4.2 命题与证明 第2课时 课件 2025-2026学年湘教版八年级 数学上册

该初中数学课件聚焦“命题与证明”，核心内容包括命题真假判断、举反例及证明（直接证明与反证法）。通过复习命题定义导入，结合“做一做”“议一议”活动，搭建“复习-探究-应用”学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以活动驱动探究，通过举反例（如“a²=b²则a=b”）和反证法（证明三角形内角至少有一个≥60°）培养学生推理能力与数学表达。采用“问题情境-逻辑推理-总结步骤”教学法，助力学生掌握证明方法，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

4.2 命题与证明 第2课时 第四章 三角形 数学湘教版八年级上册 1.能判断命题的真假并会对假命题举反例； 2.掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握反证法证明的基本步骤和格式； 3.通过操作、观察、交流、逻辑推理、总结归纳等活动，学习判定一个命题是假命题的方法与技巧，掌握证明的两种方法与技巧； 4.培养学生的观察能力、逻辑推理能力、总结归纳能力，建模和套模能力，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣. 重点 难点 学习目标 什么是命题？ 叙述一件事情的句子(陈述句)要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. 什么是真命题和假命题？ 如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题； 如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题. 01 02 复习回顾 下列命题是真命题还是假命题？ (1)若a是有理数，则a是整数； (2)有理数的绝对值是正数. 解：(1)由“0.1是有理数，但不是整数”可知，命题“若a是有理数，则a是整数”是假命题； (2)由“0的绝对值是0，不是正数”可判断“有理数的绝对值是正数”是假命题. 探究新知 如何判断一个命题是假命题呢? 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论. 探究新知 用举反例的方法说明下列命题是假命题. (1)若a²=b²，则a=b； (2)一个角的余角大于这个角； 解：(1)当a=1，b=-1时，a²=b²，但a≠b，则此命题是假命题； (2)取一个角为60°，则这个角的余角为30°不满足大于这个角，则此命题是假命题； 探究新知 用举反例的方法说明下列命题是假命题. (3)若a，b是有理数，则|a+b|=|a|+|b|; (4)如果∠A=∠B，那么∠A与∠B是对顶角. 解：(3)当a=2，b=-1时，|a+b|≠|a|+|b|，则此命题是假命题； (4)当∠A=∠B=60°，且是三角形的内角时，∠A与∠B不是对 顶角，则此命题是假命题. 探究新知 如何判断一个命题是真命题呢? 判断一个命题是真命题，通常需从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立，这一过程就是通常所说的证明. 探究新知 试着证明：如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+b²≠0. 证明：若a≠0，则a2为正数， 又b²为正数或0，从而a²+b²是正数， 因此a²+b²≠0. 同理可得，若b≠0，则a²+b²≠0. 探究新知 分析:“至少有一个”意味着“有一个”“有两个”“有三个”，因而应分三种情况进行证明，我们可以假设没有一个满足条件，若能推出一个与已知条件或已有定义、基本事实、已经证明了的真命题等矛盾的结论，就可否定假设从而得出所要证明的结论. 如何证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 探究新知 证明：假设△ABC的三个内角中没有一个角大于或等于60°， 则∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°，从而：∠A+∠B+∠C<60°+60°+60°=180°， 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，故假设不成立. 因此，△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 如何证明：△ABC的三个内角中至少有一个角大于或等于60°. 探究新知 像上题这样，当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，可以先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件、定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 探究新知 反证法的基本步骤？ (1)假设命题不成立； (2)导出矛盾； (3)肯定结论. 探究新知 用反证法证明“如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+b²≠0.” 证明：假设如果实数a≠0或实数b≠0，那么a²+b²=0， 因为a²+b²=0，且a²≥0，b²≥0， 根据几个非负数的和为0，则每个非负数为0. 所以a²=0，b²=0， 因此a=0，b=0，与已知条件矛盾. 所以假设不成立，原命题成立. 探究新知 例1 命题“如果ab=0，那么a=0”是真命题还是假命题? 分析：先举个例子，看是否能使命题不成立，如果不成立就是假命题. 解：取a=1，b=0，1×0=0，但是1≠0， 因此“如果ab=0，那么a=0”是假命题. 注意 判断一个命题是假命题，可以举反例. 教材 例题 应用新知 例2 如图，若∠1=∠2，则∠3=∠4，判断它是一个真命题． 经典例题 分析：由∠1=∠2得到l1∥l2，再由两直线平行，内错角相等即可. 证明：因为∠1=∠2(已知) 所以l1∥l2(同位角相等，两直线平行) 所以∠3=∠4(两直线平行，内错角相等) 所以此命题是个真命题. 注意 从已知条件出发，进行逻辑推理，得到命题成立. 应用新知 例3 用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角． 经典例题 分析：按照反证法的基本步骤进行证明即可. 证明：假设△ABC的三个外角中至少有两个直角， 则不妨设∠B=∠C=90°，所以∠A+∠B+∠C>180°， 这与三角形内角和等于180°相矛盾， 所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角. 注意 正确写出假设命题是关键，可通过枚举的方法列出原命题满足的情况，然后从反面写出假设命题. 应用新知 1.下列命题是真命题的是(     ) A. 同位角相等 B. 内错角相等 C. 同旁内角互补 D. 邻补角互补 2.用反证法证明命题：“已知△ABC，AB =AC，求证：∠B<90°.”第一步应先假设( ) A.∠B ≥90° B.∠B>90° C.∠B<90° D. AB + AC D A 课堂练习 教材 练习 3.命题“两条直线被第三条直线所截，同位角相等”是真命题还是假命题? 解：如图，直线l1，l2被直线l3所截， ∠1与∠2是同位角，但是∠1≠∠2. 因此命题为假命题. l1 l2 l3 1 2 课堂练习 4. 证明：在同一平面内，如果直线a∥b，l⊥a，那么l⊥b. a b l 教材 练习 1 2 证明：因为a∥b， 所以∠1=∠2(两直线平行，同位角相等) 因为l⊥a 所以∠1=∠2=90° 所以l⊥b. 课堂练习 5.用反证法证明：如果ab=0，那么a=0或b=0. 证明：假设a≠0且b≠0. 因为a≠0，b≠0， 根据乘法的性质，两个非零实数相乘的积一定不为0，所以ab≠ 0. 但已知ab=0，矛盾 所以假设不成立，即如果ab=0，那么a=0或b=0. 教材 练习 课堂练习 6.证明：两个奇数的和是偶数. 证明：设两个奇数分别为m=2k+1，n=2s+1(其中h，s都为整数)则m+n=2k+1+2s+1=2(k+s+1)， 因为k，s都是整数，所以k+s+1是整数， 所以2(k+s+1)一定能被2整除， 所以m+n一定能被2整除， 即两个奇数的和是偶数. 课堂练习 7.用反证法证明：已知直线a//c，b//c，则a//b. 解：假设a与b相交于点M， 则过M点有两条直线平行于直线c， 这与“过直线外一点有且只有一条直线与与已知直线平行”相矛盾， 故假设不成立，所以a//b. 课堂练习 举反例 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 证明 、举反例 证明 判断一个命题是真命题：从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经判断其成立的真命题，进行逻辑推理、计算，得出这个命题的结论成立. 先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出与已知条件，定义、基本事实、真命题等产生矛盾，得出假设不成立，从而判断所求证命题正确，这种证明方法叫作反证法. 总结归纳 $