学易金卷：高一数学下学期第三次月考（广东专用，范围：人教A版必修第二册第6～9章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A C A C B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．11 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以.（5分） （2）若选条件①：. 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以a边不存在，故不存在. （13分） 若选条件②：. 因为，由（1）可知，所以. 同理，得， 所以在中由正弦定理，得，（9分） 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以三角形的周长.（13分） 若选条件③：的面积为. 因为，由（1）可知，所以, 由三角形面积公式，得.（8分） 再由余弦定理，得，即.（10分） 所以，所以. 所以三角形的周长.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）连接，分别是中点，，平面，平面，平面. 在矩形中，是中点，且,是平行四边形，，平面，平面，平面. 又，平面， 平面平面，（4分） 平面， 平面.（6分） （2）过作交于点. 直棱柱中，平面平面，又平面平面，，平面，平面.（9分） ，，又为中点，. . .（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意可知，，解得；（3分） （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得.（6分） （3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人，（8分） 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数，（10分） 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以，（4分） 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以．（5分） （2）连接DN，因为平面ANMD，， 所以为BD与平面ANMD所成角，（7分） 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为．（11分） （3）由已知得，，， ，（13分） 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）猜想：， 证明：因为，所以 ，因为，，所以（4分） （2）①若，，则，， 因为、、三点共线，设， 则，（7分） 因为、、三点共线，设， 则， 因为与不共线，所以，解得， 所以.（11分） ②因为，， 所以，， 所以， 因为、、三点共线，所以， 所以，（14分） 因为，所以，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6章~第9章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，则， 故的虚部为. 故选：D. 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（    ） A．若平面，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，因为平面，，所以平面，又因为， 所以，故A正确； 对于B，若，，则，又因为，所以，故B正确； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则可能与相交，故D错误. 故选：D. 3．如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以， 故选：A. 4．已知点，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，可得， 则向量在向量方向上的投影向量为． 故选：C. 5．中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理得，而， 所以. 故选：A 6．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设原来个数据依次为、、、，则， 因为方差为，则， 即， 所以， 则， 再加入一个数据，则其平均数为， 则这个数据的方差为 . 故选：C. 7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因，平面ABCD，平面ABCD， 则，又因四边形ABCD为矩形，则. 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：， 则外接球的表面积为： 故选：B 8．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，体对角线l满足则， 设l与上下底面成角，则，；    设l与左右侧面成角，则，； 设l与前后面成角，则，. 所以，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 【答案】ACD 【解析】对于A选项，，A对； 对于B选项，因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可知，关于的方程的两虚根分别为、， 由韦达定理可得，可得，故，D对. 故选：ACD. 10．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（    ） A．侧面积为 B．体积为 C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】如图所示， 正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则斜高为， 侧面积为，故A错误； 正四棱台，上底面的中心为，下底面的中心为． 连接，其上、下底面的边长分别为2，4，得． 过点作，使并交与点，侧棱长为2， 则，则有， 则正四棱台的体积，故B正确； 侧面与底面所成角的正切值为，故C正确； 由于，则该棱台的外接球的球心在的延长线上. 设其外接球的球心为G，半径为R，则有， 则有，解得. 故其外接球的表面积为，故D正确. 故选：BCD. 11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿顺时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点.已知平面内为坐标原点，点，点，，且.若点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由点，，，得，解得或， ，当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，因此，，，C错误； ，于是点，A正确； ，B正确； ，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________． 【答案】11 【解析】首先对数据从小到大进行排序：7，8，10，11，12，13，15，17，共有8个数据 ， 所以这个样本数据的第40百分位数为第四位，即11， 故答案为：11. 13．如图，用斜二测画法画出的水平放置的直观图为，且，，则______. 【答案】 【解析】因为，， 由斜二测画法可知，在原图中，且， 则. 故答案为： 14．在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 【答案】 【解析】分别取的中点，连接，， 因为分别为，的中点， 所以∥，∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为P是侧面内一点，且平面， 所以点必在线段上， 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形， 当点为的中点时，，此时最短， 当点在或处时最长， 因为，所以， 因为，， 所以线段长度的取值范围是， 设到平面的距离为，与平面所成角为， 因为，所以由可得， 所以，所以. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件②或③，存在，周长为. 【解析】（1）因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以. （2）若选条件①：. 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以a边不存在，故不存在. 若选条件②：. 因为，由（1）可知，所以. 同理，得， 所以在中由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以三角形的周长. 若选条件③：的面积为. 因为，由（1）可知，所以, 由三角形面积公式，得. 再由余弦定理，得，即. 所以，所以. 所以三角形的周长. 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）连接，分别是中点，，平面，平面，平面. 在矩形中，是中点，且,是平行四边形，，平面，平面，平面. 又，平面，平面平面，平面，平面. （2）过作交于点. 直棱柱中，平面平面，又平面平面，，平面，平面. ，，又为中点，. . . 17．（15分） “2025广州马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由题意可知，，解得； （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. （3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解析】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 19．（17分） 在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；② 【解析】（1）猜想：， 证明：因为，所以 ，因为，，所以 （2）①若，，则，， 因为、、三点共线，设， 则， 因为、、三点共线，设， 则， 因为与不共线，所以，解得， 所以. ②因为，， 所以，， 所以， 因为、、三点共线，所以， 所以， 因为，所以，， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 翼 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[AJ[B][C][D] 7[A][B][C][D] 說 4[A][BJ[C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CI[D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 氧 12 均射 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A B F A D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) M D ----- 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6章~第9章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（    ） A．若平面，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 10．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（    ） A．侧面积为 B．体积为 C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为 11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿顺时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点.已知平面内为坐标原点，点，点，，且.若点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________． 13．如图，用斜二测画法画出的水平放置的直观图为，且，，则______. 14．在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 17．（15分） “2025广州马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 19．（17分） 在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意修改时间和分值、范围，图居中，解答题可居右 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第6章~第9章。注意修改测试范围（根据试卷而定） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（    ） A．若平面，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．中，内角所对的边分别为，若，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 6．已知某4个数据的平均数为6，方差为3，现再加入一个数据8，则这5个数据的方差为（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数．则下列命题是真命题的是（   ） A． B． C． D．若是关于的方程的根．则 10．已知正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，侧棱长为2，则关于此正四棱台的结论正确的有（    ） A．侧面积为 B．体积为 C．侧面与底面所成角的正切值为 D．外接球的表面积为 11．已知对任意平面向量，把绕其起点沿顺时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点.已知平面内为坐标原点，点，点，，且.若点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则（    ） A．点的坐标为 B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据7，8，10，11，12，13，15，17的第40百分位数为________． 13．如图，用斜二测画法画出的水平放置的直观图为，且，，则______. 14．在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，P是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______；与平面所成角的正切值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（15分） 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，分别是棱，，的中点． (1)证明：平面； (2)若，求三棱锥的体积． 17．（15分） “2025广州马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 19．（17分） 在中，，，若是的中点，则；若是的一个三等分点，则；若是的一个四等分点，则 (1)如图①，若，用，表示，你能得出什么结论？并加以证明． (2)如图②，若，，与交于，过点的直线与，分别交于点，． ①利用（1）的结论，用，表示； ②设，，求的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $