精品解析：辽宁省大连市庄河市2025—2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025—2026学年度第一学期 九年级数学期末试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，轴对称图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，根据此性质即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程变形为完全平方式，比较选项得出正确结果，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标公式，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键．利用二次函数的顶点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵二次函数为，其中, , ， ∴顶点横坐标为， 代入得纵坐标， ∴顶点坐标为． 故选：A． 4. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 5. 若二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，由二次函数图象与x轴有且只有一个交点，可知对应一元二次方程的判别式为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有且只有一个交点， ∴ 方程的判别式， 即， ∴， 解得， 故选：C． 6. 如图，P为外一点，为直径，、分别与相切于点A、B，若，则的度数为（ ） A. 45° B. 75° C. 80° D. 85° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质和四边形内角和，关键是掌握切线的性质定理． 由切线的性质得到，由邻补角可得，再根据四边形内角和是，即可求出的度数． 【详解】解：分别与相切于点， ， ， ∴， 又， ， 故选：A． 7. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 8. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：列表如下 由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是． 故选：D． 黑 白1 白2 黑 （黑，黑） （白1,黑） （白2，黑） 白1 （黑，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （黑，白2） （白1，白2） （白2，白2） 9. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根为，．其中正确的结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题等知识点，由抛物线开口方向得到，则可对①进行判断；由抛物线与轴正半轴相交可得， 对称轴在轴右侧且，可得，则可对②进行判断；由对称轴为可对③进行判断；根据对称性求出抛物线与轴的交点坐标，可对⑤进行判断；根据当时，，则可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，则①正确； ②∵抛物线与轴正半轴相交， ∴； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故③错误； ⑤∵抛物线对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴方程的两根为，，故⑤错误； ④当时，， ∴，故④正确． 综上，正确的结论是①②④． 故选：D． 10. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交于点F，若，的面积为9，则四边形面积为（ ） A. 3 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．由四边形是平行四边形，得到，则，得到，求出，再由同高得到，求出，即可得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵的面积为9， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据根与系数的关系，两根之积等于常数项除以二次项系数，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：设另一个根为，由根与系数的关系得， 其中，，，代入得：， 即， 解得：． 故答案为：． 12. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________． 【答案】π 【解析】 【分析】根据弧长公式求出即可． 【详解】解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3， ∴此扇形的弧长是， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为n°，半径为r，则此扇形的弧长是． 13. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】小强和小华玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） ∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）， ∴小明和小颖平局的概率为：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，数据整理如下： 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 则该区初中生近视的概率约为_______．（精确到0.01） 【答案】0.41 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率．根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，频率稳定在概率附近，从表格数据看，随着抽测学生数增加，近视学生数与n的比值在0.410附近波动，据此即可求出概率． 【详解】解：由表格数据可知，当抽测学生数n较大时（如和），近视学生数与n的比值分别为0.409和0.410，这些值接近0.410， 根据大量重复试验中频率趋于稳定的性质，该区初中生近视的概率约为0.41， 故答案为：0.41． 15. 如图，将绕点C顺时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在AB边上，若，，则旋转角的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由得，由旋转的性质得，得，设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵ ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， ， ， 17. 已知二次函数． （1）在直角坐标系中画出该函数图象． （2）结合图象，写出使的x的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）先确定抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为 当时，， 当时，， 解得：， ∴抛物线与y轴交于点，与x轴交于点， 画出函数图象，如下： 【小问2详解】 解：由图得时，x的取值范围是． 18. 我市某校准备成立四个活动小组：．声乐，．体育，．舞蹈，．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽查了　 　名学生，扇形统计图中的值是　 　； （2）请补全条形统计图； （3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) 50，32；(2)见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据D组的人数及占比即可求出本次抽样调查共抽查的人数，故可求出m的值；（2）用调查总人数减去各组人数即可求出B组人数，再补全条形统计图； （3）根据题意列出树状图，再根据概率公式即可求解. 【详解】解：（1）， 所以本次抽样调查共抽查了50名学生， ，即； 故答案为50，32； （2）B组的人数为（人）， 全条形统计图为： （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8， 所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出调查的样本容量. 19. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2），且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长，进而求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 又 ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ，， ． 20. 某农场种植一种新型玉米，2022年试验田的平均单株产量为120克．经过两年的品种改良与科学管理，2024年的平均单株产量达到145.2克．若每年的单株产量年增长率相同，求此种新型玉米的单株产量的年增长率． 【答案】此种新型玉米的单株产量的年增长率为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，牢记平均增长率的计算公式（其中m是起始量，n是终止量，x是平均增长率）是解题的关键． 根据增长率的公式列出方程，再求出解即可． 【详解】解：设此种新型玉米的单株产量的年增长率为x， 由题意得：， 解得，（舍）， 答：此种新型玉米的单株产量的年增长率为． 21. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E，连接并延长交于点F． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点D为的中点，且，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆直径性质和直角三角形性质得到，，根据等腰三角形性质得到，， 得到，即得； （2）连接，连接， 求出，得到，得到，可得，得到，即得． 【小问1详解】 解：连接， 为直径， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵与相交于点E，延长线交于点F， ∴， ． 【小问2详解】 解：连接，连接， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴， 点D为的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，熟练掌握圆周角定理及其推论，等腰三角形性质，三角形外角性质，勾股定理等知识是解题的关键． 22. （1）如图1，在与中，，，，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，将图1中的绕着点B逆时针旋转得到，当点D的对应点在线段的延长线时，与相交于点E，连接，若，，求线段的长； （3）如图3，将直角绕着点A顺时针旋转得到，，点M为线段中点，连接，当点C的对应点在线段的延长线时，连接，的延长线与相交于点N，请回答下列问题： ①求证：点N为中点； ②若，，求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）直接证三角形全等，再根据全等三角形的性质证明即可； （2）过点作交于点H，得到四边形为矩形，证，最后在中，由勾股定理即可求出； （3）连接，过作交于点H，先证明，，，四边形为矩形，最后根据等腰三角形“三线合一”证得点N为中点；②由①可知，，，求得 ，根据勾股定理求出，从而求得，再证，从而求得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ， ， （2）解：过点作交于点H， 旋转得到， 由（1）的结论可得：，，， ， ， 四边形为矩形， ， 由（1）可知：， 又， ， ， ，， ， ， 又四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； （3）解：①连接，过作交于点H， 直角绕着点A顺时针旋转得到， ，，，， ，， ， ， 点M为线段中点，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 又， ， 点N为中点； ②， 由勾股定理可得：， 由①可知，，， 又， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转，构造辅助线是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点D，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为C，且点C的横坐标为． （1）求点A的坐标及a，c的值； （2）连接，，点P为抛物线上一点，若时，求点P的坐标； （3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为2，请直接写出t的值． 【答案】（1）点A的坐标为，， （2）点P的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）令，再根据图象可求出点A和点B，最后根据点在上，横坐标为，即可求解； （2）过点C作轴交于点H，由（1）知点C的坐标为，点D的坐标为，证明四边形是矩形，进而可得，再根据题意分为两种情况：当点P在上方时和当点P在下方时，根据相似三角形的判定和性质求解即可； （3）由题意得新函数为，根据最大值为，可求出或，再根据新函数图象进行分情况求解即可． 【小问1详解】 解：由，令， 得 解得， ∵点在点右侧， ∴，， ∵点在上，横坐标为， ∴ ， ∴， ∵经过和， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：过点C作轴交于点H， 由（1）知点C的坐标为，点D的坐标为， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，， ， 当点P在上方时，设与y轴交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点C与点M代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令 解得（舍去）， 点P的坐标为； 当点P在下方时，设与y轴交于点N， 同理可得：， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点C与点N代入解析式， 得， 解得， 直线的解析式为：， 令 解得（舍去）， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 当时，最大值为， ∴在上时， 解得，则设该点为点F； 在上时， 解得（舍去），则设该点为点E， 过点E和点F作x轴的垂线，如图， ∴存在三种情况， 当时，则在C点处，函数取最小值， ∴， ∴（与假设矛盾，故舍去） 当时，则， ∴， 由图可知，该范围内的图象在x轴上方，故最小值大于0，则与最小值为相矛盾， ∴此情况不存在； 当时，函数在点A处取最小值0， ∴ ∴ 解得（舍去）， 综上所述，t的值为． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、矩形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，学会分情况讨论是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期 九年级数学期末试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，P为外一点，为直径，、分别与相切于点A、B，若，则的度数为（ ） A. 45° B. 75° C. 80° D. 85° 7. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 8. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两根为，．其中正确的结论是（ ） A. ①②⑤ B. ①④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 10. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交于点F，若，的面积为9，则四边形面积为（ ） A. 3 B. 9 C. 11 D. 12 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的方程的一个根为，则另一个根为________． 12. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________． 13. 小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为________． 14. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，数据整理如下： 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 则该区初中生近视的概率约为_______．（精确到0.01） 15. 如图，将绕点C顺时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在AB边上，若，，则旋转角的度数是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知二次函数． （1）在直角坐标系中画出该函数图象． （2）结合图象，写出使的x的取值范围． 18. 我市某校准备成立四个活动小组：．声乐，．体育，．舞蹈，．书画，为了解学生对四个活动小组的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中必须选择而且只能选择一个小组，根据调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查共抽查了　 　名学生，扇形统计图中的值是　 　； （2）请补全条形统计图； （3）喜爱“书画”的学生中有两名男生和两名女生表现特别优秀，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 19. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2），且，求的长． 20. 某农场种植一种新型玉米，2022年试验田的平均单株产量为120克．经过两年的品种改良与科学管理，2024年的平均单株产量达到145.2克．若每年的单株产量年增长率相同，求此种新型玉米的单株产量的年增长率． 21. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点D，连接，与相交于点E，连接并延长交于点F． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点D为的中点，且，求线段的长度． 22. （1）如图1，在与中，，，，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，将图1中的绕着点B逆时针旋转得到，当点D的对应点在线段的延长线时，与相交于点E，连接，若，，求线段的长； （3）如图3，将直角绕着点A顺时针旋转得到，，点M为线段中点，连接，当点C的对应点在线段的延长线时，连接，的延长线与相交于点N，请回答下列问题： ①求证：点N为中点； ②若，，求出的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点D，二次函数的图象经过点A，且与二次函数的图象的另一个交点为C，且点C的横坐标为． （1）求点A的坐标及a，c的值； （2）连接，，点P为抛物线上一点，若时，求点P的坐标； （3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，新函数的最小值为，最大值为2，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $