第一章因式分解期末综合训练题2025-2026学年鲁教版（五四 制）八年级数学上册

第一章因式分解综合训练 一、单选题 1．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美．现将因式分解，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．怀化游 C．美我怀化 D．爱我怀化 3．因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 5．若能因式分解为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．7 6．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 9．下列分解因式中错误的是（   ） A． B． C． D． 10．下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．当 时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解． 12．若，则 ． 13．因式分解： ． 14．多项式的公因式是 15．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 16．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 三、解答题 17．分解因式： (1)； (2)． 18．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是 ； (2)若分解，则需应用上述方法 次，结果是 ； (3)分解因式：． 19．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：． 原式． 例2若，利用配方法求M的最小值；； ∵， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，求的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 通过观察表达式，发现与相等，因此两项均含有公因式． 【详解】解：， ∴ 原式． ∵ 两项都含有因式， ∴ 公因式是． 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，通过提取公因式和平方差公式将表达式因式分解，得到四个因式，分别对应给定的汉字，组合后得到密码即可． 【详解】解： ， 对应汉字：爱，我，化，怀， ∴组合后的密码为“爱我怀化”， 故选：D． 3．D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将代数式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数 a 的值． 【详解】解：∵， 又∵能因式分解为， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此判断各选项是否符合定义． 【详解】解：A、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； D、这是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 7．D 【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．D 【分析】本题考查平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项分解因式正确，不符合题意； B、，故此选项分解因式正确，不符合题意； C、，故此选项分解因式正确，不符合题意； D、，故此选项分解因式错误，符合题意； 故选：D． 10．C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了因式分解的公式法的应用，准确分析判断是解题的关键． 多项式能利用完全平方公式分解时，需满足常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍，根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】完全平方公式的形式为， 多项式需与该形式匹配， ， 解得， 代入一次项系数关系，得或； 当时，多项式为，符合题意； 当时，多项式为，符合题意； 故答案是：． 12．16 【分析】本题考查了平方差公式，已知式子的值求代数式的值． 将利用平方差公式分解为，代入已知条件，再化简整个表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：16 13． 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．观察各项有公因式，提取后剩余部分根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：原式． 故答案为： 14． 【分析】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 15．10 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，因式分解，将变形得，求得，的值，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：将变形，得，可得，． ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形； 所以的周长． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法和公式法因式分解． （1）先将原式变形为，再提取公因式，然后运用平方差公式分解因式即可； （2）运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)提公因式法 (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）通过观察每一步提取公因式的操作，判断使用的方法即可； （2）列举第一次、第二次的提取公因式结果，根据规律写出第n次提取公因式的结果即可； （3）先提取公因式，再根据（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法， 故答案为：提公因式法； （2）解： ， ∴需应用提公因式法n次； （3）解： ． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）根据题干方法解答即可； （2）根据题干方法解答即可； （3）根据题干方法解答即可； （4）根据题干方法解答即可； 【详解】（1）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （4）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 20．(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）提取公因式法分解即可； （2）提取公因式法分解即可； （3）利用平方差公式，完全平方公式分解即可； （4）先提取公因式，再运用完全平方公式解答即可． 本题考查了因式分解，灵活选择方法是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 21．(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题考查配方法的应用，涉及平方差公式、完全平方公式及非负数和为零的条件等知识，熟记配方法及相关公式是解决问题的关键 （1）按照阅读材料中的方法直接变形求解即可得到答案； （2）利用配方法恒等变形，再由平方的非负性求解即可得到答案； （3）先利用配方法变形，再由非负数和为零的条件求解，最后由三角形周长公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ， ， ， 解得， ， 的值满足三角形三边关系， ∴的周长为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $