3.4.1 判断空间直线、平面的位置关系(六大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.4.1 判断空间直线、平面的位置关系 分层练习 题型1：平面法向量的概念及辨析 1．已知平面平面，是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 2．已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 3．已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　） A．-1，2 B．1，-2 C．1，2 D．-1，-2 题型2：求平面的法向量 4．已知，，，则平面的一个法向量是 ． 5．已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 6．已知是平面α的一个法向量，点，在平面α内，则 ． 7．已知平面的一个法向量，点，在平面内，则 . 8．在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ． 9．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为．若平面的方程为，则平面的一个法向量为 . 10．已知直线的一个方向向量为，且过点．若平面过直线与点，则平面的一个法向量是 ． 11．放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：平面BHD的一个法向量 ； 12．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量 ． 题型3：利用空间向量判断直线与直线的关系 13．如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.    (1)求证：； (2)求线段的长. 14．在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直 ．(填“是”或“否”) 题型4：利用空间向量判断直线与平面的关系 15．已知点为坐标原点，点，平面的一个法向量为，若，则 . 16．已知直线的方向向量，平面的法向量.若，则 . 17．如图，平面，底面是正方形，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则 . 18．长方体中，，.点为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 19．如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．求证：平面； 题型5：利用空间向量判断平面与平面的关系 20．已知分别是平面的法向量，且，则 . 21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且.证明：平面平面ACE； 22．如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 23．如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面⊥平面． 24．如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 题型6：存在性问题 25．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． (1)证明：； (2)线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由． 26．如图，在棱长为2的正方体中，点M是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥．    (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 一、填空题 1．如图所示，在正方体中，是棱上一点，平面与棱交于点．给出下面几个结论： ①四边形是平行四边形； ②四边形可能是正方形； ③存在平面与直线垂直； ④任意平面与平面垂直； ⑤平面与平面夹角余弦的最大值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 2．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为 ． 3．在平行六面体中，面面，底面为矩形，，，面为菱形，，是的中点，为的中点，问 时，面面． 4．在棱长为1的正方体中,是的中点,分别为线段和上的动点,点为底面上的动点,则到的距离为 ， 的最小值为 . 5．在棱长为的正方体中，，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时， ；满足条件的所有点构成的平面图形的周长为 ． 6．如