精品解析：甘肃省天水市麦积区2025-2026学年八年级上学期期末质量调研数学试卷（二）

2025−2026学年度第一学期教育教学质量调研试卷（二）八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 实数， -π， ， ， 0， 3 ， 0.1010010001……中，无理数的个数是（　 ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿发挥出色，共获得40块金牌、27块银牌和24块铜牌．要想清楚地表示出中国体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（ ） A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 以上统计图均可以 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若实数a、b满足，则 C. 内错角相等，两直线平行 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 4. 若二次三项式是完全平方式，则的值是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 3或 5. 如图，已知，，添加下列一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，且，E，F是上两点，，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 10. 平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A. 7尺 B. 尺 C. 8尺 D. 尺 二、填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 16的算术平方根是___________． 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______． 13. ，，则的值为______． 14. 一组数据4，，，4，，4，，4中，出现次数最多的数是4，其频率是__________． 15. 如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___________． 16. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若的周长为，则_____． 17. 已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为_____． 18. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 三、解答题：（本大题共6小题，共46分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） 20. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 21. 先化简，再求值：已知，求的值． 22. 第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸．5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分．） 23. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息： a.学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，） b.在这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c.成绩不低于90分为优秀 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查采用的方式是 （选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 ； （2）这组有 名同学，这组学生人数所占的百分比为 ； （3）补全频数分布直方图； （4）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 24. 如图，已知，，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 25. 如图，已知长方形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，点E在AD边上，将△ABE沿BE折叠后，点A正好落在CD边上的点F处． （1）求DF的长； （2）求△BEF的面积． 26. “一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ （1）如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ （2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第一学期教育教学质量调研试卷（二）八年级数学 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 实数， -π， ， ， 0， 3 ， 0.1010010001……中，无理数的个数是（　 ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义解题即可． 【详解】是无理数． 故选B． 【点睛】本题考查无理数的定义． 常见的无理数有3种：含的，开方开不尽的，有特定结构的数．熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 2. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿发挥出色，共获得40块金牌、27块银牌和24块铜牌．要想清楚地表示出中国体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（ ） A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 以上统计图均可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了统计图的选择，熟练掌握扇形统计图在表示部分与整体关系中的应用是解题的关键． 根据扇形统计图可以清楚地表示出部分在整体中所占的百分比即可得到答案． 【详解】解：扇形统计图可以清楚地表示出部分在整体中所占的百分比， 故选： A． 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若实数a、b满足，则 C. 内错角相等，两直线平行 D. 有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题真假的判断，根据对顶角的含义，等式的性质，平行线的性质，三角形的分类，逐一判断即可． 【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意； B、若实数，满足，则，故错误，是假命题，不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，故正确，是真命题，符合题意； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 4. 若二次三项式是完全平方式，则的值是（ ） A. 9 B. 3 C. D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，先由二次三项式是完全平方式，得出，再把展开，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：D 5. 如图，已知，，添加下列一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本体考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴要证明，可以利用的方法，需添加的条件为：； 可以利用的方法，需要添加的条件是：； 可以利用的方法，需要添加的条件是：； 当添加条件为时，无法证明； 故选D． 6. 如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵总体大正方形的边长为，则面积为， 中间小正方形的边长为，则面积为， 个长方形的面积为， 又∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长方形的面积， ∴． 故选：D． 7. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理的几何意义：，解得即可． 【详解】解：由题意：，， ∴ ∵正方形的面积依次为， ∴， ∴． 故选：C． 8. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否能推出直角三角形． 【详解】解：∵对于A：设，，，则，，，能判断是直角三角形． 对于B：设，，，则，，，不是直角，不能判断是直角三角形． 对于C：，且，，，能判断是直角三角形． 对于D：设，，，则，，，能判断是直角三角形． 故选：B． 9. 如图，，且，E，F是上两点，，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，设交于点H，由，得，因为，，所以，可证明，而，可根据“”证明，得，，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点H， ∵， ∴， ∵E，F是上的两点，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A. 7尺 B. 尺 C. 8尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 二、填空题：（本题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 16的算术平方根是___________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵ ∴16的平方根为4和-4， ∴16的算术平方根为4， 故答案为：4 12. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 解得：． 故答案为：． 13. ，，则的值为______． 【答案】 6 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 14. 一组数据4，，，4，，4，，4中，出现次数最多的数是4，其频率是__________． 【答案】0.5 【解析】 【分析】根据频率=某数出现的次数÷数字总数，4在这组数据中出现了4次，这组数据总共有8个数字，代入公式即可求解． 【详解】解：4÷8=0.5 故答案为：0.5 【点睛】本题主要考查的是频率的计算，正确的掌握频率的计算公式，将相应的数据代入是解本题的关键． 15. 如图所示，数轴上的点表示的实数为，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．和均为半径，根据勾股定理求出的长，从而得到点表示的数． 【详解】解：如图， 在中，， ， 点表示的数为， 故答案为：． 16. 如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若的周长为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，由线段的垂直平分线的性质可得，，进而得到的周长，即可求解，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵分别是 的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 17. 已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据绝对值和平方的非负性，可得，，再根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，利用三角形三边关系判断，即可求解． 【详解】解： ∴ 因为且，所以且，解得，． 当腰为时，三边为，，，但，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰为时，三边为，，，满足三角形三边关系， 周长为． 故答案为：． 18. 如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6##6或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 三、解答题：（本大题共6小题，共46分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，包括立方根、平方根和乘方的计算，需按照运算顺序逐步计算 【小问1详解】 解：原式  【小问2详解】 解：原式   20. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，根据公式法和提公因式法，分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 21. 先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值；根据平方差公式以及完全平方公式进行运算，即可作答． 【详解】解： ； 当时，原式 ． 22. 第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G和2G系统后的延伸．5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接．县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路MN、PQ的距离也必须相等．发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（请保留作图痕迹，并标注出点G，否则扣分．） 【答案】点即为所求 【解析】 【分析】根据角平分上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端得距离相等，即可得到G点为线段AB垂直平分线和∠QON角平分线的交点. 【详解】解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，然后连接两个交点即为所求 以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OQ，ON分别交于E、F，连接EF，然后同样以O为圆心，以不同为OE的长为半径画弧与OQ，ON分别交于R、S，连接ES，RF两者交于H，连接OH交AB垂直平分线于G，即为所求G. 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及两者的作法，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质. 23. 某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息： a.学生成绩的统计图如图（数据分为五组：，，，，） b.在这一组成绩的是80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c.成绩不低于90分为优秀 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查采用的方式是 （选填“全面调查”或“抽样调查”），样本容量是 ； （2）这组有 名同学，这组学生人数所占的百分比为 ； （3）补全频数分布直方图； （4）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 【答案】（1）抽样调查，50； （2）14，； （3） 补全频数分布直方图如下： （4）104名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图的信息关联，利用样本估计总体等知识，注重数形结合，加强条形统计图、扇形统计图的数据关联，是解答本题的关键． （1）根据抽样调查和全面调查的定义可知本次调查采用的方式是抽样调查，用“”的频数除以对应的百分比可得样本容量； （2）用总人数减去其它组的人数即可得组的人数，用组学生人数除以总人数即可得所占的百分比； （3）根据题意可得“”和“”的频数，进而补全频数分布直方图； （4）用总人数乘样本中达到优秀的人数比例即可． 【小问1详解】 解：本次调查采用的方式是抽样调查，样本容量是：； 故答案为：抽样调查，50； 【小问2详解】 解：成绩在这一组的共有16名，成绩在这一组的有50（名）， 这组学生人数所占的百分比为； 故答案为：14，； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（名）， 答：该校七年级学生达到优秀的大约有104名． 24. 如图，已知，，E、F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理： （1）利用证明即可； （2）利用三角形的内角和定理和全等三角形的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，已知长方形纸片ABCD中，AB=10，AD=8，点E在AD边上，将△ABE沿BE折叠后，点A正好落在CD边上的点F处． （1）求DF的长； （2）求△BEF的面积． 【答案】（1）；（2）的面积为25 【解析】 【分析】（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA，由矩形得BC=AD=8，由勾股定理算出CF=6，从而算出DF=4； （2）由翻折知：△BEF和△BEA全等，在中求，设EF=x，依据勾股定理列方程解出，而AB=10，求出直角△BEA的面积，即为所求. 【详解】解：（1）由翻折知：BF=AB=10，EF=EA， 由矩形得BC=AD=8，CD=AB=10，, ∵在中，，BF=10，BC=8， ∴ ∴DF=CD-CF=10-6=4， （2）设EF=EA=x，则DE=8-x， ∵在中，，DE=8-x，DF=4，EF=x， ∴42+(8-x)2= ∴x=5. ∴直角△BEA的面积为， 又∵由翻折知：△BEF和△BEA全等， ∴△BEF的面积为25. 【点睛】本题考查矩形翻折问题中的勾股定理，明确在翻折过程中的变量和不变量是解题的关键，熟练掌握勾股定理是解题的基础. 26. “一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ （1）如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ （2）如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）7 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $