2025-2026学年高一上学期期末模拟练习数学试题（人教B版）

高一数学期末练习卷（解析版） 一、单选题 1．已知集合，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，所以，所以，故选：D． 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据向量的线性运算法则，可得.故选：A. 3．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 【答案】D 【详解】样本数据1，2，2，2，3，5的平均数为，极差为4，中位数为2， 去掉1和5后的数据的平均数为，极差为1，中位数为2，故平均数和极差都发生变化，中位数不改变， 由于去掉1和5后，数据的波动性更小，故相比较于原数据，方差变小，故ABC错误，D正确故选：D. 4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数为幂函数，所以，解得或， 又为为增函数，则，故恒过定点.故选：C. 5．已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（   ） 甲 乙 7  9  8 5  7  9 3  4  6 2 0 1 2 3 7  8  5 1  1  3 2  0 1  0 A．37 B．38 C．39 D．40 【答案】D 【详解】甲组数据从小到大排列为7，8，9，15，17，19，23，24，26，32共10个数据， 所以中位数为，所以， 乙组数据从小到大排列为5，7，8，11，11，13，20，22，30，31共10个数据， 又，所以乙组数据的分位数为22，所以， 所以.故选：D. 6．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 又， 因为在上单调递增，且，所以，即， 综上可得. 故选：A 7．已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（    ） A．4 B．2 C． D．0 【答案】D 【详解】解：因为函数是上的奇函数，所以. 又对任意，都有成立， 令，得，即， 所以，则， 所以，则，故， 所以.故选：D 8．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，所以，， 所以，为直线与曲线的交点的横坐标， ，则， 则为直线与曲线的交点的横坐标，如下图所示： 函数与的图象关于直线对称，联立，可得， 所以，直线与直线交于点， 由图象可知，点、关于点对称，所以，，可得. 故选：D. 二、多选题 9．从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（   ） A．A与B是互斥事件 B．事件A与B相互独立 C．B与C是互斥但不对立事件 D．事件A与C相互独立 【答案】BD 【详解】对于选项A，事件为“第一次取出的数字为”，事件为“第二次取出的数字为奇数”. 第一次取到并不影响第二次取到奇数，这两个事件是可以同时发生的，比如第一次取，第二次取或或. 所以与不是互斥事件，A选项错误.   对于选项B，，因为从这个数字中第一次取到的概率是. ，第二次取到奇数（、、）的概率是. ，即第一次取且第二次取奇数的概率. 因为，满足相互独立事件的条件. 所以事件与相互独立，B选项正确.   对于选项C，事件为“第二次取出的数字为奇数”，事件为“两次取出的数字之和等于”. 当第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到；第二次取到，第一次取到时，与是可以同时发生的. 所以与不是互斥事件，C选项错误.   对于选项D，，，两次取数之和等于的情况有、、、、、共种，总情况有种. ，而，满足. 所以事件与相互独立，D选项正确.   故选：BD. 10．已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【详解】令，可得，故A正确； 令，可得，令，可得，则，故B正确； 由，可得，令，则，令，可得，令，则，所以是奇函数，即是奇函数，故C正确； 因为，所以不是偶函数，故D错误． 故选：ABC． 11．已知函数，若关于的方程有四个不相等的实根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】BC 【详解】由题设，， ∴， ∴，可得函数图象如下： 要使有四个不相等的实根，即与有4个交点， 由图知：. 故选：BC 三、填空题 12．已知，，则 . 【答案】 【详解】， ，所以. 故答案为： 13．若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为 【答案】 【详解】易知在定义域上是增函数， 由复合函数单调性可知在区间上是增函数， 所以解得，且，解得， 综上可知，a的取值范围为. 故答案为： 14．已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当，即，又，所以，时，等号成立. 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知集合． (1)若，求； (2)“若，则”是真命题，求a的取值范围． 【详解】（1）因，则， 而或， 故或； （2）因“若，则”是真命题，故， 由或， 则有，解得， 所以a的取值范围为. 16．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）.其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.参考数据：. (1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？ 【详解】（1）当总质比为230时，， 即A型火箭的最大速度为. （2）A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍， 所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为， 由题意，得 ， 因为，所以， 即，所以不小于T的最小整数为45． 17．已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)若对，求的取值范围. 【详解】（1）， 因为函数为奇函数，所以， 即，即， 所以，所以， 所以，解得； 此时，定义域为，满足题意， 故. （2）， 由，得， 所以， 则， 故只需即可， 令，则， 则， 令， 令， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以. 18．某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得． 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，平均成绩为77.5 （2）由（1）知，成绩在的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为， 在中随机抽取了人，记为， 从5人中随机抽取2人的样本空间为：， 共10个样本点， 设事件“至少有1名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以至少有1名学生的成绩在内的概率． （3）若首场甲乙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲乙比赛甲胜，甲丙比赛甲胜，概率为， ②甲乙比赛甲胜，甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜的概率为 ③甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，乙甲比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为； 若首场甲丙比赛，则甲获胜有三种情况： ①甲丙比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为， ②甲丙比赛甲胜，甲乙比赛乙胜，乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜的概率为 ③甲丙比赛丙胜，丙乙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 若首场乙丙比赛，则甲获胜有两种情况： ①乙丙比赛丙胜，丙甲比赛甲胜，甲乙比赛甲胜的概率为 ②乙丙比赛乙胜，乙甲比赛甲胜，甲丙比赛甲胜的概率为 所以最终甲获胜的概率为， 因为， 所以首场由甲乙比赛才能使甲获胜的概率最大． 19．已知函数为偶函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由题意时，，， ，故． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， ，显然，，解得或， 又且，所以． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下 ， 在上只有一个零点， 令，则，即关于的方程只有一个正实根， 令， ①当时，，满足条件； ②当时，函数的图象是开口向上的抛物线，又， 所以方程有一正一负两根，满足条件； ③当时，函数的图象是开口向下的抛物线，又， 时满足题意，解得， 故实数的取值范围为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学期末练习卷 一、单选题 1．已知集合，则=（　　） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．有一组样本数据1，2，2，2，3，5，去掉1和5后，相较于原数据不变的是（　　） A．平均数 B．极差 C．方差 D．中位数 4．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 5．已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图．若甲组数据的中位数为a，乙组数据的分位数为b，则的值是（   ） 甲 乙 7  9  8 5  7  9 3  4  6 2 0 1 2 3 7  8  5 1  1  3 2  0 1  0 A．37 B．38 C．39 D．40 6．已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（    ） A．4 B．2 C． D．0 8．已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．从这六个数字中，每次任意取出一个数字，有放回地取两次，设事件A为“第一次取出的数字为2”，事件B为“第二次取出的数字为奇数”，事件C为“两次取出的数字之和等于7”，则（   ） A．A与B是互斥事件 B．事件A与B相互独立 C．B与C是互斥但不对立事件 D．事件A与C相互独立 10．已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 11．已知函数，若关于的方程有四个不相等的实根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 三、填空题 12．已知，，则 . 13．若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为 14．已知，，，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知集合． (1)若，求； (2)“若，则”是真命题，求a的取值范围． 16．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）.其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s.参考数据：. (1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？ 17．已知函数. (1)若函数为奇函数，求的值； (2)若对，求的取值范围. 18．某中学高一年级举行了数学素养知识竞赛，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并估计高一年级初赛的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙、丙三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场的比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛相互独立．请通过计算说明哪两人参加首场比赛甲获胜的概率最大． 19．已知函数为偶函数． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $