精品解析：广东省中山市华辰实验中学2025-2026学年高二上学期开学考数学试题

2025—2026广东省中山市华辰实验中学高二上学期开学考 一、单选题 1. （ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在正方形网格中，已知 ， ， 三点不共线， 为平面 内一定点，点 为平面 外任意一点，则下列向量能表示向量的为（ ） A. B. C. D. 5. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物 ，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得 处、泰姬陵顶端 处的仰角分别是 和 ，在 处测得泰姬陵顶端 处的仰角为，则估算泰姬陵的高度 为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 8. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心， 为球心， 为底面圆的一条直径，若球的半径 ，则下列说法错误的是（ ） A. 球与圆柱的表面积之比为 B. 四面体的体积的取值范围为 C. 若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 D. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 二、多选题 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正四棱柱中，，E、F分别为和的中点，则（ ） A. ，F，B，E四点共面 B. 直线与直线BF所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线BE与平面所成的角为 11. 已知 ，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 为等腰三角形 B. 若，则 为等腰或直角三角形 C. 若 为锐角三角形，若，则 D. 若，， ，则 有两解 三、填空题 12. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 平行于 轴， 与 平行于 轴．已知四边形 的面积为，则原平面图形的面积为________． 13. 已知，则______. 14. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________． 四、解答题 15. 已知函数． （1）求 的最小正周期和单调递减区间； （2）试比较与的大小． 16. 等边三角形 ，边长为2， 为 的中点，动点 在边 上， 关于 的对称点为 ． （1）若 为 的中点，求． （2）求的取值范围． 17. 设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 18. 如图，在正三棱台中，，. （1）证明:. （2）过的平面α交分别于 ，若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，设 中角 ， ， 所对的边分别为 ，， ， 为 边上的中线，已知 且. （1）求边的长度； （2）若，设点 ， 分别为边 ， 上的动点 含端点 ，线段 交 于 ，且 的面积为 面积的，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026广东省中山市华辰实验中学高二上学期开学考 一、单选题 1. （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得. 【详解】. 故选：C. 2. 已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长和面积公式列方程求出，利用弧度数公式求得结果. 【详解】设扇形的弧长为 ，半径为 ， 则且，解得， 则该扇形的圆心角的弧度数为， 故选：D. 3. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断. 【详解】若，则，， 所以“”是“”成立的必要条件， 若，则，， 当，时，，成立，但. 所以，“”不是“”成立的充分条件， 所以“”是“”成立的必要不充分条件， 故选：B. 4. 如图，在正方形网格中，已知 ， ， 三点不共线， 为平面 内一定点，点 为平面 外任意一点，则下列向量能表示向量的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据 ， ， ， 四点共面，可知存在唯一的实数对，使，结合图形可得 的值，即可得到答案； 【详解】根据 ， ， ， 四点共面，可知存在唯一的实数对，使． 由图知 ， ， 故， 故选：C. 5. 泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物 ，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得 处、泰姬陵顶端 处的仰角分别是 和 ，在 处测得泰姬陵顶端 处的仰角为，则估算泰姬陵的高度 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设可得，应用正弦定理求得，进而求 . 【详解】由题设且，在 测得泰姬陵顶端 处仰角为， 所以，则， 所以，故. 故选：A 6. 已知正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正四面体的所有棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，将异面直线的夹角转化为共面直线EF与CE的夹角，在中，利用余弦定理求解. 【详解】 取AD中点F，连接EF,CF， 正四面体ABCD中，棱长为2，E是AB的中点，则 , , 异面直线BD与CE所成角，即为EF与CE所成角即 , 等边 中， ，同理 , 中， , 故选：A 【点睛】熟悉正四面体的特点，异面转化为共面，用余弦定理. 7. 已知 为正整数，，，且，则当函数取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正切的差角公式，结合已知条件求得参数 ；再利用辅助角公式化简，根据其最值，求得即可. 【详解】由条件知，则由， 得， 即， 解得 或（舍去）， 则． 因为， 所以． 则当，即时， 函数 取得最大值， 故选：C． 【点睛】本题考查正切的差角公式的应用，对数运算，以及三角恒等变换，涉及正弦型函数取得最值时自变量的求解，属综合中档题. 8. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心， 为球心， 为底面圆的一条直径，若球的半径 ，则下列说法错误的是（ ） A. 球与圆柱的表面积之比为 B. 四面体的体积的取值范围为 C. 若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 D. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】A.由球的半径为 ，得到圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为，再分别利用球表面积和圆柱的表面积公式求解判断；B.根据四面体的体积等于求解判断；C.根据点 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设 在底面的射影为，得到，设，，由求解判断；D.过 作于 ，设 到平面 的距离为，平面 截得球的截面圆的半径为，由求解判断. 【详解】由球的半径为 ，可知圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为，则球表面积为，圆柱的表面积，所以球与圆柱的表面积之比为，故 正确； 由题可知四面体的体积等于，点 到平面的距离，又，所以，故B正确； 由题可知点 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上， 设 在底面的射影为，如图所示： 则， 设，则， 所以 ，所以，故C正确. 过 作于 ，如图所示： 则由题可得， 设 到平面 的距离为，平面 截得球的截面圆的半径为， 则， 所以平面 截得球的截面面积最小值为，故D错误； 故选：D 二、多选题 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由二倍角的余弦、正弦公式可判断AC选项，由二倍角的正切公式可求出的值，进而判断D选项，由两角和与差的正弦可判断B选项. 【详解】解：A选项：由二倍角的余弦公式可知：，故A正确； B选项：，故B不正确； C选项：，故C正确； D选项：，解得：，又，所以，故D正确； 故选：ACD. 10. 如图，正四棱柱中，，E、F分别为和的中点，则（ ） A. ，F，B，E四点共面 B. 直线与直线BF所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线BE与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点 ，可证得四边形为平行四边形，即可判断A；因为，所以或其补角为直线与直线BF所成的角，求解可判断B；取的中点 ，利用线面垂直的判定定理可得平面，即可判断C；由 平面 ，得BE与平面ABCD所成的角为∠EBC，且，又平面 平面，即可判断D． 【详解】设， 对A选项，如图，取的中点 ，连接， 又E、F分别为和的中点，∴GE∥DC∥AB，且GE＝DC＝AB， ∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG∥BE，AG＝BE， ∵AF∥，AF＝，∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，F，B，E四点共面，故A正确； 对B选项，∵四边形为平行四边形，∴， ∴或其补角为直线与直线BF所成的角， ∵，∴， ∴直线与直线BF所成的角为 ，故B错误； 对C选项，取的中点 ，连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形，四点共面， ∵四边形为正方形，∴， ∵平面，平面，∴， ∵平面， ∴平面，∴直线与平面所成的角为 ，故C正确； 对D选项，∵ 平面 ，∴BE与平面ABCD所成的角为∠EBC， 由题意易知，又平面 平面， ∴直线BE与平面所成的角为 ，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知 ，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 为等腰三角形 B. 若，则 为等腰或直角三角形 C. 若 为锐角三角形，若，则 D. 若， ， ，则 有两解 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质可得或判断A，由正弦定理及正切函数性质判断B，根据正弦函数单调性判断C，由已知两边及一边对角确定三角形个数判断方法判断D. 【详解】， ，或，即 或，故A错误； ，，即 ，由知 ，故 为等腰三角形，故B错误； 为锐角三角形，，由正弦函数的单调性知，故C正确； ， ， ，，故 有两解，故D正确. 故选：CD 三、填空题 12. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 平行于 轴， 与 平行于 轴．已知四边形 的面积为，则原平面图形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，，求得，作出原图形，分析梯形的两底边长与高，利用梯形的面积公式可求得原图形的面积. 【详解】设，，，在四边形 中，， 因为在四边形 中，边 平行于 轴， 与 平行于 轴， 所以，，可得， 设原图形为梯形，在平面直角坐标系中，如下图所示： 则平行于轴，、平行于轴，且，，， 因此，原图形的面积为. 故答案为： . 13. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系式，利用齐次式法求解即可. 【详解】由于，则， 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数，结合周期性，在长为一个周期的区间内求的解即可. 【详解】函数的周期为 ， 由，得， 即，解得， 在长为一个周期的区间上，取，得，当时，， 显然函数 在上单调递减，在上单调递增， 由 在上的值域为，则当时，， 故， 当时，，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数． （1）求 的最小正周期和单调递减区间； （2）试比较与的大小． 【答案】（1），单调递减区间为，． （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用诱导公式将函数变形，再根据正切函数的性质计算可得； （2）根据函数的周期性及单调性判断即可； 【小问1详解】 解：函数 ， 所以最小正周期 由，， 解得， 单调递减区间为，． 【小问2详解】 解：因为， 又，函数在上单调递减， 所以，即 16. 等边三角形 ，边长为2， 为 的中点，动点 在边 上， 关于 的对称点为 ． （1）若 为 的中点，求． （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则表示向量，然后利用向量数量积计算即可； （2）利用已知条件求出 的值，根据 关于 的对称点为 ，得， 然后计算，由于动点 在 上，当时，取最小值，当 与 重合时，取最大值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为 为 中点， 所以. 因为 为 中点， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为等边三角形 ，边长为2， 为 中点 所以 为， 因为 关于 的对称点为 ， 所以， 所以 ， 因为动点 在 上， 所以当时，取最小值，即， 当 与 重合时，取最大值，即， 所以， 所以的取值范围为. 17. 设函数. （1）已知函数是偶函数，求的值； （2）求函数 的值域. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值； (2)首先整理函数的解析式为的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：， 函数为偶函数，则当 时，，即，结合可取，相应的值为. (2)由函数的解析式可得： . 据此可得函数的值域为：. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18. 如图，在正三棱台中，，. （1）证明:. （2）过的平面α交分别于 ，若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）综合应用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）综合应用线面角的概念和线面距的计算方法进行求解. 【小问1详解】 设的延长线交于点 ，因为为正三棱台， 所以为正三棱锥，即，设 的中点为 ，连接，设，则 为的中点， 所以， 又，平面，平面， 所以 平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 连接，设， 因为平面，平面，平面平面，所以. 因为， 平面， 平面，所以 平面，又 平面， 所以平面平面， 过点 作垂直，交于点 ，则平面， 与平面的距离为， 又因为，所以为平行四边形， 所以，，. 由，，可得. 在中，， 利用等面积法得， 又， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，设 中角 ， ， 所对的边分别为 ，， ， 为 边上的中线，已知 且. （1）求边的长度； （2）若，设点 ， 分别为边 ， 上的动点 含端点 ，线段 交 于 ，且 的面积为 面积的，求的取值范围. 【答案】（1） ； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解作答. （2）设，，利用向量的线性运算及数量积运算建立函数关系，再求出函数的值域作答. 【小问1详解】 在 中，由及正弦定理，得， 由余弦定理得：，化简整理得：， 而 ，所以 . 【小问2详解】 设，，由（1）知，，显然， 而 的面积为 面积的一半，即，则， 设，则， 又共线，即存在，使得， 于是，解得，，即， 而，， 因此 ， 又，消去y得， 又，即有 ， 则，有，从而， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $