精品解析：北京市广渠门中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试卷

北京市广渠门中学2023-2024学年度高二上学期1月月考 数学试卷 第一部分(选择题 共50分) 一、选择题每小题4分，共40.分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 已知等差数列 的前项和为，且，则等于（ ） A. 14 B. 17 C. 23 D. 26 3. 若两条直线与互相垂直，则的值为（　　） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 4. 若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 从数字中先后不放回地取出两个不相同的数，第一个数记为x，第二个数记为y，则 为整数的概率是（ ） A B. C. D. 7. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，直线，为上一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 已知等差数列的前n项和，，下面四个命题中假命题为( ) A. 的公差小于零 B. 集合中的最大元素是 C. 集合中共有11个元素 D. 10. 抛物线的焦点为，准线为.若点满足：以为一边的等边的顶点恰在准线上，则（ ） A. 抛物线上不存在满足要求点 B. 抛物线上有且仅有1个满足要求的点 C. 抛物线上有且仅有2个满足要求点 D. 抛物线上有无数个满足要求的点 二、填空题.(本大题共6小题，共30分) 11. 抛物线的焦点坐标为__________若是抛物线上的点，则点到抛物线的焦点的距离为__________ 12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________. 13. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的大小为___________；直线到平面的距离为___________. 14. 如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，由孟加拉国学者森德拉姆于1934年创立.表中每行每列的数都成等差数列，且第n行从左至右各数与第n列从上至下各数对应相等，第10行第10列的数是______， 记第i行第j列的数， 其中， 则______结果用i，j表示) 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 15. 已知双曲线M：（，），为等边三角形．若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M实轴为的中位线，则双曲线M的离心率为________． 16. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知等差数列的前n项和为 ，等比数列满足是和的等差中项，且 （1）求数列和的通项公式; （2）设数列，求数列的前n项和. 19. 已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：； 条件②：． 20. 2020年是我国网络建设的加速之年.截至2020年底，中国已建成全球最大的网络.为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评.其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地网络发展水平.其中5座受测城市的综合下载速率(单位：)数据如下表： 城市 路段 综合下载速率(单位：) 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （1）从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的概率； （2）甲､乙两家网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察(甲､乙的选取互不影响)，求甲､乙两家运营商中恰有1家选取的城市“综合下载速率”大于800的概率. 21. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，AC=1，BC=CC1=2. （1）求证：； （2）在线段AC1上是否存在一点D，使得与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 22. 已知椭圆E 焦距为 离心率为点. 过点作直线l交椭圆于两点.设直线与直线分别交于两点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）求证：四边形为平行四边形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2023-2024学年度高二上学期1月月考 数学试卷 第一部分(选择题 共50分) 一、选择题每小题4分，共40.分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小. 【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而， ∴. 故选：D 2. 已知等差数列 的前项和为，且，则等于（ ） A. 14 B. 17 C. 23 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出等差数列的通项公式，分别求出求得，或根据等差数列的前项公式求得. 【详解】设等差数列 的公差为，则由题可知，解得. 所以. 所以. 方法二：. 故选：B. 3. 若两条直线与互相垂直，则的值为（　　） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值. 详解】由两直线垂直，可知：，即. 故选：A 4. 若方程 表示双曲线，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的方程，结合双曲线方程的特征列式求解. 【详解】方程 表示双曲线，则，解得或， 所以m的取值范围是. 故选：D 5. 如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，在平行六面体中，， 可得. 故选：A. 6. 从数字中先后不放回地取出两个不相同的数，第一个数记为x，第二个数记为y，则 为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出从数字中先后取出两个不同的数，共有种情况，再求出满足为整数的情况，即可求出为整数的概率. 【详解】从数字中随机取两个不同的数， 则有种选法，有种选法，共有种情况， 则满足为整数的情况如下，当时，或有种情况； 当时，有种情况；当或时，则不可能为整数， 则共有种情况，故为整数的概率是. 故选：A 7. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得是“平面ABC”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】若平面ABC，则共面，故存在实数x，y，使得，所以必要性成立； 若存实数x，y，使得，则共面，则平面ABC或平面ABC，所以充分性不成立； 所以 “存在实数x，y，使得是“平面ABC”的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x，y，使得平面ABC或平面ABC是解题的关键，属于基础题. 8. 已知，直线，为上一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得圆的圆心，半径，根据，得到，结合点到直线的距离公式，求得的最小值，进而求得的最小值. 【详解】如图所示，化简圆的方程为，可得圆心，半径， 因为为圆的切线且为切点，所以， 由勾股定理可得， 所以当最小时，取得最小值， 因为， 所以，即的最小值为. 故选：D. 9. 已知等差数列的前n项和，，下面四个命题中假命题为( ) A. 的公差小于零 B. 集合中的最大元素是 C. 集合中共有11个元素 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，可判定A、D；由等差数列的求和公式和等差数列的性质，得到，，可判定B，C. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，则，， 可得，且，故A，D均为真命题； 又因为， 则，， 由，可知数列当时单调递增，当单调时递减， 所以前12项的和为正，当时为负，所以B为真命题； 满足的的个数有12个，故C为假命题. 故选：C. 10. 抛物线的焦点为，准线为.若点满足：以为一边的等边的顶点恰在准线上，则（ ） A. 抛物线上不存在满足要求的点 B. 抛物线上有且仅有1个满足要求的点 C. 抛物线上有且仅有2个满足要求的点 D. 抛物线上有无数个满足要求的点 【答案】C 【解析】 【分析】假设抛物线上存在满足要求的点，由抛物线的定义可得，再由等边三角形和抛物线的性质求出点坐标即可. 【详解】假设抛物线上存在满足要求的点， 由抛物线方程得，设， 所以， 因为等边的顶点恰在准线上，则， 由抛物线的定义可得，则， 又因为，所以，解得， 所以满足条件的点坐标有两个，分别为和， 故选：C 二、填空题.(本大题共6小题，共30分) 11. 抛物线的焦点坐标为__________若是抛物线上的点，则点到抛物线的焦点的距离为__________ 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得答案. 【详解】由，知，得：， 所以抛物线的焦点坐标为； 由抛物线的定义及知： 则点P到抛物线C的焦点的距离为. 故答案为：；3 12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以双曲线的方程为，故可取， 此时， 所以离心率 故答案为：， 13. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的大小为___________；直线到平面的距离为___________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【详解】如图所示： 在正三棱柱中，，为锐角， 所以为直线与所成的角， 因为， 所以， 作， 因为平面平面ABC，平面平面ABC=BC， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面， 所以AD即为直线到平面的距离， 且， 故答案为：， 14. 如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，由孟加拉国学者森德拉姆于1934年创立.表中每行每列的数都成等差数列，且第n行从左至右各数与第n列从上至下各数对应相等，第10行第10列的数是______， 记第i行第j列的数， 其中， 则______结果用i，j表示) 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据表中的规律可得第行等差数列的公差为，第列等差数列的公差等于，利用等差数列的通项公式先求得，再求得，即可得解. 【详解】根据表中的规律可得第行等差数列的公差为，第列等差数列的公差等于. 所以第1行数组成的数列首项为2，公差为1， 所以通项为， 再根据第列等差数列的首项为，公差等于， 所以． 所以第10行第10列的数是. 故答案为：； 15. 已知双曲线M：（，），为等边三角形．若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为的中位线，则双曲线M的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】 可根据实轴为的中位线，得出，再根据对称性及为等边三角形，表示出的坐标，代入双曲线方程，得到关系式求解离心率. 【详解】实轴长为，则，关于轴对称 不妨设在双曲线左支，则其横坐标为，根据为等边三角形，可得 故，，将的坐标代入双曲线方程有 ，则，则 故 故答案为： 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 16. 已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论： ①的第2项小于3； ②为等比数列； ③为递减数列； ④中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】推导出，求出、的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③. 【详解】由题意可知，，， 当时，，可得； 当时，由可得，两式作差可得， 所以，，则，整理可得， 因为，解得，①对； 假设数列为等比数列，设其公比为，则，即， 所以，，可得，解得，不合乎题意， 故数列不是等比数列，②错； 当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对； 假设对任意的，，则， 所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导. 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，利用线面垂直的判定定理证明平面； （2）以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）∵平面，∴. 又，，∴ ∵，∴平面； （2） 以A为原点，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 显然为平面ABCD的一个法向量. 设为平面PCD的一个法向量.,则： ，即不妨设y=1，则 设二面角的平面角为，由图示可知为锐角， 所以. 即二面角的余弦值为. 【点睛】立体几何解答题的基本结构： (1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理； (2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 18. 已知等差数列的前n项和为 ，等比数列满足是和的等差中项，且 （1）求数列和的通项公式; （2）设数列，求数列的前n项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列求和公式求出，进而求出公差及通项；再求出数列的首项及公比，进而求出其通项. （2）由（1）求出，再由分组求和法及公式法求和即得. 【小问1详解】 在等差数列中，，即， 又，则，等差数列的公差， 因此等差数列的通项公式为； 由是和的等差中项，得，由， 得，则，等比数列的公比， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以 . 19. 已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点． （1）求圆C的方程； （2）若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值． 从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：； 条件②：． 【答案】（1） （2）选择见解析，或 【解析】 【分析】（1）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可. （2）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值. 【小问1详解】 设圆心坐标为，半径为. 由圆的圆心在直线上，知：. 又∵圆与轴相切于点， ∴，，则. ∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为. 【小问2详解】 如果选择条件①：，而， ∴圆心到直线的距离，则，解得或. 如果选择条件②：，而， ∴圆心到直线的距离，则，解得或. 20. 2020年是我国网络建设的加速之年.截至2020年底，中国已建成全球最大的网络.为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评.其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地网络发展水平.其中5座受测城市的综合下载速率(单位：)数据如下表： 城市 路段 综合下载速率(单位：) 福州 五四路 708.92 广州 大学城外/中/内环 817.13 哈尔滨 红军街 630.34 杭州 环城东路 882.60 成都 二环高架 916.02 （1）从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的概率； （2）甲､乙两家网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察(甲､乙的选取互不影响)，求甲､乙两家运营商中恰有1家选取的城市“综合下载速率”大于800的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）写出5座城市中随机选取2座城市的所有可能，找出选取的2座城市“综合下载速率”都大于800的所有可能，根据古典概型公式计算即可； （2）选取的城市“综合下载速率”大于800的概率，选取的城市“综合下载速率”不大于800的概率，根据对立事件与互斥事件的概率公式计算即可. 【详解】解：（1）5座城市中“综合下载速率”大于800Mbps的有3座，设为， “综合下载速率”不大于800的有2座，设为. 随机选取2座城市所有可能为：，，，，，，，，，共10种. 其中2座城市“综合下载速率”都大于800的有，，共3种. 设两个城市“综合下载速率”都大于800为事件， 所以 （2）设甲选取的城市“综合下载速率”大于800为事件，乙选取的城市“综合下载速率”大于800为事件，恰有1家运营商选取的城市“综合下载速率”大于800为事件. 依题意，事件， 所以 . 【点睛】1.古典概型的概率求解步骤： （1）求出所有基本事件的个数； （2）求出事件包含的所有基本事件的个数； （3）代入公式求解. 2.基本事件个数的确定方法 （1）列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型； （2）列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法； （3）树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求； （4）运用排列组合知识计算. 21. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，AC=1，BC=CC1=2. （1）求证：； （2）在线段AC1上是否存在一点D，使得与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由直三棱柱中，证得平面，得到，再根据四边形为菱形，得到，利用线面垂直判定定理，证得平面，即可得到； （2）分别以所在的直线轴，建立空间直角坐标系，设上存在一点，且，求得平面的法向量，结合线面角的公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，可得平面， 因为平面，所以平面， 又由平面，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为且四边形为平行四边形，所以四边形为菱形， 所以 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）由（1）知和两两垂直，分别以所在的直线轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，可得， 设上存在一点，且， 则，所以，可得， 因为， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为与平面所成的角为， 可得， 整理得，即，解得或， 故在上存在一点，且或，使得与平面所成角为. 22. 已知椭圆E 焦距为 离心率为点. 过点作直线l交椭圆于两点.设直线与直线分别交于两点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）求证：四边形为平行四边形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意直接求出，即可得到椭圆E的标准方程； （2）设直线l的方程，与椭圆方程进行联立，分别表示出的坐标，通过证明线段与线段互相平分，证得四边形为平行四边形. 【小问1详解】 设椭圆E的焦距为，由题可得，所以. 因为离心率为，所以，所以. 由，得. 所以椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 由椭圆的对称性，可记. 因为，所以 直线的斜率为，直线的方程为； 直线的斜率为，直线的方程为. 由，得； 由，得. 所以线段的中点为. 因为线段的中点为，所以线段与线段互相平分，所以四边形为平行四边形. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 设，因为， 直线的斜率为，直线的方程为； 直线的斜率为，直线的方程为. 由，得，即； 由，得，即. . 由，得. 所以. . 所以线段的中点为. 因为线段的中点为，所以线段与线段互相平分，所以四边形为平行四边形. 综上所述，四边形为平行四边形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $