精品解析：辽宁省大连市高新园区2025—2026学年 上学期九年级期末数学试卷

九年级（上）期末检测 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图是中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 反比例函数经过（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握“当时，反比例函数的图象经过第一、三象限；当时，反比例函数的图象经过第二、四象限”是解题关键． 根据反比例函数的图象与性质作答即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：． 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义．先利用勾股定理求出斜边的长，再求出的值即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图，为圆心，点在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理， 根据圆周角定理解答，即同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似变换，由题意可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据旋转的性质得出，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：在等腰中，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转得到，点A的对应点D落在上， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 不透明袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率，通过列表法列出所有等可能的结果，再找出两次摸出的球都是白球的结果，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （红，白1） （红，白2） 白1 （白1，红） （白1，白1） （白1，白2） 白2 （白2，红） （白2，白1） （白2，白2） 由表格可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有4种，所以两次摸出的球都是白球的概率为， 故选：A． 9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的对称性和开口方向对函数值取值范围的影响是解题的关键． 先根据抛物线的对称轴和已知点，找到对应的点，再结合抛物线开口方向确定时的范围． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． 根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由作法可知，垂直平分，即，，进而求出，得到，即，证明，得到，即，求出，即可求出的长． 【详解】解：，， ， 由作法可知，垂直平分， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， 即， ∴， ， ， 解得：（负值舍去）， ∴． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值，直接计算的结果即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知圆的半径是6cm，则120°的圆心角所对的弧长是_____cm． 【答案】4π 【解析】 【分析】直接利用扇形的弧长公式计算即可得出结论． 【详解】解：由题意知，r=6cm，n=120， ∴（cm）， 故答案为：4π． 【点睛】此题主要考查了扇形的弧长公式，解本题的关键是熟记扇形的弧长公式． 13. 如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，求得的长度，据此求解即可． 【详解】解：如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C． 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，设， ∴， ∴， 解得：． ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价（元），每天获得利润（元），当时，与的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据利润等于单个商品的利润乘以销售量列出函数关系式即可． 【详解】解：设每个商品降价元，则每个商品的利润为元，每天销量为个， ∴， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，平行四边形的面积为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与反比例函数的值求解，熟练掌握“平行四边形的面积公式及反比例函数的性质”是解题的关键． 利用平行四边形的性质，结合面积求出点的横坐标，再根据平行四边形的坐标关系确定点的坐标，最后代入反比例函数求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点在轴上，点的坐标为， ∴，，点的横坐标与点的横坐标相同，为， ∵平行四边形的面积为， ∴， 解得， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为 ∵点在反比例函数上， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1），；（2）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，二次函数图象和性质： （1）利用公式法解方程即可； （2）根据抛物线的开口方向，对称轴公式，顶点坐标公式进行作答即可． 【详解】解：（1）， ，，， ， ， 即，； （2）， ， ∴抛物线开口向下， ， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标． 17. 高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万个，第三季度生产芯片100万个． （1）求该芯片公司生产量的季度平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否实现？请说明理由． 【答案】（1）该芯片公司生产量的季度平均增长率为； （2）该目标不能实现，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意计算出该公司第四季度的芯片生产量，即可解答． 【小问1详解】 解：设该芯片公司生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为 【小问2详解】 解：该目标不能实现． 理由：该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ， ∴该目标不能实现． 18. 在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）若，求该容器体积的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设，把点代入求解即可； （2）求出和时的自变量的值，根据增减性求出容器体积的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设， 代入得， ， ； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，． ， ∴当时，随的增大而减小， ． 19. 在劳动课上，同学们参观了菜农的蔬菜大棚，并帮助菜农安装蔬菜大棚的支撑架，为此，数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为蔬菜大棚安装支撑架 活动准备 准备皮尺等测量工具 采集数据 蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱墙，构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为，支柱墙，． 任务要求 如图2，为了安全，需对蔬菜大棚进行加固，准备在蔬菜大棚抛物线上安装三根钢管作为支撑架，分别为，，，其中，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上．菜农提供的钢管总长为，要求全部用完．请同学们确定支撑架的安装位置． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，则点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式，根据，求出点的坐标，从而确定支撑架的安装位置． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，求出函数解析式． （1）设抛物线的表达式为，由题意得，再代入求解即可； （2）设，由题意得，四边形为矩形，则，，再由建立方程求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为，由题意得， 代入抛物线表达式为， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：点在抛物线上， 设，由题意得，四边形为矩形，， 轴， ， 由题意得，， 解得，（舍）， 当时，， ∴点的坐标为． 20. 如图，学校在教学楼顶部竖立一块标语牌，小明在距教学楼的点处（即），利用测角仪测得标语牌底部点的仰角为，然后小明向教学楼方向前进到达点处（即），测得标语牌顶部点的仰角为．已知测角仪支架高，图中点，，，，，，在同一平面内． （1）求教学楼的高度； （2）求标语牌的高度． （结果精确到，参考数据：，，，．） 【答案】（1）教学楼的高度约为； （2）标语牌的高度约为． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用（仰角俯角问题）、矩形的性质，熟练掌握利用三角函数建立直角三角形边的关系是解题的关键． （1）通过延长线构造矩形，利用矩形性质得到直角三角形的直角边长度，结合三角函数计算，再加上仪器高度得到； （2）先根据矩形性质求出，利用三角函数计算，再用得到． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点，则， 四边形是矩形， ，． 在中，，， ． ． 答：教学楼的高度约为； 【小问2详解】 解：由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 在中，，， ， ． 答：标语牌的高度约为． 21. 如图，是的直径，点在半径上，过点作，连接与交于点，点在线段上，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若点是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即，即可证明是的切线； （2）连接，在中，根据勾股定理，求得，，即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，则， ． ， ． ． ， ． ， ． ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ． ， ， ∵点是的中点， ． 又， ∴在中，根据勾股定理，得． ，， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定和性质是解题关键． 22. 如图，在中，，．点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，过作，垂足为，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求的值； （3）如图3，将沿翻折，若点的对应点落在的延长线上，连接交的延长线于点，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理即可证明； （2）先过作，进一步证明，可得，再根据等腰三角形的性质得出，因此，根据全等三角形的性质进一步得出，，即可求值； （3）先过作，设，再根据折叠的性质，勾股定理和全等三角形的性质得出，最后根据平行线分线段成比例即可求值． 【小问1详解】 证明：线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ，， ． ， ， ． 又， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图1， 过作，垂足为， 由（1）得， ． 又， ． 又，， ， ． ，， ， ． 又， ． ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图2， 过作，垂足为． 沿翻折，点的对应点落在的延长线上， ， ，． 设， ，， ，． ， ． ， ， ． ， ， ， 即． 23. 如图1，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当时，抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为，直接写出的值； （3）如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，抛物线与抛物线的对称轴相交于点，连接，． ①求证：； ②如图3，若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）①证明见解析；②四边形的形状是正方形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时； （3）①设点的坐标为，根据平移的性质可知，则，；②因为，，可得 ． 【小问1详解】 因为抛物线的图象经过点和点，可得 解得 所以抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 抛物线的对称轴为，开口向上． （Ⅰ）当时． 时，取得最大值． 时，取得最小值． 根据题意，得 ． 解得 ． （Ⅱ）当时，即． 时，取得最小值． 时，取得最大值． 根据题意，得 ． 解得 ． （Ⅲ）当时，即． 时，取得最小值， 若时，取得最大值，得 ． 解得 ，（舍去）． 若时，取得最大值，得 ． 解得 （舍去），． 综上所述，或． 【小问3详解】 ①将变形，得． 设点的坐标为． 根据平移的性质可知． 可知点的坐标为． ． ． 所以． ②根据题意可知，点的坐标为． 因为，，可得 ． 解得 （舍去），． 所以点的坐标为，点的坐标为． 所以． 所以四边形的形状是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）期末检测 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 反比例函数经过（ ） A. 一、三象限 B. 二、四象限 C. 二、三象限 D. 三、四象限 3. 如图，在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为圆心，点在上，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 不透明的袋子中只装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是（ ） A B. C. D. 9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 10. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 已知圆的半径是6cm，则120°的圆心角所对的弧长是_____cm． 13. 如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则点的坐标为________． 14. 某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价（元），每天获得利润（元），当时，与的函数关系式为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，平行四边形的面积为，则________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17 高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万个，第三季度生产芯片100万个． （1）求该芯片公司生产量的季度平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否实现？请说明理由． 18. 在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求与的函数表达式； （2）若，求该容器体积的取值范围． 19. 在劳动课上，同学们参观了菜农的蔬菜大棚，并帮助菜农安装蔬菜大棚的支撑架，为此，数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为蔬菜大棚安装支撑架 活动准备 准备皮尺等测量工具 采集数据 蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱墙，构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为，支柱墙，． 任务要求 如图2，为了安全，需对蔬菜大棚进行加固，准备在蔬菜大棚抛物线上安装三根钢管作为支撑架，分别为，，，其中，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上．菜农提供的钢管总长为，要求全部用完．请同学们确定支撑架的安装位置． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，则点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式，根据，求出点的坐标，从而确定支撑架的安装位置． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点坐标． 20. 如图，学校在教学楼顶部竖立一块标语牌，小明在距教学楼的点处（即），利用测角仪测得标语牌底部点的仰角为，然后小明向教学楼方向前进到达点处（即），测得标语牌顶部点的仰角为．已知测角仪支架高，图中点，，，，，，在同一平面内． （1）求教学楼的高度； （2）求标语牌的高度． （结果精确到，参考数据：，，，．） 21. 如图，是的直径，点在半径上，过点作，连接与交于点，点在线段上，连接，且． （1）求证：是切线； （2）若点是的中点，，求的长． 22. 如图，在中，，．点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，过作，垂足为，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求的值； （3）如图3，将沿翻折，若点的对应点落在的延长线上，连接交的延长线于点，求的值． 23. 如图1，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当时，抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为，直接写出的值； （3）如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，抛物线与抛物线的对称轴相交于点，连接，． ①求证：； ②如图3，若，连接，，判断四边形形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $