例】用加减法解方程组时，得 ． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法，根据等式的性质，进行求解即可． 【详解】解：， 得：； 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法，通过解方程组求出的值，再代入中求解即可． 【详解】解：，得： ； 解得：； ∵的解也是方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 【详解】解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 【题型3.二元一次方程组的特殊解法求解技巧】 【典例】已知二元一次方程组，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加即可求解，掌握整体法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， 即， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】若关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设，则关于，二元一次方程组可化为，即，然后代入确定m、n的值即可解答． 【详解】解：设，则关于，二元一次方程组可化为， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．将方程组变形为，根据关于x，y的方程组的解是，得到，解之即可． 【详解】解：方程组变形为， ∵关于x，y的方程组的解是， ∴，解得：， 故选：B． 【题型4.结合实际问题列二元一次方程组】 【典例】我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个； ∵有个和尚， ∴； ∵有个馒头， ∴； 故答案为：； 【跟踪专练1】《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 【跟踪专练2】小明作业本中有一道未写完的题目如下：小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视机打8折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视机一台，空调两台，共花费7200元，则“五一”前同样的电视机和空调每台分别为多少元？ 解：设“五一”前同样的电视机每台元，空调每台元，根据题意，得该题中的一个条件和方程①不小心被污染了，已知小明所列的方程组是正确的，则被污染的条件是______，方程①是______． 【答案】同样的空调每台降价400元； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由方程②的信息可得答案； （2）设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元，根据小东在某商场看中的一台电视机和一台空调在“五一”前购买需花费5500元，写出方程即可． 【详解】解：（1）被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元， 故答案为：同样的空调每台优惠400元； （2）设“五一”前同样的电视机每台x元，空调每台y元， 根据题意得：， 故答案为：； 【题型5.由二元一次方程组的解的情况求参数】 【典例】如果关于，的二元一次方程的解，满足，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∵关于，的二元一次方程的解，满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（　　） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法和整体思想是解题的关键．将方程组的两式相加得，进而发现与的关系，从而获解． 【详解】解：将二元一次方程组的两式相加，得， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 【跟踪专练2】关于，的二元一次方程组的解为正整数，则所有满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先解方程组，二元一次方程组的解为正整数求出的值，再求和即可，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， 解得， ∵，为正整数， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：． 【题型6.二元一次方程组的同解问题分析】 【典例】关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 【跟踪专练1】如果方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题，解二元一次方程组，根据题意可先组合得到解后再代入两外两个方程求出，进而求解即可． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得 ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于、的方程组和有相同的解，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，再代入代数式中求解即可，理解题意中方程组有相同解的意义是解题的关键． 【详解】解：联立方程：， 得：， 得：， 得：，解得：， 把代入得，解得：， 因此，方程组的解为， 将代入得， ， 得：， ∴， ∴， 故选：． 【题型7.结合几何图形列二元一次方程组】 【典例】在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：， 故选C． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为1，以各边为直径在正方形内画半圆，在求图中阴影部分的面积时，我们可以将这个几何问题转化为代数中的方程问题，通过解方程从而解决问题．若设图中的面积为，的面积为，则可列出方程： （填写一个）． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积，据此即可列方程． 【详解】解：正方形的面积为， 由图可知，阴影部分和空白部分的面积和为正方形的面积， ∴， 故答案：． 【跟踪专练2】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据图示可以列出方程组． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 依题意得：． 故选：B． 【题型8.二元一次方程组的应用:行程问题】 【典例】一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶．若设船在静水中的速度为，水流速度为，则列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． 根据一条船顺流航行，每小时行驶；逆流航行，每小时行驶，列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意，得． 故选B． 【跟踪专练1】甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地需植900棵，B地需植1250棵．甲每天植24棵且仅在A地工作，乙每天植32棵且仅在B地工作，丙每天植30棵且每天可选择在A地或B地植树． （1）若甲和丙一起在A地植树2天，之后A地剩余的植树任务由甲单独完成，甲还需要 天完成； （2）若两地从同一天开始植树，且恰好在同一天完成，则丙在A地植树的天数比在B地少 天． 【答案】 33 5 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和方程组． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解，再计算丙在A地植树的天数与在B地植树天数之差即可． 【详解】解：（1）设甲还需要x天完成， 由题意可得：， 解得， 即甲还需要33天， 故答案为：33； （2）设丙在A地植树a天，在B地植树b天， ， 解得， ， 即丙在A地植树的天数比在B地少5天， 故答案为：5． 【跟踪专练2】某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【题型9.二元一次方程组的应用:工程问题】 【典例】某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．如果要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：设安排x天生产桌子，y天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故选：A． 【跟踪专练1】甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是 小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 【跟踪专练2】某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 【题型10.二元一次方程组的应用:分配问题】 【典例】一种商品有大、小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大盒与小盒各装多少瓶？若设大盒每盒装x瓶，小盒每盒装y瓶，则可列方程组得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【详解】解：设大盒装x瓶，小盒装y瓶，根据题意可列方程组为：， 故选：C． 【跟踪专练1】某车间有98名工人，平均每人每天可加工机轴15根或轴承12个，每根机轴 要配2个轴承，应分配x人加工机轴，y人加工轴承，才能使每天加工的机轴和轴承配套，根据题意可得方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（配套问题），解题的关键是找出两个核心等量关系：一是加工机轴与轴承的总人数等于车间总人数，二是每天加工的轴承数量是机轴数量的2倍（根据“每根机轴配2个轴承”的配套要求）． 先根据总人数为98人，得到加工机轴的人数与加工轴承的人数的和为98，列出第一个方程；再根据“每根机轴配2个轴承”的配套规则，可知轴承总数（）是机轴总数（）的2倍，列出第二个方程，进而组成方程组． 【详解】解：根据题意，找两个等量关系： 加工机轴人数加工轴承人数总人数，即； 轴承总数机轴总数（每根机轴配2个轴承），其中机轴总数为，轴承总数为，故； 综上，组成的方程组为． 故答案为：． 【跟踪专练2.】某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，理解题意，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 【题型11.二元一次方程组的应用:销售利润问题】 【典例】某工厂去年的总利润为200万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为780万元．小明列出二元一次方程组刻画这一情境中的等量关系，则方程组中的x表示的未知量为 ，y表示的未知量为 ． 【答案】 去年的总收入为x万元 去年的总支出为y万元 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．分析方程组可得方程组中的，表示的未知量分别为：去年的总收入为万元、总支出为万元，根据去年的利润（总收入总支出）为200万元，今年的利润为780万元，即可列方程组． 【详解】解：设去年的总收入为万元、总支出为万元， 由题意得，， 故答案为：去年的总收入为x万元，去年的总支出为y万元 【跟踪专练1】根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元．已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，则调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为（    ） A．50元、60元 B．44元、54元 C．40元、50元 D．45元、55元 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元，根据销售单价调整前甲地比乙地少元，调整后甲地比乙地少元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元， 由题意得： 解得： 故调整前甲地该商品的销售单价为元，乙地该商品的销售单价为元． 故选：C． 【跟踪专练2】.如图，佳宁同学的作业本中有一页被墨水污染了． 小东在商场看中了一台电视和一台空调，标价之和是5500元，由于该商场开展促销活动，同样的电视打八折销售，．于是小东在促销期间购买了同样的电视一台、空调两台，共花费7200元，则促销前同样的电视和空调每台各多少元？解：设促销前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元． 根据题意，得 已知佳宁同学所列的方程组是正确的． (1)写出图中被墨水污染的①②处的内容． (2)请完整地解答这道题． 【答案】(1)①同样的空调每台降价400元；② (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据第二个方程可找出表示每台空调在“五一”促销活动中的售价，进而可得出被墨水污染的条件①；由“一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元得到②处的内容； （2）由（1）中得到的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】（1）解：图中被墨水污染的条件为：同样的空调每台降价400元； 方程组中第一个方程为：． （2）解：设促销前同样的电视每台元，同样的空调每台元． 由题意得 解得 答：促销前同样的电视每台元，同样的空调每台元． 【题型12.二元一次方程组的应用:和差倍分问题】 【典例】科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 【跟踪专练1】李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需，则李师傅加工8个甲种零件和16个乙种零件共需 ． 【答案】240 【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组进行计算即可得到答案． 【详解】解：设李师傅加工个甲零件需要，加工个乙零件需要， ， ①②得：． 将代入①，得到， 故， 故加工8个甲种零件和16个乙种零件共需． 故答案为：． 【跟踪专练2】学校阅览室整理一批图书，如果一个人单独做，要用才能完成．现由两组同学共同参与此项工作，第一组整理了，第二组整理了，恰好完成工作．如果每个人的工作效率都相同，且第二组比第一组多5人，那么第一组、第二组各有多少人？ 【答案】第一组有9人，第二组有14人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设第一组有x人，第二组有y人，根据“第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一组有x人，第二组有y人， ∵第一组整理了，第二组整理了，第二组比第一组多5人， ∴， 解得：． 答：第一组有9人，第二组有14人． 1．已知关于x，y的方程组的解满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键． 先解方程组，用表示和，再代入条件中求解． 【详解】解：解方程组， ①得， ②得， 两式相减得，解得， 代入①得， 即， 整理得，解得， 该方程组的解为 代入条件得， 即， 整理得， 解得， 故答案为． 2．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 3．某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，则甲工程队每天施工 米，乙工程队每天施工 米． 【答案】 44.5 42.5 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米，由题意，得： ，解得：， 答：甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米； 故答案为：，． 4．有大、小两种型号的货车，辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，则辆大货车与辆小货车一次可以运货 t． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，首先根据辆大货车与辆小货车一次可以运货，辆大货车与辆小货车一次可以运货，列出二元一次方程组，解方程组求出一辆大货车和一辆小货车一次分别可以运货多少吨，然后再求出辆大货车与辆小货车一次可以运货多少吨． 【详解】解：设一辆大货车一次可以运货，一辆小货车一次可以运货， 根据题意可得：， 解得：， 辆大货车与辆小货车一次可以运货． 故答案为： ． 5．若关于、的方程组的解为，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同解二元一次方程组问题，熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键．先将恒等变形为，由与的解相同可得，直接求解即可得到答案． 【详解】解：将恒等变形为， 关于、的方程组的解为， 关于、的方程组的解为， 解得， 故选：B 6．已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 7．某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有人，女生有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．根据题意，每个人看不到自己戴的帽子，男生看到其他男生的蓝帽子和所有女生的红帽子，女生看到所有男生的蓝帽子和其他女生的红帽子，据此列出方程． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个， 男生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍， 女生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 因此方程组为， 故选：A． 8．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 9．元宵节将至，各种口味的汤圆纷纷上市，某商家从汤圆生产商处采购了花生、芝麻、奥巧三种口味的汤圆进行销售，其每袋进价分别是20元，25元，30元，其中花生与奥巧味汤圆每袋的销售利润率相同，每袋芝麻味汤圆的利润比每袋奥巧味汤圆的利润少，经统计，在今年元宵当天，该商家花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量是，其中销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，且芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，则今年元宵当天该商家销售这三种口味的汤圆的总利润是 元． 【答案】4000 【分析】本题主要考查了一次方程的应用．设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为，再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，，根据销售花生与芝麻味汤圆的总利润率是，列出方程，求得，得到单包各种口味的汤圆的利润，再根据芝麻味汤圆销售额比奥巧味汤圆销售额多2000元，列出方程，求解即可． 【详解】解：设奥巧味的利润为，则花生味的利润为，芝麻味的利润为， 再设花生、芝麻、奥巧口味的汤圆销量分别是，，， 依题意得， 解得， 则单包花生味的利润为元，芝麻味的利润为元，奥巧味的利润为元， 由题意得， 解得， 所以总利润：（元）， 故答案为：4000． 10．已知关于，的方程组，下列说法中正确的有（    ）个． ①当时，；②当时，的最小值为2；③取任意实数，的值始终不变；④不存在实数，使成立． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组．熟练掌握以上知识是解题关键．由，可得原方程组为，求解即可判断①；由原方程组可得出，结合，即得出，求解即可判断②；由原方程组可得出，即说明取任意实数，的值始终不变，可判断③；由原方程组可得出，整理，得：．结合，即可求出，，从而可求出，即存在实数，使成立，可判断④． 【详解】解：①当时，原方程组为， 解得：，故该项正确； ②， 由，得：． ∵，即， ∴， 解得：，即的最大值为2，故该项错误； ③， 由，得：， ∴取任意实数，的值始终不变，故该项正确； ④原方程组可改为：， ∴， 整理，得：． ∵，即， ∴， 解得：， ， ∴，即存在实数，使成立，故该项错误． 综上可知正确的有2个． 故选B． .解答题 11．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能利用消元的思想把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据加减消元法解方程； （2）根据加减消元法解方程 【详解】（1）解： 由得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为 由得，，解得； 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为． 12．七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 【答案】红队人数为4人，蓝队人数为3人 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，注意“队员看人数时，会忽略自己”，据此梳理红、蓝队人数的等量关系是解题关键． 根据红蓝队员对人数的描述，结合“实际人数”与“观察到的人数（忽略自己）”的差异，建立方程组求解即可． 【详解】解：设红队人数为人，蓝队人数为人． 一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”， 可得， 一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”， 可得， 联立可得， 解得，． 答：红队人数为4人，蓝队人数为3人． 13．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将两个方程组重新组合是解题的关键． 首先根据两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程求出方程组的解，再将解代入含参数的方程中，进而求出a，b的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴可得方程组：，解得：， ∴可得方程组：，解得：， ∴． 14．已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 15．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆(两者都要)，若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车； (3)或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键； （1）根据“买辆款和辆款需付款万元，买辆款和辆款需付款万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案； （3）设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，则款中没有享受国补的有，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，， 均为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设款的单价为万元，款的单价为万元． 根据题意得： 解得： （2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车， 根据题意得：， 又，均为正整数， 或 共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车； （3）万元， 款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同． 设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆， 款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的， ，即款中没有享受国补的有辆， 根据题意得： 解得： ，， 均为非负整数， 或 款中享受国补的有或辆． 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $