专题01 空间直线与平面、空间几何体 高频考点分类复习培优讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

该高中数学讲义以“空间直线与平面”“空间几何体”为核心，通过11个高频考点系统构建知识体系，涵盖平面基本性质、空间位置关系、角度距离计算等内容，以考点分类梳理知识脉络，突出空间几何内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础选择（如空间位置关系判断）到综合解答题（如四棱锥体积与线面角计算），培养数学思维与空间观念。每个考点配典型例题，助力学生从理解到应用，支持教师实施分层教学，提升复习效率与精准度。

2025-2026学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 空间直线与平面 空间几何体高频考点分类复习 考点1：平面的基本性质 考点2：空间中的位置关系 考点3：空间中的角度问题 考点4：空间中距离问题 考点5：简单几何体的结构特征 考点6：求表面积、体积 考点7：根据表面积或体积求其他量 考点8：球 考点9： 多面体、旋转体 考点10： 最值、取值范围问题 考点11：解答综合题 考点1：平面的基本性质 1．（24-25高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【答案】B 【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 【解析】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可求解. 【解析】若l与相交，则l与只有一个公共点，故充分性成立， 若l与至多有一个公共点，则l与相交或者，故必要性不成立， 故“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的充分非必要条件， 故选:A 3．（24-25高二上·上海·期中）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为   . 【答案】8 【分析】由直观图作出原图形，为直角梯形，确定出各边长后计算面积即得. 【解析】在坐标系中作出直观图对应的原图形，它是直角梯形，如图. 易得，，， 故原梯形的面积为：， 故答案为：8. 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    【答案】 【分析】根据给定条件，作出截面，利用割补法求解即得. 【解析】在正方体中，直线与直线分别交于， 连接分别与交于点，连接， 则五边形是过M、N、的正方体的截面，      由M为AB中点，N为BC中点，得， ，即，同理，，， ，等腰中，， 则，， ， 所以截面的面积. 故答案为： 考点2：空间中的位置关系 5．（24-25高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【答案】C 【分析】 根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断． 【解析】 ∵直线a和b没有公共点， ∴直线a与b不是相交直线． ∴直线a与b可能是相交直线或异面直线． 故选：C． 6．（24-25高二上·上海·期末）下列命题是假命题的是______. A．不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B．如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 【答案】B 【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质逐项判断即可. 【解析】对A，根据线面平行的判定可知其正确； 对B，平面内的两条直线有可能是平行直线，这条直线也可能和平面不垂直，故B项不正确； 对C，根据面面平行的性质可知其正确； 对D，根据面面垂直的判定定理可知其正确. 故选：B. 7．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】 充分性，以正方体为例，把直线和平面对应正方体的棱和面，举出反例即可；必要性利用线面平行的性质定理和空间平行线的性质判断即可. 【解析】 必要性，若，则存在直线，， 由于，，得， 因为，，所以，必要性成立； 充分性：若平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足， ， 但平面，即，不满足充分性； 所以“”是“”的必要非充分条件； 故选：B.    8．（24-25高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【答案】C 【分析】 由线面垂直的判定定理即可得. 【解析】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直， A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符， 故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 9．（24-25高二上·上海浦东新·期末）设m、n是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题有（    ）个． （1）若，，，则；（2）若，，，则； （3）若，，，则；（4）若，，，，则； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据面面垂直、面面平行的判定定理和性质逐一判断即可. 【解析】对于（1）:若，则，又，则，故（1）正确; 对于（2）:若，则或与相交，故（2）错误; 对于（3）:若，则或与相交，故（3）错误; 对于（4）：根据面面平行的判定定理，， 条件缺乏与相交，故（4）错误， 故选：B 10．（24-25高二上·上海·期末）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是 . （1）BM与ED平行；  （2）CN与BE是异面直线； （3）CN与BM成；  （4）DM与BN垂直； 【答案】（3）（4） 【分析】将正方体的平面展开图还原为正方体，结合空间中直线与直线的位置关系判断计算即可. 【解析】将该正方体的平面展开图还原得到如图所示： 对于（1）：显然是异面直线，故（1）不正确； 对于（2）：在正方体中，,,所以四边形是平行四边形，所以，故（2）不正确； 对于（3）：连接，结合（2）由，所以为异面直线与所成的角，显然 ，所以为等边三角形，所以，故（3）正确； 对于（4）：因为在正方体中，面，且在面内， 所以，又因为四边形是正方形，所以, 因为且在面内，在面内，所以面， 又因为在面内，所以，故（4）正确； 故答案为：（3）（4）. 11.如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面 【答案】C 【分析】当点和点重合时，可判断A；通过线面平行的判定定理，当点为线段的中点时，即可判断B；当点和点重合时，两条线在同一平面内，不是异面直线，可判断C；直线PQ与另一条线所在的平面相交，从而证明这两条线不相交，也不平行即可判断D. 【解析】正方体中，易得平面，因为点在直线上，为线段的中点， 当点和点重合时，平面，，故A正确； 连接、，当点为线段的中点时，为三角形的中位线，即，故B正确； 平面，当点和点重合时，平面，所以直线和在同一平面内，故C错误； 平面，平面，，所以直线始终与直线不相交，且不平行， 所以直线与直线是异面直线，故D正确； 故选：C 考点3：空间中的角度问题 12．（24-25高二上·上海闵行·期末）在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间中线面角的定义即可求解. 【解析】空间内，直线与平面平行或者直线在平面内，此时直线与平面所成角为0， 当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为，故直线与平面所成角的取值范围是, 故选：D 13．（24-25高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为 ． 【答案】 【分析】如图，由题意可得（或其补角）为异面直线与所成角，根据余弦定理计算即可求解. 【解析】如图，取的中点F，连接EF，，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 故（或其补角）为异面直线与所成角. 设正方体的棱长为，在中，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为： 14．（24-25高二上·上海·期末）是边长为a正方体，与所成角的大小 ． 【答案】 【分析】在平面内作出的平行线，通过证明垂直关系即可求出两异面直线的夹角. 【解析】连接，因为且，所以四边形是平行四边形， 所以，因为是正方形，所以， 所以，即与成. 故答案为： 15．（24-25高二上·上海徐汇·期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】利用平面与平面平行的性质定理，得，，求与所成的角的余弦值即为所求. 【解析】设平面平面，因为平面，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海闵行·期末）在正方体中，与所成的角度为的棱或面对角线有 条． 【答案】 【分析】结合异面直线所成角求法，依次判断各条棱与面对角线所成角大小即可得到结果. 【解析】 平面，平面，， 又，都与垂直； 四边形为正方形，， 又，， 与所成角均为； ，，都与垂直； ，与所成角为； ，为等边三角形，， ，，与所成角均为； 综上所述：与所成的角度为的棱或面对角线共有条. 故答案为：. 17．（24-25高二上·上海静安·期末）正三棱锥底面边长为，侧棱长为4，则二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解. 【解析】取的中点，连接， ∵，则， 故二面角的平面角为， 由题意可得：， ∵，且， 故二面角的大小为. 故答案为：. 考点4：空间中距离问题 18．（24-25高二上·上海·期末）点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】当两点在平面的异侧时，利用中点的性质即可求解到平面的距离． 【解析】当两点在平面的异侧时，如图， 所以点到平面的距离为1； 故答案为：1． 19．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，平面的一条斜线l与交于点O，是l在上的投影，是上过点O的另一条直线，若l上一点A到平面的距离为1，l与所成的角的大小为45°，l与所成的角的大小为60°，则点A到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据三垂线定理即可求解为 A到直线的距离，进而根据三角形的边角关系求解长度即可. 【解析】因为是在上的投影，所以就是与平面所成的角， 由于l与所成的角的大小为45°，故， 过作于,过作于点，连接, 依题意可得：，又所以， 又因为平面， 所以平面，     因为平面，所以，故为 A到直线的距离， 在中， ,,所以， 在中，,； 故答案为： 考点5：简单几何体的结构特征 20．（24-25高二上·上海黄浦·期中）给出下列命题，其中是假命题是（    ） A．存在每个面都是直角三角形的四面体 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】D 【分析】 举例即可说明ABC项，根据棱柱的结构特征及概念，即可判断D项. 【解析】对于A，如图，在正方体中，    三棱锥的四个面均为直角三角形，故A正确. 对于B，如图，在三棱锥中，，，，    由，，且，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 同理可得，平面平面，平面平面，故B正确. 对于C，如图，平面平面，平面平面，平面平面，    所以平面，易知，则平面，故C正确. 对于D，根据棱柱的定义可得，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，但是不一定全等，故D错误. 故选：D. 21．（24-25高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【解析】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 22．（24-25高二上·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（    ）    A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形 【答案】B 【分析】根据长方体的结构特征及平面的基本性质，想象一个平面截长方体所得截面的可能情况即可得答案. 【解析】由长方体任意相对的两个平面都平行，用一个平面截取长方体时，相对的两个平面所得的线段必平行，即截面必为平行四边形； 若截面与任意侧面都不垂直时，所得截面不可能出现直角，故不一定为矩形； 所以四边形的形状为平行四边形. 故选：B 考点6：求表面积、体积 23．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面直径为，体积是，则圆锥侧面积等于 . 【答案】 【分析】设圆锥的高为，母线长为，利用圆锥的体积公式可求得该圆锥的高，进而可求得圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可求得该圆锥的侧面积. 【解析】设圆锥的高为，母线长为， 因为该圆锥的底面直径为，则该圆锥的体积为，可得， 所以，该圆锥的母线长为， 所以，该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 24．（24-25高二下·上海·期中）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据展开图和圆锥的关系，可设圆锥的底面半径为，则在展开图扇形中有，求得，再由圆锥的高为，利用面积公式即可得解. 【解析】设圆锥的底面半径为， 则展开图扇形的弧长为，半径为母线长， 所以，， 所以圆锥的高为， 所以. 故答案为：. 25．（24-25高二上·上海崇明·期中）一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算即得. 【解析】由圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，得该圆台的体积. 故答案为： 26．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知圆锥的底面半径为2，侧面积为，则此圆锥的体积为 ． 【答案】 【分析】利用圆锥侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高即可计算得解. 【解析】令圆锥的母线长，高为， 由圆锥的底面半径为2，侧面积为，得，解得，则， 所以圆锥的体积. 故答案为： 27．（25-26高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积. 【解析】设圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为：，即圆锥的底面周长为：， 设圆锥的底面半径是r，高为， 则得到，解得：， 这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高. 所以圆锥的体积为：. 故答案为：. 28．（24-25高二上·上海闵行·期中）设一个圆锥底面的半径和一个球的半径相等，已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则球的表面积等于 . 【答案】 【分析】先依据题给条件求得圆锥底面的半径，再利用球的表面积公式即可求得该球的表面积. 【解析】设圆锥底面的半径为r， 由圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆可得， ，解之得， 则球的半径为1，则球的表面积等于 故答案为： 29．（24-25高二下·上海·期中）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ． 【答案】 【分析】取的中点为，连接，得到，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【解析】如图所示，设正四棱锥的高为，斜高为， 因为正四棱锥的底面边长为，取的中点为，连接，则， 又因为高与斜高夹角为，即， 在直角中，可得，解得， 所以正四棱锥的体积为. 故答案为：. 30．（24-25高二上·上海·期中）一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出球体的半径，可求出正方体的棱长，再利用正方体的体积公式可求得该正方体的体积. 【解析】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，则，可得， 因为，解得， 所以，这个正方体的体积为. 故选：C. 考点7：根据表面积或体积求其他量 31．（24-25高二上·上海长宁·期中）圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可. 【解析】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 32．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，再根据圆锥的表面积公式求出，再利用勾股定理即可得解. 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由于圆锥侧面展开图是一个半圆， 故有， 即圆锥母线长为， 又圆锥的表面积为， 解得，所以， 所以圆锥的高为. 故答案为：. 33．（24-25高二上·上海·期中）已知三棱锥，且两两垂直，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】可根据等体积求解，即，根据三棱锥中，三条侧棱两两垂直，且，即可进行求解. 【解析】设点到平面的距离为 因为两两垂直，且， 所以，，，， 在中，，所以 所以 所以 解得：. 故答案为： 34．（24-25高二上·上海长宁·期中）已知三棱锥的侧棱长均为3，，，，则顶点到底面的距离为 . 【答案】/ 【分析】先利用线面垂直的判定定理得到平面，利用几何关系得到，，然后通过即可求得答案 【解析】 因为，，平面，， 所以平面， 由题意可得， 所以在和中，， 因为，所以是等边三角形，所以，， 所以在中，， 因为，所以， 所以， 设到底面的距离为， 所以即，所以， 故答案为： 35．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面的距离为 ． 【答案】1 【分析】由题意可得线面平行，所求线面距可以转化为求点到面的距离，利用等体积法计算即可得． 【解析】连接、交于点，则为中点，又E为中点， 故，又平面，平面， 故平面，则到平面的距离等于到平面的距离， 则， 在中，，， 边上的高，所以， 设三棱锥的高为， 所以，利用等体积法， 得，解得. 考点8：球 36.（25-26高二上·上海·月考）已知球的体积为，则球的表面积为 . 【答案】 【知识点】球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设球的半径为，利用球的体积公式，列出方程求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设球的半径为，因为球的体积为，可得，解得， 所以球的表面积为. 故答案为：. 37．（24-25高二上·上海·期中）若球的表面积为，球心到平面的距离为4，则平面截球所得圆面面积为 . 【答案】 【分析】设球的半径为，平面截球所得圆的半径，根据题意结合球的性质分析求解. 【解析】设球的半径为，平面截球所得圆的半径， 由题意可得，解得， 所以平面截球所得圆面面积为. 故答案为：. 38．（24-25高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 【答案】或. 【分析】计算截面圆的半径，再计算截面到球心的距离，得到答案. 【解析】设两个截面圆的半径分别为，，则，，，， 两个截面到球心的距离分别为，， 则，， 故这两个平面的距离为或. 故答案为：或. 故答案为：1. 39．（24-25高三上·上海虹口·期中）长、宽、高分别为5、4、3的长方体的外接球的表面积是 ． 【答案】 【分析】根据长方体外接球的性质分析求解. 【解析】由题意可知：长方体的外接球的半径， 所以外接球的表面积是. 故答案为：. 40．（24-25高二上·上海静安·期中）已知球内接正方体的表面积为6，那么球体积等于 ． 【答案】 【分析】先求出正方体的边长，再求出球的半径，直接求体积. 【解析】设正方体的边长为a，则正方体的表面积，解得：a=1. 设正方体的外接球的半径为r，则，所以. 所以球体积. 故答案为： . 41．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在四面体V-ABC中，，，，则该四面体外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出V在平面的射影为的外心,求出四面体外接球的半径，即可求出四面体外接球的表面积. 【解析】∵， ∴V在平面ABC的射影为的外心． 又，，所以的外接圆的半径； ,设四面体外接球的半径为R，． 解得． 所以外接球的表面积为． 故答案为：． 42．（2022·上海徐汇·模拟预测）正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是 ． 【答案】3 【分析】先画出该三棱锥图像，然后利用边角关系求解即可. 【解析】画出正三棱锥的图形如图， 三角形的中心为，连接，球的球心在上，连接， 取的中点，连接，则，，， ，所以，，， 底面三角形的高为，底面三角形的边长为，，． 故答案为：3 考点9： 多面体、旋转体 43．（24-25高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 【答案】 【分析】根据正二十面体的结构特征，利用条件列出方程求解即可. 【解析】由于正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体， 所以面数为，并且每个顶点处有条棱， 设正二十面体共有个顶点，则棱数为， 由题意可得，解得. 则正二十面体的顶点的个数为 故答案为：. 44．（24-25高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 【答案】B 【分析】折成多面体以后，将其补形为正方体，其体积是正方体的一半，计算即可. 【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②， 所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为， 故    故选： 考点10： 最值、取值范围问题 45．如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】首先连接，，，易证平面平面，从而得到平面，即可得到线段的最小值. 【详解】连接，，，如图所示： 在正方体中， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，且， 所以平面平面. 因为与平面无公共点，所以平面， 当时，取得最小值. 因为 所以的最小值为. 故答案为： 46．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正方体中，，点P在平面内，，求点P到距离的最小值为 . 【答案】 【分析】分别取、的中点、，连接、、、，证明出平面，对于平面内任意一点，过点作分别交、、于点、、，分析可知点到直线的距离等于线段的长，当时，最短，此时点到直线的距离取到最小值，利用等面积法求解即可. 【解析】分别取、的中点、，连接、、、， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为、分别为、的中点， 则且， 所以，四边形为平行四边形， 故且， 平面，平面， 、平面，则，， ，则， 因为，平面， ， 对于平面内任意一点， 过点作分别交、、于点、、， ，， 所以点到直线的距离等于点到直线的距离， 平面，故，所以点到直线的距离为线段的长， ，则是以为直角的直角三角形， 当时，最短，此时点到直线的距离取到最小值. 在正方体中，平面，又平面， 所以，又, 所以， 所以在中由等面积法可得： ，即， 所以到直线的距离取到最小值为， 故答案为：. 47．（24-25高二上·上海·期末）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把面沿展开与在一个平面上如图，连接，则的长度即为的最小值，求解即可. 【解析】由题意知，在几何体内部，但在面内， 把面沿展开与在一个平面上如图，连接， 则的长度即为的最小值， 因为在直三棱柱中，平面， 而平面，则， 因为，则，即， 又平面，则平面， 而平面，所以，即， 因为，易知，所以 所以， 而，， 所以在中，， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 47．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 与所成角的取值范围为 【答案】C 【解析】如图1，平面，所以A是正确的；如图2，的最小值就是，所以B是正确的；如图3，直线在面的投影为，则直线与平面所成角为，则，，所以C是错误的；如图4，与所成角的最小角为，此时，则，与所成角的最大角是直线或与的夹角，此时，所以D是正确.故选C. 考点11：解答综合题 48．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的大小 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）过点作，连接，由题意可证得平面，所以是直线和平面所成角，求解即可. 【解析】（1）连接交于点，连接， 在中，，平面，平面， 所以平面；    （2）因为是正三角形，是的中点，所以， 设的边长为，所以， 因为平面平面，平面平面， 因为四边形是正方形，所以， 所以平面，平面，所以， 所以，， 所以，所以，又因为， ，平面，所以平面， 过点作，连接，平面，所以， 平面，所以平面， 所以是直线和平面所成角， 在，，所以， 所以，所以. 所以，所以直线和平面所成角的大小.    49．（24-25高一下·上海徐汇·期末）如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．        (1)当点为中点时，求证：平面； (2)求证：无论点在边的何处，都有． 【答案】(1)详见解析. (2)详见解析. 【分析】（1）根据中位线平行于底边知，,利用线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明出平面,即可证明出结论. 【解析】（1）点是的中点,当点为中点时， 可得，又平面平面 平面. （2）点是的中点, 又底面，平面,, 又四边形是矩形，又 平面平面, 又平面 又平面, 无论点在边的何处，都有. 49．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，已知，，． (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，首先证明为四棱锥的高，利用解三角形知识求出的长度，然后利用棱锥的体积公式即可求解. （2）取的中点，连接，则，再根据线面垂直的判定定理可证出平面，从而得出为直线与平面所成的角，最后在中，由，即可求出. 【解析】（1）如图所示：    过点作于点， 已知直三棱柱，则平面， 又平面， 则， 又因为，且平面， 所以平面，则为四棱锥的高， 又，， 可得， 则， 所以， 且， 所以四棱锥的体积为：. （2）如图所示：    取的中点，连接，则， 又平面，平面，则， 而，且平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 在中，， 在中， ， 所以，得. 即直线与平面所成的角的大小为. 50．（2023·上海奉贤·统考一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，． (1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积； (2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小． 【答案】(1)证明见解析， (2)或 【分析】（1）借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角形即可，体积借助体积公式计算即可得； （2）根据题意，会出现两种情况，即或，分类讨论计算即可得. 【详解】（1）平面，、平面， 、， 、为直角三角形， 在直角中，， 在直角中，， 在中，有， ，故为直角三角形， 在中，有， 故，故为直角三角形， 故四面体四个面都是直角三角形，即四面体是鳖臑， ； （2）平面，平面， ， 由， 故不可能是直角， 若，则有， 又，、平面，， 故平面，又平面， 故， 是二面角的平面角， ，，，， 所以二面角的平面角的大小为． 若， 同理可得是二面角的平面角， 所以， 所以二面角的平面角的大小为， 综上所述，二面角的平面角的大小为或. 51．（24-25高二上·上海普陀·期中）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）三棱锥体积最大时为到的距离最大时，最大为半径，然后根据表面积公式求出表面积. （3）反向延长至，是得，则为的最小值. 【解析】（1）   证明：由题意面，面， 则， 由直径所对的圆周角为直角，可得， 又，面，面， 所以平面 （2）要使三棱锥体积最大时，则到的距离最大，最大距离为半径1， 此时，，， 因为， 所以为直角三角形， 所以三棱锥的表面积. （3）如图，将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上， 因为，，，， 由余弦定理得， 所以的最小值为. 51．（20-21高二上·上海宝山·期末）如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E． (1)若F为棱的动点，试确定F的位置，使得平面，并说明理由； (2)若F为棱的中点，求点A到平面的距离； (3)若F为棱上的动点（除端点､外），求二面角的平面角的范围． 【答案】(1)当或时，平面，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出的坐标，根据或得出的坐标，根据得出，即可说明理由； （2）方法一：根据等体积法，设点到平面的距离为，三棱锥的体积，分别求出和代入计算即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式计算即可； （3）建立空间直角坐标系，设，其中，分别求出平面的法向量和平面的法向量，得出，根据的取值范围求出的范围，结合图形，即可得出二面角的平面角的范围． 【解析】（1）当或时，平面，理由如下： 由直线BD与平面所成角为30°，可知， 又因为，所以， 又因为，所以， 过点作，垂足为，如图所示，则， 所以，， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 当时，， 因为，所以，即， 又因为平面，且平面， 所以平面． （2）由（1）可知，， 方法一： 因为点是中点，所以， 所以，，， 因为，即， 所以， 设点到平面的距离为，三棱锥的体积为， 因为，即， 所以，即点A到平面的距离为． 方法二： 按（1）的方法建系， 因为点是中点，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 所以点A到平面的距离为：． （3）设，其中， 按（1）中方法建立空间直角坐标系， 则，，设平面的一个法向量为， 则即，取则， 设平面的一个法向量为，易得， 则， 因为，所以，所以， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的平面角的范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 空间直线与平面 空间几何体高频考点分类复习 考点1：平面的基本性质 考点2：空间中的位置关系 考点3：空间中的角度问题 考点4：空间中距离问题 考点5：简单几何体的结构特征 考点6：求表面积、体积 考点7：根据表面积或体积求其他量 考点8：球 考点9： 多面体、旋转体 考点10： 最值、取值范围问题 考点11：解答综合题 考点1：平面的基本性质 1．（24-25高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 2．（24-25高二上·上海黄浦·期末）已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（24-25高二上·上海·期中）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，则原梯形的面积为   . 4．（24-25高二上·上海·期中）如图，在边长为2的正方体中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、作与正方体的截面为，则截面面积是 ．    考点2：空间中的位置关系 5．（24-25高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 6．（24-25高二上·上海·期末）下列命题是假命题的是______. A．不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B．如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 7．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 8．（24-25高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 9．设m、n是不同的直线，、是不同的平面，其中真命题有（    ）个． （1）若，，，则；（2）若，，，则； （3）若，，，则；（4）若，，，，则； A．0 B．1 C．2 D．3 10．（24-25高二上·上海·期末）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：其中所有正确的结论序号是 . （1）BM与ED平行；  （2）CN与BE是异面直线； （3）CN与BM成；  （4）DM与BN垂直； 11.如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面 考点3：空间中的角度问题 12．（24-25高二上·上海闵行·期末）在空间内，直线与平面所成角的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 13．（24-25高二上·上海浦东新·期末）在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为 ． 14．（24-25高二上·上海·期末）是边长为a正方体，与所成角的大小 ． 15．（24-25高二上·上海徐汇·期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 16．在正方体中，与所成的角度为的棱或面对角线有 条． 17．正三棱锥底面边长为，侧棱长为4，则二面角的大小为 ． 考点4：空间中距离问题 18．（24-25高二上·上海·期末）点是线段的中点，若到平面的距离分别为和，且在平面的异侧，则点到平面的距离为 ． 19．（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，平面的一条斜线l与交于点O，是l在上的投影，是上过点O的另一条直线，若l上一点A到平面的距离为1，l与所成的角的大小为45°，l与所成的角的大小为60°，则点A到直线的距离为 ． 考点5：简单几何体的结构特征 20．（24-25高二上·上海黄浦·期中）给出下列命题，其中是假命题是（    ） A．存在每个面都是直角三角形的四面体 B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 21．（24-25高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 22．（24-25高二上·上海普陀·期中）如图是长方体被一平面截得的几何体，四边形为截面，则四边形的形状为（    ）    A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．上述三种图形以外的平面图形 考点6：求表面积、体积 23．（24-25高二上·上海·期中）已知圆锥的底面直径为，体积是，则圆锥侧面积等于 . 24．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为 ． 25．（24-25高二上·上海崇明·期中）一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为 ． 26．（24-25高二上·上海崇明·期中）已知圆锥的底面半径为2，侧面积为，则此圆锥的体积为 ． 27．（25-26高二上·上海·期中）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 . 28．（24-25高二上·上海闵行·期中）设一个圆锥底面的半径和一个球的半径相等，已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则球的表面积等于 . 29．（24-25高二下·上海·期中）已知正四棱锥底面边长为，高与斜高夹角为，则它的体积为 ． 30．（24-25高二上·上海·期中）一个正方体的八个顶点都在同一球面上，已知这个球的表面积是，则这个正方体的体积是（    ） A． B． C． D． 考点7：根据表面积或体积求其他量 31．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 32．已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆．则圆锥的高为 ． 33．已知三棱锥，且两两垂直，则点到平面的距离为 . 34．（24-25高二上·上海长宁·期中）已知三棱锥的侧棱长均为3，，，，则顶点到底面的距离为 . 35．（25-26高二上·上海·期中）已知正四棱柱中，，，E为的中点，则直线与平面的距离为 ． 考点8：球 36.（25-26高二上·上海·月考）已知球的体积为，则球的表面积为 .37．（24-25高二上·上海·期中）若球的表面积为，球心到平面的距离为4，则平面截球所得圆面面积为 . 38．（24-25高二上·上海长宁·期中）两个平行平面截一个半径为4的球，得到的截面面积分别为和，则这两个平面之间的距离为 ． 39．（24-25高三上·上海虹口·期中）长、宽、高分别为5、4、3的长方体的外接球的表面积是 ． 40．（24-25高二上·上海静安·期中）已知球内接正方体的表面积为6，那么球体积等于 ． 41．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在四面体V-ABC中，，，，则该四面体外接球的表面积为 ． 42．（2022·上海徐汇·模拟预测）正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是 ． 考点9： 多面体、旋转体 43．（24-25高二上·上海长宁·期中）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数-棱数+面数=，则正二十面体的顶点的个数为 ． 44．（24-25高二上·上海闵行·期中）将3个的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为的正六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（    ）    A． B．864 C．576 D． 考点10： 最值、取值范围问题 45．如图，在棱长为2的正方体中，点P在底面ABCD内，若直线与平面无公共点，则线段的最小值为 . 46．（24-25高二上·上海徐汇·期末）已知正方体中，，点P在平面内，，求点P到距离的最小值为 . 47．（24-25高二上·上海·期末）已知在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，P是上一动点，则的最小值为 ． 47．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是线段上的动点（含端点），则下列说法不正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 与所成角的取值范围为 考点11： 解答综合题 48．（24-25高一下·上海杨浦·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，是正三角形，四边形是正方形，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线和平面所成角的大小 49．（24-25高一下·上海徐汇·期末）如图，为平面外一点，底面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动．        (1)当点为中点时，求证：平面； (2)求证：无论点在边的何处，都有． 50．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱中，已知，，． (1)求四棱锥的体积； (2)求直线与平面所成的角的大小． 51．（2023·上海奉贤·统考一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，． (1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积； (2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小． 52．（24-25高二上·上海普陀·期中）如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点.    (1)求证：平面； (2)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的表面积； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值. 53．（20-21高二上·上海宝山·期末）如图，已知长方体，，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E． (1)若F为棱的动点，试确定F的位置，使得平面，并说明理由； (2)若F为棱的中点，求点A到平面的距离； (3)若F为棱上的动点（除端点､外），求二面角的平面角的范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $