精品解析：辽宁省抚顺市六校协作体2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度上学期“抚顺六校协作体”期末考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李巍 李正星 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数解析代入计算即可. 【详解】由条件可得：， 所以， 故选：D 2. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原命题为假，则命题的否定为真，再由二次不等式的判别式建立不等关系，解出实数的取值范围. 【详解】设：存在，使得，为假命题， 则：，，为真命题. 所以，所以. 故选：C. 3. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式性质证明选项B正确，选项D错误，其他选项举反例逐一排除即可. 【详解】对于选项A：当，得到故选项A错误， 对于选项B：∵，∴，又∵，∴.选项B正确 对于选项C：当时，，选项C错误 对于选项D：因为，所以，故，故，选项D错误. 故选：B. 4. 星等是天文学上对星星明暗程度的一种表示方法，可分为两种：目视星等与绝对星等．它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为到地球的距离（单位：光年）．现在地球某处测得1号星的绝对星等为，目视星等为；2号星绝对星等为，目视星等为．则1号星与2号星到地球的距离之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设1号星到地球的距离为，2号星到地球的距离为，得到方程，两式相减得到答案. 【详解】设1号星到地球的距离为，2号星到地球的距离为， 所以，，两式相减可得 ，则， 所以. 故选：B． 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合一元二次不等式的求解化简集合，根据分式不等式的求解化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由得，解得， 故， 由，解得， 故， ∴. 故选：D. 6. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数知道底数，故内层函数为减函数，由复合函数的单调性和对数函数的定义域列出不等式，求得的取值范围. 【详解】∵对数函数中， ∴中，即函数在区间上为减函数，， 令，则在区间上为增函数，即， 解得. 故选：C. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由图中函数的单调性可得方程的两根为2和4，利用根与系数的关系结合列式求得的值，则答案可求. 【详解】由图可知，函数减区间为，增区间为，是单调增函数， ∴函数的减区间为，增区间为， ∴方程的两根为2和4， 又， ，解得. . 故选：D. 8. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 C. 已知甲、乙两门高射炮同时向一目标开炮，若甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.8，则目标被击中的概率为0.44 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义即可求解A，将数据重新排列，即可根据百分位数的计算公式求解B，根据独立事件概率公式以及对立事件的性质求解C，根据平均数以及方差的性质即可求解D. 【详解】对于A, 任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 故 “至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确， 对于B，将数据从小到大排列为， 由于，故70%分位数为，故B错误， 对于C，目标不被击中的概率为， 故目标被击中的概率为，故C错误， 对于D，数据的平均数为2，方差为3， 则数据的平均数为，方差为，故D正确， 故选：AD 10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递减 B. 若，则是奇函数 C. 函数过定点 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由为幂函数，可得，求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为为幂函数， 所以，得或， 对于A，当时，，则在上单调增，所以A错误， 对于B，当时，，则（），因为，所以是奇函数， 当时，，则，因为，所以是奇函数， 所以时， 是奇函数，所以B正确， 对于C，因为，所以， 当时，，所以函数过定点，所以C错误， 对于D，当时，，则，所以D正确， 故选：BD 11. 已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 在定义域上单调递减 C. 是奇函数 D. 若，则不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法求出，可判断选项A；根据函数单调性的定义可判断选项B；根据函数奇偶性、对称性和图象变换可判断选项C；借助函数的单调性及题中条件可判断选项D. 【详解】对于选项A：定义在区间上的函数满足：对任意均有 令，可得，解得，故选项A正确； 对于选项B：由可得 任取、，且，则. 由于当时，，，所以，即，故在定义域上单调递增，故选项B错误； 对于选项C：令，由可得，即，所以，即函数关于点对称.而的图象可由图象向左平移个单位得到，所以函数关于点对称，则是奇函数，故选项C正确； 对于选项D：因为，所以，则不等式等价于 由定义域上单调递增，得，解得，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的图象平移变换、抽象函数的奇偶性和单调性以及抽象不等式的解法.解题关键是：熟练函数奇偶性、对称性知识应用；解答抽象不等式的关键是根据不等式结合函数值情况得到相应不等式，求得结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数满足：（1）定义域为；（2）；（3）在上为增函数.请写出满足上述三个条件的一个函数解析式______（答案不唯一，正确即可）； 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合幂函数的性质即可求解. 【详解】由以及定义域为，可得为偶函数， 故可以为， 为开口向下的二次函数，且满足在单调递增，故符合题意， 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知是奇函数，且当时，，则_____； 【答案】##0.125 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求解即可. 【详解】由，则， 则. 故答案为：. 14. 设表示不超过的最大整数，如，.则函数的零点为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点问题转化为方程解的问题，然后在拆解为两个函数图像交点问题，数形结合便能得到零点. 【详解】可转化为函数与的交点横坐标， 画出与的图像，如下， 显然只有一个交点M，令，解得或（舍去）， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，根据交集、补集的知识来求得正确答案. （2）根据充分、必要条件的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 因为， ， 或， 所以或. 【小问2详解】 若是的充分条件，则， 因为， 所以，解得， 若是的必要条件，则， 所以，解得， 综上的取值范围为. 16. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①，②，③. （1）请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由： （2）根据所给信息求出函数的解析式； （3）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）. 【答案】（1）选模型③ （2） （3）37分钟 【解析】 【分析】（1）根据幂函数，指数型函数以及对数型函数的图象性质即可求解， （2）代入，即可联立方程求解， （3）根据对数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③. 【小问2详解】 所求函数过点，， 则，解得， 故所求函数为 经检验，当时，，符合题意. 综上所述，函数的解析式为. 【小问3详解】 ∵每天得分不少于分，∴，即， ∴，即， ∴至少需要锻炼37分钟. 17. 已知，，且. （1）求的最小值： （2）求的最小值； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式的乘“1”法即可求解， （2）根据指数幂的运算，结合基本不等式即可求解， （3）根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以 因为，，所以，， 所以， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为， 所以. 当且仅当时，即时等号成立， 所以的最小值6. 【小问3详解】 因为，即，因为，，所以， 所以 整理有：， 因为，所以，， 所以， 即，当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】（1），，中位数约为70.5 （2） （3）平均数为80，方差为37.5 【解析】 【分析】（1）根据频率的性质以及频率之和为1即可求解，即可根据中位数的计算公式求解， （2）根据分层抽样比，结合列举法列举所有基本事件，即可根据古典概型的概率公式求解， （3）根据平均数以及方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以， 解得 又，解得 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 因此中位数落在区间内， 设中位数为，则，解得. 故估计这次竞赛成绩的中位数约为70.5. 【小问2详解】 第四组的抽取人数为4，设所抽取的人为， 第五组的抽取人数为2，设所抽取的人为， 则从中随机抽取两名学生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况， 记事件“抽取的两名学生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况. 所以 【小问3详解】 由，得：. 又， 所以：. 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 所以 即：. 方差： 故剩余8个分数的平均数为80，方差为37.5. 19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）分别求函数，的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶函数的定义化简得，结合已知条件解方程得到结果； （2）通过定义法的步骤证明函数的单调性即可； （3）由单调性求出在上值域，通过与的关系，设后整理得解析式并求出其值域.通过讨论参数的范围分别写出函数在的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组后解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数，则有②， 由①-②得到，所以 由①+②得到，所以. 【小问2详解】 取任意，且， 则 ； 易知当时，，，所以，即； 因此在上单调递增. 【小问3详解】 因为对任意的，总存在，使得， 所以在上的值域是在上值域的子集. 设在上的值域为集合A， ∵是增函数，故时，， 令，则，所以， 所以.函数的对称轴为， ①当时，，， 即. 所以，解得. 当时，，，， 因，所以， 解得. 当时，，， ， 所以，解得. 综上所述： 【点睛】方法点睛：对任意的，总存在，使得，即是在上的值域是在上值域的子集.在求一个复杂函数的值域是可以将函数进行整理化简，由复合函数的思想，对函数组层求值域，然后得到最后结论.含参的二次不等式值域需要通过对参数进行讨论，然后得出值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期“抚顺六校协作体”期末考试试题 高一数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：李巍 李正星 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 0 C. 2 D. 6 2. 若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 星等是天文学上对星星明暗程度的一种表示方法，可分为两种：目视星等与绝对星等．它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为到地球的距离（单位：光年）．现在地球某处测得1号星的绝对星等为，目视星等为；2号星绝对星等为，目视星等为．则1号星与2号星到地球的距离之比为（ ） A. B. C. D. 5 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 8. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 C. 已知甲、乙两门高射炮同时向一目标开炮，若甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.8，则目标被击中的概率为0.44 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 10. 已知幂函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在上单调递减 B. 若，则是奇函数 C. 函数过定点 D. 若，则 11. 已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 在定义域上单调递减 C. 是奇函数 D. 若，则不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数满足：（1）定义域为；（2）；（3）在上为增函数.请写出满足上述三个条件的一个函数解析式______（答案不唯一，正确即可）； 13. 已知奇函数，且当时，，则_____； 14. 设表示不超过的最大整数，如，.则函数的零点为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围. 16. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系.要求及图示如下：（1）函数是区间上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①，②，③. （1）请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由： （2）根据所给信息求出函数的解析式； （3）求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟.（注：，结果保留整数）. 17. 已知，，且. （1）求的最小值： （2）求的最小值； （3）求最大值. 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人分数恰好来自同一组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 19. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）分别求函数，的解析式； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）设，，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $