3.4.1 判断空间直线、平面的位置关系 （六大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.4.1 判断空间直线、平面的位置关系 题型1：平面的法向量概念辨析 1．平面的法向量 （1）定义： 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个 向量，且表示向量的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个 .此时,也称与平面垂直,记作 . （2）性质： ①如果直线l垂直平面，则直线l的任意一个 都是平面的一个法向量； ②如果是平面的一个法向量，则对任意实数，空间向量 也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都 . 例：已知是平面的一个法向量，那么 平面的一个法向量.（填“是”或“不是”） ③如果是平面的一个法向量，A为平面上一个已知的点，则对于平面内任意一点B，向量一定与向量 ，即 ，从而可知平面的位置可由和A唯一确定. 2．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 ．（写出一个方向向量的坐标） 3．已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 4．已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 6．平面的一个法向量，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 题型2：直线的方向向量与平面的法向量 7．在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ． 8．如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 9．已知平面的一个法向量为，写出一个以为起点，且平行于平面的单位向量的终点坐标为 . 10．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为．若平面的方程为，则平面的一个法向量为 . 题型3：直线与直线、直线与平面的位置关系 11．已知直线的方向向量坐标为，平面的法向量坐标为，且，则 . 12．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 13．已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，则 ． 14．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则 . 15．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 17．在△ABC中，．若向量与平面ABC垂直，且 ，则的坐标为 ． 18．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 题型4：平面与平面的位置关系 19．下列命题中，正确的是 (填序号)． ①若，分别是平面α，β的一个法向量，则∥⇔α∥β； ②若，分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β⇔·＝0； ③若是平面α的一个法向量，与平面α共面，则·＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 20．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面平面，则 ． 21．两平面的法向量分别为，若，则的值是 . 22．已知，，分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对． 题型5：空间位置关系的综合辨析 23．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 24．正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 题型6：解答题 25．如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：面； 26．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 27．已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 28．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 29．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 一、填空题 1．如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 2．已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 . 3．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 4．设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ．    5．在空间直角坐标系中，已知，，，，，，，均在球的表面上.若点在平面内，且，平面，则 ；球的半径为 . 6．如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为 二、单选题 7．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面．若，则　　 A．当 时，平面BPC⊥平面PCD B．当时，平面APD⊥平面PCD C．对任意，直线PA与底面ABCD都不垂直 D．存在，使直线PD与直线AC垂直 8．在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，现有如下说法 ①不存在点，使得平面 ②存在点，使得平面 ③当点不是的中点时，都有平面 ④当点不是的中点时，都有平面 其中正确的说法有（    ） A．①③ B．③④ C．②③ D．①④ 三、解答题 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 10．如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 11．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4.1 判断空间直线、平面的位置关系 题型1：平面的法向量概念辨析 1．平面的法向量 （1）定义： 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个 向量，且表示向量的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个 .此时,也称与平面垂直,记作 . （2）性质： ①如果直线l垂直平面，则直线l的任意一个 都是平面的一个法向量； ②如果是平面的一个法向量，则对任意实数，空间向量 也是平面的一个法向量，而且平面的任意两个法向量都 . 例：已知是平面的一个法向量，那么 平面的一个法向量.（填“是”或“不是”） ③如果是平面的一个法向量，A为平面上一个已知的点，则对于平面内任意一点B，向量一定与向量 ，即 ，从而可知平面的位置可由和A唯一确定. 【答案】 非零 法向量 方向向量 平行 是 垂直 【分析】略 【解析】略 2．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为 ．（写出一个方向向量的坐标） 【答案】（，1，﹣2） 【分析】设直线l的一个方向向量为，根据，列式可得答案. 【解析】设直线l的一个方向向量为， 依题意可知 ，所以， 令，则，， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面的法向量，考查了求直线的方向向量，属于基础题. 3．已知点，，，则下列向量是平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出向量，根据法向量定义，依次验证各选项中的向量与是否都垂直即可. 【解析】由题意知：，， 对于A，，， 与均垂直，是平面的一个法向量，A正确； 对于B，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，B错误； 对于C，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，C错误； 对于D，，与不垂直， 不是平面的一个法向量，D错误. 故选：A. 4．已知平面，其中点，法向量，则下列各点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论. 【解析】对于A，，，故选项A在平面内； 对于B，，，故选项B不在平面内； 对于C，，，故选项C在平面内； 对于D，，，故选项D在平面内. 故选：B. 5．已知点，，都在平面内，则平面的一个法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出法向量，利用向量垂直得到方程组，取求出，与共线的向量也是法向量，得到答案. 【解析】由，，，得，， 设是平面的一个法向量，则即, 取，则，故，则与共线的向量也是法向量， 经验证，只有C正确.. 故选：C． 6．平面的一个法向量，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量，验证选项即可. 【解析】设点在平面上， 因为，所以， 由， 得，依次验证选项，只有满足. 故选：D 题型2：直线的方向向量与平面的法向量 7．在空间直角坐标系中，已知，若平面的一个法向量为，则直线的一个方向向量为 ． 【答案】 【分析】由已知求出，再由平面的一个法向量为，可得，求出，从而可求出直线的一个方向向量. 【解析】， 又平面的一个法向量为，，解得， ∴直线的一个方向向量为． 故答案为： 8．如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断. 【解析】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 9．已知平面的一个法向量为，写出一个以为起点，且平行于平面的单位向量的终点坐标为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】设终点坐标为，写出单位向量，由向量垂直和向量的模得方程组，取方程组的一个解即可（答案不唯一）． 【解析】设终点坐标为，则单位向量为， 则，可取，，，即终点坐标为. 故答案为：（答案不唯一） 10．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为．若平面的方程为，则平面的一个法向量为 . 【答案】 (答案不唯一) 【分析】根据若平面方程为，则为该平面的法向量，从而可得答案. 【解析】因为经过点且法向量为的平面方程为 所以若平面方程为， 则为该平面的法向量， 可化为， 所以平面的一个法向量为， 故答案为：(答案不唯一) 题型3：直线与直线、直线与平面的位置关系 11．已知直线的方向向量坐标为，平面的法向量坐标为，且，则 . 【答案】4 【分析】运用平面向量数量积计算即可. 【解析】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直， 所以，解得. 故答案为：. 12．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 【答案】3 【分析】由线面垂直可得，再结合向量平行的坐标表示运算求解即可. 【解析】因为直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 若，则，可得，解得， 所以. 故答案为：3. 13．已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据空间向量平行的坐标表示，建立方程组，可得答案. 【解析】由题意可得，则，可得，解得. 故答案为：. 14．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则 . 【答案】 【分析】由得出，利用空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【解析】因为， 所以， 则， 所以，整理得：. 故答案为：. 15．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量关系的位置证明再由数量积的坐标表示计算可得. 【解析】由即可得，解得； 故选：B 16．已知直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【分析】利用直线的方向向量与平面的法向量的数量积结果即可判断得解. 【解析】因为，， 所以，则， 又是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 所以或. 故选：D. 17．在△ABC中，．若向量与平面ABC垂直，且 ，则的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意结合空间向量的坐标运算求解. 【解析】根据题意可得：， 设， ∵与平面ABC垂直，则，可得， 又∵，则 解得或， 当时，则； 当时，则； ∴的坐标为或． 故答案为：或. 18．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 【答案】D 【分析】根据向量垂直可得是平面的一个法向量，即可根据向量的位置关系，逐一判断直线与平面的位置关系. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，取的中点为，则平面即为平面, 故与平面相交，故A错误， , 则,, 由于， 故是平面的一个法向量，故平面，故D正确， 由正方体的性质可得与不平行，因此不垂直于平面，C错误， 由于，， 故与法向量不垂直，故与平面不平行，故B错误， 故选：D 题型4：平面与平面的位置关系 19．下列命题中，正确的是 (填序号)． ①若，分别是平面α，β的一个法向量，则∥⇔α∥β； ②若，分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β⇔·＝0； ③若是平面α的一个法向量，与平面α共面，则·＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 【答案】②③④ 【分析】①由面面平行则法向量共线，反之则不然判断；②由面面垂直的定义判断；③由线在垂直的性持定理判断④由面面垂直的定义判断． 【解析】①中平面α，β可能平行，也可能重合，不正确， ②α⊥β，则成90°，由圆的内接四边形对顶角互补知法向量垂直，反之当法向量垂直，则成90°，由内接四边形对顶角互补，知两平面垂直．正确； ③a与α共面，则a在平面内或与平面平行，所以平面的法向量与直线a垂直，正确． ④若两个平面的法向量不垂直，则成角不是90°，则由内接圆的四边形对顶角互补知两平面所成的角不是90°，正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查用向量法来解决面面平行，面面垂直等问题，原理应从几何法角度去理解，才能灵活准确地应用． 20．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若平面平面，则 ． 【答案】 【分析】根据两平面垂直，则法向量垂直，进而由数量积坐标运算求解. 【解析】因为平面平面，所以， 即，解得． 故答案为：. 21．两平面的法向量分别为，若，则的值是 . 【答案】6 【分析】根据可得，由此可求结果. 【解析】因为，所以， 所以， 故答案为：. 22．已知，，分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有 对． 【答案】0 【分析】由数量积公式判断即可. 【解析】因为， ， ， 所以中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直． 故答案为：0 题型5：空间位置关系的综合辨析 23．如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【解析】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 24．正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、、 、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，，且平面，则平面，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，，D错. 故选：B. 题型6：解答题 25．如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和面即可推得面. 【解析】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则 则-           由     可得，得证. （2）设面的法向量为，因    则，令，可得                因，故得，         又面，所以，面. 26．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【解析】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 27．已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【解析】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 28．已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【解析】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 29．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，论证即可； （2）易得向量为平面的一个法向量，再论证即可； （3）易得平面的法向量为，再求得平面的一个法向量为，论证即可. 【解析】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. （2）因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. （3）由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 一、填空题 1．如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【解析】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 2．已知长方体，，，，在上取一点，在上取一点，使得直线平面，则线段的最小值为 . 【答案】 【分析】以为轴建立空间直角坐标系发，写出各点坐标，求出平面的法向量，由向量与平面的法向量垂直可得关系式，从而表示出的模，然后可求得最小值． 【解析】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 设，， 则， 因为直线平面，则， 可得，解得， 则， 可得 当且仅当，时，取得最小值，即的长度的最小值为． 故答案为：． 3．在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 【答案】 【分析】据题意，建立空间直角坐标系，然后根据题意写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据，即可求解. 【解析】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 设，则，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 故答案为：. 4．设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】通过建系，把转换成向量垂直坐标运算，结合存在点，进而转换为方程有解问题. 【解析】    因为在矩形中，平面， 所以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 设，，其中或不符题意， 则，，， 则有， 由，得 即， 若线段上存在点，即方程在有解， 设函数为，，对称轴为， 则方程在有解需满足， 又因为， 所以. 故答案为： 5．在空间直角坐标系中，已知，，，，，，，均在球的表面上.若点在平面内，且，平面，则 ；球的半径为 . 【答案】 / 【分析】根据已知可推得点是的中心，根据重心定理得出点坐标.根据线面垂直列出方程组，求出的值，即可得出.根据已知确定球心的位置，进而根据正弦定理得出即外接圆的半径，然后根据勾股定理列出关系式，求解即可得出答案. 【解析】由已知可得，，，， 所以，，即为等边三角形. 又点在平面内，且， 所以，点为的外心，也是的中心， 所以，点为的重心. 由重心定理可得，，. 又平面， 所以有，即， 解得， 所以，.    如图，由已知可推得，球心在线段上，设半径为，外接圆的半径为. 由正弦定理可得，，则. 又，所以有. 又， 所以有，解得. 故答案为：；. 6．如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内(含表面)的动点，则的取值范围为 【答案】 【分析】设交于点，，分析可知可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面，建系，设点，可得，进而确定截面的形状，整理可得，分析长度的最值即可得解. 【解析】设交于点，且，的中点为， 因为 ， 则，即， 可知点的轨迹是过点且与直线垂直的平面， 如图，以为坐标运算，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，则， 可得，可得， 直线上的点满足，结合可得， 可知直线与平面的交点为， 同理可得：平面与直线的交点依次为 ， 又因为， 注意到，则， 即，可知平面， 当点为与平面的交点时，取到最小值， 可设， 可得，结合可得，即， 则，所以取到最小值， 检验可知：当点为时，取到最大值， 所以取到最大值； 综上所述：的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用空间向量求平面上的点满足的关系式，进而确定平面与正八面体的棱的交点，进而分析求解. 二、单选题 7．在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面．若，则　　 A．当 时，平面BPC⊥平面PCD B．当时，平面APD⊥平面PCD C．对任意，直线PA与底面ABCD都不垂直 D．存在，使直线PD与直线AC垂直 【答案】A 【分析】通过作辅助线，证明平面，从而证明平面BPC⊥平面PCD，可判断A正确；利用反证的方法说明B;根据线面垂直的判定说明C;利用向量的数量积的计算说明D. 【解析】对于A,延长，交于点，连接，则，    是的中点，， ， 又侧面底面，， 平面，可得，平面, 故平面， 平面，平面平面,故A正确； 设平面平面APD和平面PCD的交线为l，平面APD, 故 平面APD，则 ，则 , 若平面APD⊥平面PCD，则平面PCD，则平面PCD， 即有,与题意矛盾，故B错误； 对于C，当时，由于侧面底面，交线为AB, 故直线PA与底面ABCD垂直，故C错误； 对于D，，侧面底面，故侧面, 设 的夹角为 ，假设存在，使直线PD与直线AC垂直， 则 ， 即，，与矛盾，故D错误， 故选：A 8．在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，现有如下说法 ①不存在点，使得平面 ②存在点，使得平面 ③当点不是的中点时，都有平面 ④当点不是的中点时，都有平面 其中正确的说法有（    ） A．①③ B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】 对于①，由当点与点重合时，结合线面平行的判定定理即可判断；对于②，若平面，则，建系利用向量运算即可判断；对于③④，由线面平行，线面垂直的相关知识判断即可. 【解析】对于①，由当点与点重合时，由， 而平面，平面，得平面，故①错误； 对于②，若存在点，使得平面，则， 又，可得， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，，， 则，，，， 则，， ，， 所以，这与矛盾，故②错误； 对于③，当不是的中点时， 由，且面，面，可知面， 又直线为面与面的交线，则， 又面，面，从而可得面，故③正确； 对于④，由③可知，又平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，所以平面，故④正确. 综上，③④正确. 故选：B. 三、解答题 9．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，证，即得平面； （2）由勾股定理证得，即可推得平面； （3）利用（2）结论建系，设，求出相关点和平面法向量坐标，由求出的值，即可判断求解. 【解析】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. （3） 由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，因E是的中点，则， 设，解得，则得,, 设平面的法向量为，则 故可取.由平面可得， 即，解得，即存在点时，满足平面， 此时，. 10．如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，推导出二面角为直角，结合面面垂直的定义可证得结论成立； （2）假设存在，使得直线平面，以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，将的坐标用的表达式表示，设，可得出关于、的方程组，解之可得出结论. 【解析】（1）证明：若，则平面､平面为同一个平面. 连接、，则是中点，是中点， 所以平面与平面重合，平面与平面重合， 由正方体性质可知平面， 因为、平面，所以，，， 为二面角的平面角， 因为，，则，同理可得， 所以，所以，平面平面 （2）解：假设存在，使得直线平面， 以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，故、， 设平面的法向量为，则， 取，得是平面的一个法向量， 取的中点，的中点，连接、，则， 因为，则，同理可知，， 因为，，，则四边形为矩形，所以，， 于是是二面角的平面角， 是二面角的平面角， 是二面角的平面角.于是， 因为，，， 因为，则，所以， 因为，，，、平面， 所以，平面，且， 故，同理， 所以， 因为， ， 所以， 若直线平面，是平面的一个法向量，则， 即存在，使得，则， 因为，可得， 故方程组无解， 所以不存在，使得直线平面. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可. 11．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD. 【分析】对于（1），取AB中点为H，先由条件证得PH⊥平面ABCD，后可得答案. 对于（2），由（1）分析可知AB⊥AC，建立以A为原点的空间直角坐标系，找到平面BEQF，平面PAD法向量，后可得答案. 【解析】（1）证明：取棱AB长的一半为单位长度. 则在中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，根据余弦定理， 得 得，故AB⊥AC. 又PB⊥AC，PB∩AB=B，平面PAB，AB平面PAB，故AC⊥平面PAB. 又平面ABCD，AC⊥平面PAB，则平面ABCD⊥平面PAB. 取AB中点H，连接PH，CH. 因是等边三角形，则PH⊥AB，又PH 平面PAB， 平面ABCD 平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD. 得∠PCH是CP与平面ABCD所成的角. 在直角三角形中，， ，. 故，即为所求. （2）假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD. 如图，以A为原点，分别以为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz， 则， ， 设是平面PAD的法向量，则 ，取. 设，其中. 则 连接EF，因AC∥平面BEQF，，平面PAC∩平面BEQF=EF， 故AC∥EF，则取与同向的单位向量. 设是平面BEQF的法向量， 则， 取. 由平面BEQF⊥平面PAD，知，有，解得. 故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD. 【点睛】关键点点睛：本题涉及线面角，及立体几何中的动点问题.对于（1），关键能在各种线面关系中做出相应线面角的平面角.对于（2），求动平面的法向量时，可利用线面平行关系找到动平面内向量的共线向量. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$