4.2 命题与证明 第3课时 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦定理、推论、互逆定理及证明步骤，课堂导入先复习真命题判断与互逆命题，通过“说一说”回顾已学真命题引出定理，结合三角形外角和探究搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过操作观察（计算外角和）培养数学眼光，逻辑推理（证明定理）发展数学思维，规范证明步骤（例题示范）强化数学语言。如三角形外角和从猜想至证明，例1、例2及多样化练习助学生掌握方法，提升推理与表达能力，为教师提供结构化教学资源。

4.2 命题与证明 第3课时 第四章 三角形 数学湘教版八年级上册 1.理解掌握定理、推论的概念和互逆定理之间的关系； 2.能熟练运用基本事实、定理、推论进行推理，掌握证明命题的基本步骤和方法； 3.通过操作、观察、交流、分析、推理、总结归纳等活动学习互逆定理间的关系，掌握证明命题的基本步骤和方法； 4.培养学生的观察能力、理解分析能力、逻辑推理能力、总结归纳能力，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣. 重点 难点 学习目标 如何判断一个命题是真命题呢? 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 01 什么是互逆命题？ 02 复习回顾 我们已经学了哪些真命题？请与同学说一说. ①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行； ③两直线平行，内错角相等；④内错角相等，两直线平行； ⑤同旁内角互补，两直线平行；⑥两直线平行，同旁内角互补； ⑦三角形的内角和等于180°； ⑧三角形的外角等于不相邻的两内角和. 探究新知 经过证明为真的命题叫作定理. 例如：“三角形的内角和等于180°”称为“三角形的内角和定理”. 利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. 例如：利用“三角形的内角和定理”可直接推出“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，于是可将这一结论称为“三角形的内角和定理的推论”，通常将该推论简称为“三角形外角定理”. 探究新知 如图，在△ABC中，已知∠BAC=80°，∠ABC=60°，∠BCA=40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF是△ABC的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？ 解：因为∠ACE=180°-40°=140°， ∠CBD=180°-60°=120°， ∠BAF=180°-80°=100°. 所以∠ACE+∠CBD+∠BAF=140°+120°+100°=360°. 猜想：三角形的三个外角之和等于360°. 探究新知 证明：如图，△ABC的三个外角分别为∠BAF，∠CBD，∠ACE. 因为∠BAF=180°-∠BAC，∠CBD=180°-∠ABC，∠ACE=180°-∠ACB， 所以∠BAF+∠CBD+∠ACE =(180°-∠BAC)+(180°-∠ABC)+(180°-∠ACB) =540°-(∠BAC+∠ABC+∠ACB) =540°-180°= 360°. 你能证明上述猜想吗? 定理：三角形的外角和等于360°. 探究新知 平行线的性质定理1：两直线平行，同位角相等，是真命题； 平行线的判定定理1：同位角相等，两直线平行，是真命题. 回想刚刚提到的①-⑥命题，如果我们把①③⑤作为原命题，那么②④⑥称为逆命题；以①②为例： ①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行； 如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理. 互逆定理 探究新知 说出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假. (1)对顶角相等. 逆命题：相等的角是对顶角. (2)两直线平行，内错角相等. 逆命题：内错角相等，两直线平行. 假命题 真命题 互逆定理 注意：①每个命题都有逆命题； ②每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理. 探究新知 例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边. 分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证， 然后进行证明. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线.求证：AE//BC. 教材 例题 应用新知 证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得：∠CAD=∠B+∠C 又∠B=∠C，于是∠CAD=2∠B. 由于AE是∠CAD的平分线， 因此∠CAD=2∠DAE， 从而2∠B=2∠DAE，即∠B=∠DAE. 所以AE//BC(同位角相等，两直线平行). 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线.求证：AE//BC. 教材 例题 应用新知 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明. 归纳 应用新知 例2 (1)已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1=180°，∠2=∠3.求证：∠B+∠F=180°. (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题. 经典例题 证明：(1)因为∠B+∠1=180°，所以AB/ /CD， 因为∠2=∠3，所以CD/ /EF，所以AB/ /EF， 所以∠B+∠F=180°. 应用新知 例2 (1)已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1=180°，∠2=∠3.求证：∠B+∠F=180°. (2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题. 经典例题 证明：(2)在(1)的证明过程中应用的两个互 逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补. 注意 要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断 一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 应用新知 1.下列定理中，没有逆定理的是(     ) A. 全等三角形的对应边相等 B. 两直线平行，同位角相等 C. 在一个三角形中，等边对等角 D. 对顶角相等 2.下列说法正确的是(     ) A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理 C. 真命题的逆命题一定是真命题 D. 假命题的逆命题一定是假命题 D A 课堂练习 教材 练习 3.证明：如图，在四边形ABCD中，如果∠A+∠B=180°，那么∠C+∠D=180°. 证明：因为∠A+∠B=180°， 所以AD∥BC， 所以∠C+∠D=180°. 课堂练习 教材 练习 4.如图，直线AB，CD被直线MN所截，且∠1=∠2. 求证：∠3+∠4=180°. 证明：因为∠1=∠2， 所以AB∥CD， 所以∠3+∠4=180°. B D C 1 2 3 4 A 课堂练习 5.如图，线段AB与CD相交于点E.求证：∠A+∠C=∠B+∠D. 证明：因为∠A+∠C+∠AEC=180°， ∠B+∠D+∠BED=180°， ∠AEC=∠BED， 所以∠A+∠C=∠B+∠D. 教材 练习 B A D C E 课堂练习 6.如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°.求证：AB//CD. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°， 所以∠A+∠1=138°， 又∠A+10°=∠1， 所以∠A+∠A+10°=138°，解得：∠A=64°. 所以∠A=∠ACD=64°, 所以AB//CD(内错角相等，两直线平行). 课堂练习 7.已知：如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1=∠2，∠A=∠F.求证：∠C=∠D. 证明：因为∠ANC=∠2，∠1=∠2， 所以∠1= ∠ANC，所以DB//CE， 所以∠C=∠ABD， 因为∠A=∠F，所以AC/ /DF， 所以∠D=∠ABD， 所以∠C=∠D. 课堂练习 定义 ①经过证明为真的命题叫作定理；利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论. ②如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理并将这两个定理称为互逆定理. 定理 、推论 证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤： 第一步，先根据命题的条件画出图形，写出已知条件； 第二步，根据命题的结论写出求证； 第三步，从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及定理进行逻辑推理、计算，得出需要求证的结论；或者运用反证法证明. 步骤 总结归纳 $