精品解析：贵州省黔西南布依族苗族自治州 兴仁市屯脚镇屯脚中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末练习 九年级数学 练习重点范围：人教版•九年级全部内容 注意事项： 1．本次练习题的总分为150分，练习时间为120分钟． 2．答题练习时，务必将自己的学校、班级、姓名、学号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数学符号是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图． 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是： 故选：C． 3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆外 C. 点P在圆上 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．直接根据点与圆的位置关系进行解答即可． 【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，， ∴点P在圆外， 故选：B． 4. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入求值即可．将点的坐标代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， 代入得， ． 故选：D． 5. 如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，若箕面与水平地面的夹角，小明将簸箕绕点顺时针旋转后平放在地面，则箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：箕面与水平地面的夹角， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：B． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 且， ∵， ∴，解得：， 综上，且， 只有C选项符合题意． 故选：C 7. 把抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就得到抛物线 故选：A． 8. 如图，正六边形内接于，是圆上任意一点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握正六边形性质及圆周角定理作出辅助线是解决问题的关键． 连接、，根据正六边形性质得到，再结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： 正六边形内接于， ， P是圆上任意一点，， 根据圆周角定理，， 故选：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，且与的周长比是．若点的坐标是，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵与的周长比为，则位似比为， 又∵点A的坐标是， ∴点的坐标是． ∴的长是 故选：D． 10. 如图是一个可以自由转动的、质地均匀的转盘，该转盘被分成个大小相同的扇形，在上面依次写上数字，，，，任意转动转盘次，当转盘停止转动后（指针恰好停在两个扇形的交界处时，当作指向右边的扇形），指针指向奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是概率公式求概率．根据题意知转盘被分成4个大小相同的扇形，标有奇数的扇形有2个，直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵一个转盘被分成4个大小相同的扇形，上面分别标有奇数的扇形有2个， ∴指针指向标有奇数所在区域的概率为：． 故选：B． 11. 某商家对某商品的售价进行了两次下调，且每次降价的百分率都是．两次调价后，该商品每件的售价从300元降至192元，则下列方程中，符合题意的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用．根据连续两次降价，每次降价百分率为，原价元，现价元，列出方程． 【详解】解：设每次降价百分率为，根据题意得， ∴． 故选：A． 12. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，k的几何意义，反比例函数和一次函数的交点． 利用反比例函数图像关于原点对称的性质；时在每一象限内，y随x的增大而减小的性质；k的几何意义即可判断正误． 【详解】①反比例函数的图象与正比例函数的图象若有交点，一定是两个，且关于原点对称，①正确； ②根据A，B关于原点对称，易知即为A点横纵坐标的乘积，为定值1，②正确； ③，对于，在每一象限内，y随x的增大而减小，当P，Q在同一象限内时，如果，那么，当P，Q不在同一象限内时，如果，那么，故③错误； ④在中，和y轴并不垂直，所以面积不会等于，故④错误； 因此正确的是①②， 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是 故答案为：． 14. 在中，，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，，，若，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线之间分线段成比例的关系，利用平行线之间分线段成比例得出，代入数据直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴ 即， 解得：， 故答案为：． 16. 二次函数的图象如图所示，它的对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④（为任意实数）．其中正确的有______．（填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线开口向上，推出；由对称轴为直线，推出；由抛物线与轴的交点在负半轴，推出；即可判断①；根据当时，；推出由对称性可知：当时，：得当时，、、都有可能，即可判断②；由图象可知：当时，：推出，；，即可判断③；由图象可知：当，；对于任意的实数，都有，即可判断④； 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与轴的交点在负半轴， ∴； ∴，故①错误； ∵当时，； ∴由对称性可知：当时，： ∴当时，、、都有可能：故②错误； 由图象可知：当时，： ∵， ∴，； ∵； ∴，即，故③错误； 由图象可知：当，； ∴对于任意的实数，都有， 即， ∴，故④正确； 故答案为：④ 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）移项，得． 因式分解，得， 即． 于是得，或， ，． （2） ． 18. 已知反比例函数． （1）①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． （2）函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 【答案】（1），，， （2）二、四，增大 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关键是画出函数图象． （1）分别把，，，代入函数解析式求出对应y的值即可； （2）用描点，连线的方法画出函数图象； （3）根据函数的图象和性质可以得出结论． 【小问1详解】 ①补全表格 ②图象如图： 【小问2详解】 函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大 故答案为：二、四，增大． 19. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点E恰好落在边上，与相交于点G，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定，外角的定义，充分利用旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质，等边三角形的判定定理即可解答； （2）根据旋转的性质，结合三角形的外角定理计算即可解答． 【小问1详解】 解： 将绕点A逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ． 【小问2详解】 将绕点A逆时针旋转得到， ． 是的外角， ． 20. 一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外无其他差别．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） （2）根据（1）中估计的概率估计一下，这个球中，黑球有______个； （3）某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图或列表的方法求摸出的两个球的颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、画树状图法求概率等知识点． （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值即可求解； （2）用乘以，即可求解 （3）先根据题意画树状图，确定所有等可能结果数，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近． 故答案为：． 【小问2详解】 解：（个） 【小问3详解】 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球的颜色不同的结果有4种， （摸出的两个球的颜色不同）． 21. 已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． （1）求水面宽的长； （2）求阴影部分面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，结合垂径定理可得，，在中，由勾股定理求出长即可得到答案； （2）由图形可知，，在中，，则，从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意，结合圆的对称性可知，，， 在中，，， 由勾股定理可得， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， 在中，，则， ， 则， ． 【点睛】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，熟记圆的性质、勾股定理求线段长及扇形面积公式是解决问题的关键． 22. 如图，一辆车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面的距离，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为． （1）求建筑物的高度； （2）驾驶员从点看地面的斑马线两端的俯角分别为和，求斑马线的宽度．（结果保留一位小数；参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题； （1）过点作于点，则四边形是矩形，解，求得，进而根据，即可求解； （2）由题意，得，，分别求得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，． 在中，， ， ． 答：建筑物的高度约为． 【小问2详解】 由题意，得，． 由题意，得，， ． 答：斑马线的宽度约为5.1m． 23. 贵州糯薏仁颗粒饱满、糯性十足，深受消费者喜爱．某特产店在旺季购进一批礼盒装贵州糯薏仁进行售卖，已知贵州糯薏仁每盒的进价为30元，当每盒的售价为50元时，每星期可卖出100盒．经市场调研发现，每盒的售价每下降1元，每星期可多卖出10盒．现该特产店进行降价销售，每盒的售价下降元． （1）若该特产店想要实现每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元的目标，同时尽可能地让利于顾客，则每盒贵州糯薏仁的售价应为多少元？ （2）当每盒的售价下降多少元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）44元 （2）当每盒下降5元时，利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用． （1）根据每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元，列出一元二次方程，即可求解． （2）设每星期卖出贵州糯薏仁的利润为元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得， 整理，得，解得． ∵要尽可能地让利于顾客， ， （元）． 答：每盒贵州糯薏仁的售价应为44元． 【小问2详解】 解：设每星期卖出贵州糯薏仁的利润为元． 由题意，得． ，， ∴当时，有最大值，最大值为2250． 答：当每盒的售价下降5元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大，最大利润是2250元． 24. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用含30度的直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． 25. （）如图，在中，，点是斜边的中点，作垂直于交于点，交于点． 求证：． （）如图，过点作交的延长线于点，若． ①求证：； ②求的值． 【答案】（）证明：∵在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ； （）①证明：∵， ，， 由（）知， ∴， ， 在和中， ， ； ② 【解析】 【分析】（）由直角三角形的性质可得，即得，进而即可求证； （）①利用平行线的性质和相似三角形的性质可得，进而由“”即可求证；②先证明，得到，又由全等三角形的性质得，即得到，得到，再证明，可得到，进而得到，即可求解． 【详解】（）略 （）①略 ②解：由①得， 又∵， ， ∴， 即， ∵， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，黄金分割，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末练习 九年级数学 练习重点范围：人教版•九年级全部内容 注意事项： 1．本次练习题的总分为150分，练习时间为120分钟． 2．答题练习时，务必将自己的学校、班级、姓名、学号填写在答题卡规定的位置上． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 5．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列数学符号是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点和圆的位置关系（ ） A. 点P在圆内 B. 点P在圆外 C. 点P在圆上 D. 无法判断 4. 若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 8 5. 如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，若箕面与水平地面的夹角，小明将簸箕绕点顺时针旋转后平放在地面，则箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 7. 把抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，就得到抛物线（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形内接于，是圆上任意一点，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，且与的周长比是．若点的坐标是，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 10. 如图是一个可以自由转动的、质地均匀的转盘，该转盘被分成个大小相同的扇形，在上面依次写上数字，，，，任意转动转盘次，当转盘停止转动后（指针恰好停在两个扇形的交界处时，当作指向右边的扇形），指针指向奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 某商家对某商品的售价进行了两次下调，且每次降价的百分率都是．两次调价后，该商品每件的售价从300元降至192元，则下列方程中，符合题意的是（） A. B. C. D. 12. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于C，连结交y轴于D，下列结论：①A，B关于原点对称；②的面积为定值；③在的图象上任取点和点，如果，那么；④．其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是______． 14. 在中，，则的值是__________． 15. 如图，，，若，则的长是______． 16. 二次函数的图象如图所示，它的对称轴为直线，给出下列结论：①；②当时，；③；④（为任意实数）．其中正确的有______．（填序号） 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 已知反比例函数． （1）①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． （2）函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 19. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点E恰好落在边上，与相交于点G，． （1）求的长； （2）若，求的度数． 20. 一个不透明的袋子中装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外无其他差别．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋子中，不断重复这一过程，下表是试验进行中的一组统计数据（结果保留小数点后三位）． 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）根据表中的数据，估计摸到黑球的概率是______；（结果保留小数点后一位） （2）根据（1）中估计的概率估计一下，这个球中，黑球有______个； （3）某小组成员从袋子中拿出1个黑球和2个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用画树状图或列表的方法求摸出的两个球的颜色不同的概率． 21. 已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． （1）求水面宽的长； （2）求阴影部分面积． 22. 如图，一辆车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点到地面的距离，看前方一栋建筑物顶部点的仰角为，且点与建筑物的水平距离为． （1）求建筑物的高度； （2）驾驶员从点看地面的斑马线两端的俯角分别为和，求斑马线的宽度．（结果保留一位小数；参考数据：，，） 23. 贵州糯薏仁颗粒饱满、糯性十足，深受消费者喜爱．某特产店在旺季购进一批礼盒装贵州糯薏仁进行售卖，已知贵州糯薏仁每盒的进价为30元，当每盒的售价为50元时，每星期可卖出100盒．经市场调研发现，每盒的售价每下降1元，每星期可多卖出10盒．现该特产店进行降价销售，每盒的售价下降元． （1）若该特产店想要实现每星期卖出贵州糯薏仁的利润为2240元的目标，同时尽可能地让利于顾客，则每盒贵州糯薏仁的售价应为多少元？ （2）当每盒的售价下降多少元时，每星期卖出贵州糯薏仁的利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，求的半径． 25. （）如图，在中，，点是斜边的中点，作垂直于交于点，交于点． 求证：． （）如图，过点作交的延长线于点，若． ①求证：； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $