精品解析：黑龙江省大庆市龙凤区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

龙凤区2025－2026学年第一学期九年级期末考试数学试题 考生注意：1．考试时间120分钟，共28道题，总分120分； 2．请在答题卡对应区域内作答． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列y关于x函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A. B. C. D. 6. 有以下四个命题中，正确的命题是( )． A. 反比例函数，当x>-2时，y随x的增大而增大 B. 抛物线与两坐标轴无交点 C. 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧 D. 有一个角相等的两个等腰三角形相似 7. 第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是_____． 12. 若点A，B，C是上的点，如果，那么的度数是________． 13. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为________． 14. 已知圆锥的高为，底面圆的半径为1cm，则该圆锥的表面积是________． 15. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____s，才能停下来． 16. 图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为________分米（结果保留根号）． 17. 如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 18. 如图，是半圆直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 22. 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 23. 已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 24. 如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，，，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设与都是线段），且，点离地面的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得，他要求实际支撑高度为，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：，） 25. 综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] （1）求出方案1中圆弧形拱桥的半径； （2）为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 26. 项目式学习 我校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为30元/个益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 35 45 55 65 75 日销售量/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为______； 设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为______； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得900元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 27. 如图，以的边为直径作．点D在劣弧上，是的切线，分别连接、、，其中交于点E，延长交于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积； （3）若，求的值． 28. 定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图1，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，且点的坐标为，抛物线的解析式为． （1）求M，N两点的坐标； （2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由． （3）如图2，若有一组成“月牙线”的抛物线，它们的解析式分别为，，为轴上一点，过任意作一射线分别交和于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过作直线的垂线，垂足为，是否存在这样的点，使，恒成立？若存在，求出点的坐标，并探究是否为定值，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙凤区2025－2026学年第一学期九年级期末考试数学试题 考生注意：1．考试时间120分钟，共28道题，总分120分； 2．请在答题卡对应区域内作答． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．可能为0，故不一定是二次函数； B．含有项，不是整式，故不是二次函数； C．，满足，是二次函数； D．，是一次函数； 故选：C． 2. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 3. 在中，，，，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正弦．解题的关键在于正确的计算． 由勾股定理得，根据计算可得结果． 【详解】解：如图 ∵，， ∴ ∴ 故选：B． 4. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 5. 如表列出了二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，则一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x … 0 1 … y … 15 3 3 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可得对称轴为直线，函数开口向上，则可确定时自变量的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值都是3， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大， ∵时，，时，， ∴一元二次方程的其中一个解的取值范围是， ∴由对称性可知，一元二次方程另一个解的取值范围是. 故选：C． 6. 有以下四个命题中，正确的命题是( )． A. 反比例函数，当x>-2时，y随x的增大而增大 B. 抛物线与两坐标轴无交点 C. 垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧 D. 有一个角相等两个等腰三角形相似 【答案】C 【解析】 【分析】利用反比例函数的性质、相似形的判定、二次函数的性质及垂径定理等知识逐一判断后即可得到答案. 【详解】A、反比例函数y=-，当x＞0时，y随着x的增大而增大，故错误； B、抛物线y=x2-2x+2与x轴无交点，但与y轴有交点，故错误； C、垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧，故正确， D、底角和底角对应相等或顶角与顶角对应相等的两个等腰三角形相似，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似形的判定、二次函数的性质及垂径定理等知识，关键是掌握有关的定理及定义． 7. 第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴, 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算． 【详解】解：∵直径为圆形干果盘， ∴， 如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：． 故选∶A． 10. 如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情形∶ ①当0＜x≤2时， 重叠部分为△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可． 【详解】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M， 在等边△ABC中，∠ACB＝60°， 在Rt△DEF中，∠F＝30°， ∴∠FED＝60°， ∴∠ACB＝∠FED， ∴ACEF， 在等边△ABC中，AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2， ∴S△ABC＝BC•AM＝4， ①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG， 由题意可得CD＝x，DG＝x ∴S＝CD•DG＝x2； ②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC， 由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x）， ∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x）， ∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4， ③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M， 此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG， 由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4， ∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x， ∴BM＝4﹣x 在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x）， ∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x）， ∴S＝（x﹣8）2， 综上，选项A的图像符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 12. 若点A，B，C是上的点，如果，那么的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，分类讨论是解答本题的关键． 分当点A在优弧上时和当点A在劣弧上时两种情况求解即可． 【详解】解：当点A在优弧上时， ∵， ∴， 当点A在劣弧上时， ． 综上可知，的度数是或． 故答案为：或． 13. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：； 再向上平移5个单位长度，得：， 故答案为：． 14. 已知圆锥的高为，底面圆的半径为1cm，则该圆锥的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥表面积的求法，熟知圆锥表面积的计算公式是解题的关键． 圆锥的表面积由底面积和侧面积组成，需先利用勾股定理求母线长，再计算侧面积和底面积，最后求和． 【详解】解：圆锥的母线长 ， 侧面积 ， 底面积 ， 故表面积 ． 故答案为 15. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离与时间的函数关系式为，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____s，才能停下来． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求得s取得最大值时的t值即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，s取最大值， 故汽车最多要滑行，才能停下来． 故答案为：3． 16. 图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具—“碓”，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米，，则点C到水平线l的距离为________分米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形，得到，证明，则，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分米， ∴分米， ∴分米， ∵分米， ∴分米， ∴分米， 故答案为：． 17. 如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形内切圆半径和周长的关系，勾股定理，坐标类规律探索，熟练掌握以上知识点，得出每滚动3次为一个循环是解题的关键．设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，根据勾股定理求得，可求得内切圆的半径为1，因此的坐标为，然后根据三角形内切圆的性质，可知，，，四边形是正方形，得到，进而得到，，结合，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为1，然后计算、、的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案． 【详解】解：设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，如图， 点是内切圆的圆心， ，，，，， 四边形是正方形， ， ，， ，， 在中，， 内切圆的半径， 点坐标为， ， ，， ，即点到三边距离都相等， 每次滚动后圆心的纵坐标都为1， 第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为； 第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为； 每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加， ， 点的横坐标为：， 则点的坐标为， 故答案为：． 18. 如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④． 【详解】解：如图：连接， ∵是的中点， ∴ ∴，即①正确； ∵是直径， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴,即②正确； 在和, ， ∴， ∴,即, ∴，即, ∴, ∵， ∴，即③正确； 如图：假设半圆的圆心为O，连接， ∵，，是的中点， ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，即是菱形， ∴， ∵， ∴，即，解得：, ∴， ∵ ∴，即④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．原式利用绝对值的代数意义，二次根式运算法则，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简原式，再求出a的值，代入化简结果即可求出答案． 【详解】解： ． ． 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则和牢记特殊角的三角函数值，本题属于基础题型． 21. 在中，，a，b，c分别是，，的对边，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余求得度数，根据正切的定义求得，再根据正弦的定义求得，即可求解． 【详解】解：因为，，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 22. 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，连接，根据题意可得为圆的直径，利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， 为圆的直径， ∴， 由勾股定理得， 又∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 23. 已知二次函数． （1）当时，求函数图象与x轴的交点坐标． （2）若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）这样的实数不存在，见解析 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． （1）把代入，得二次函数，求出当时，x的值即可求出结论； （2）因为，所以该函数图象与轴必有交点，即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时，二次函数， 当时，， 解得：， ∴函数图象与x轴的交点坐标； 【小问2详解】 解：因为， 所以该函数图象与轴必有交点， 若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在． 24. 如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿和的长度相等，是它们的中点，，，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设与都是线段），且，点离地面的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得，他要求实际支撑高度为，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：，） 【答案】这款马扎不能符合他的要求 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，过作的垂线交于，交于，根据题意可得，，， ，根据等腰三角形的性质得出，证明，从而得出，算出，，再根据勾股定理算出，从而算出，即可求解； 【详解】解：连接，过作的垂线交于，交于， 根据题意可得，．，， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴点E在上， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这款马扎不能符合他的要求． 25. 综合与实践 [素材1]在河面上建一座桥，现测得桥下水平面的宽度为，有两种方案可供选择： 方案1：如图1，建设成拱顶高出水平面的圆弧形桥梁； 方案2：如图2，建设成拱桥的最高点离水平面距离为的抛物线形拱桥． [素材2]已知在这条河流中通航的最大货船宽，船舱顶部为矩形并高出水平面． [问题解决] （1）求出方案1中圆弧形拱桥的半径； （2）为了保证河流的正常通航，请通过计算说明应该选择哪个方案． 【答案】（1） （2）选择方案一，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，设，则．由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则，求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得到结论；方案二：求出抛物线的解析式，再求出函数值为5时自变量的值即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由题意得， ， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ∴， 解得． 此圆弧形拱桥的半径为． 【小问2详解】 解：方案一：如图所示，是此圆弧所在圆的一条弦，且，到水平面的距离为，连接，设交于E，则， ∵， ． ． 在中，由勾股定理得， 货船能顺利通过这座拱桥． 方案二：设抛物线解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线解析式 当时， 解得 ∵， ∴货船不能顺利通过这座拱桥． 综上所述，应该选择方案一． 26. 项目式学习 我校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为30元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如表： 玩具店 A B C D E 销售单价/元 35 45 55 65 75 日销售量/个 65 55 45 35 25 任务二：模型建立 （1）观察发现，该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为______； 设日销售利润为（元），则该益智玩具的日销售利润与销售单价之间的函数关系式为______； 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为100元，该玩具店老板想要每天获得900元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）；； （2）该益智玩具的销售单价应定为50元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，从而求出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为，然后通过即可求解； （）设该益智玩具的销售单价应定为元，由题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：（）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， ∴， 故答案为：；； （）设该益智玩具的销售单价应定为元， 由题意得，， 整理得， 解得，， ∵尽快减少库存， ∴， 答：该益智玩具的销售单价应定为元． 27. 如图，以的边为直径作．点D在劣弧上，是的切线，分别连接、、，其中交于点E，延长交于点F，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积； （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于可得出，进而可得出，结合已知条件可得出，进一步即可证明是的切线． （2）连接，由切线的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，由等腰三角形的性质可得出是的垂直平分线，再证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再根据三角形的面积公式求解即可． （3）根据题意设， (k为非零常数) 则， ，由同角的余角相等得出即，．则可得出，进一步即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． 即， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 如图， 连接， ∵是的切线， ∴ 由(1)知， ∵， ， ∴， ∴． ∴是的垂直平分线， ∴， 弧弧， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴ 在中， ， ∴， 【小问3详解】 由(2)得 ∵， 设， (k为非零常数) 则， ∴在中， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定已知性质，切线的判定以及性质，等腰三角形的性质，切点的性质等知识点，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 28. 定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图1，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线与抛物线与轴有相同的交点，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，且点的坐标为，抛物线的解析式为． （1）求M，N两点的坐标； （2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由． （3）如图2，若有一组成“月牙线”的抛物线，它们的解析式分别为，，为轴上一点，过任意作一射线分别交和于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过作直线的垂线，垂足为，是否存在这样的点，使，恒成立？若存在，求出点的坐标，并探究是否为定值，说明理由． 【答案】（1），； （2）存在，的面积的最大值为； （3）存在，，是定值，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）把代入，再解方程可得答案； （2）如图，连接、、、，由抛物线和抛物线与轴有着相同的交点，并且开口方向相同，可设抛物线的解析式为：，再求解抛物线的解析式为，可设点的坐标为两条，再建立函数关系时，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，，可得，，结合，可得，设，证明，即符合题意；设的直线为，可得，解得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：在抛物线的解析式中， 当时，， ， ， 解得，，， 点在点的左边， ，； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 如图，连接、、、， 抛物线和抛物线与轴有着相同的交点，并且开口方向相同， 可设抛物线的解析式为：， 抛物线与轴的交点为， ， ， 抛物线的解析式为， 可设点的坐标为， ， ， 根据二次函数的图象和性质知，当时，即点的坐标为时，的面积有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：设，， ， 直线， ，则， ， ， 整理得：， 由恒成立，则方程的解与无关， ，解得：， ， 设， ， 直线， ， ， ，即符合题意； ，，， 设的直线为， ，解得：， 同理为， ，解得：， ， 整理得：， ， ，则， ，， ． 【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与图形面积问题，勾股定理的应用，二次函数与线段比值为定值问题，本题难度大，对学生要求高，灵活选用合适的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $