精品解析：黑龙江省哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

哈尔滨市第六中学2023级上学期期末考试 高三数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 平面向量满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设为正项递增等比数列的前项和，，且成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 6. 哈六中开展爱国主义教育，决定在2026年1月16日组织高一年级1到5班去“731日本罪证陈列馆”、“哈尔滨烈士陈列馆”两所展馆参观，每个班级去一个展馆，且每个展馆至少去一个班级，若1班和2班必须去同一展馆，则不同的分配方案种数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小松同学所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的第百分位数为 B. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的平均数为 C. 根据频率分布直方图估计，天中某骑手的业务量在单及以上的天数为天 D. 根据频率分布直方图估计，天中骑手的业务量的极差为单 10. 已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切 B. 若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为 C. 若，且在之间，则抛物线的方程为 D. 若线段的中点到抛物线准线的距离为，则 11. 如图，三棱锥中，平面平面，过点且与平行的平面分别与棱、交于两点，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若为的中点，则为的中点 B. 若，则四棱锥的体积为 C. 平面平面 D. 三棱锥的外接球的体积为 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则__________． 13. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________． 14. 设函数在上存在导函数，对，都有，当时，成立，若，则实数的取值范围为___________． 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知中，内角所对的边分别是，且. （1）若，求的面积的值； （2）若边上的高为，求角的大小及的值. 17. 已知数列为正项数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间和极值； （2）当时，证明：； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上存在点，使原点为的重心，求直线的方程； （3）设椭圆的上、下顶点分别为，若直线与y轴交于点，直线与交于点Q，求证：为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六中学2023级上学期期末考试 高三数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式和绝对值不等式求解，再结合集合交集运算即可求解. 【详解】由得： 由，得或， 即，或， 所以， 故选：B 2. 已知复数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解. 【详解】 ， 所以. 故选：C. 3. 平面向量满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的模长公式和运算法则即可求解. 【详解】由可得， 又，所以，所以 所以. 故选：D. 4. 设为正项递增等比数列的前项和，，且成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式求解计算即可. 【详解】因为为正项递增等比数列的前项和，设数列的公比为， 由，且成等差数列， 得，化简得. 因为，所以解得. 所以. 故选：A. 5. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角公式即可求解. 【详解】由题意有： ， 故选：B. 6. 哈六中开展爱国主义教育，决定在2026年1月16日组织高一年级1到5班去“731日本罪证陈列馆”、“哈尔滨烈士陈列馆”两所展馆参观，每个班级去一个展馆，且每个展馆至少去一个班级，若1班和2班必须去同一展馆，则不同的分配方案种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先安排1班和2班去同一个馆，再随意安排剩下3个班，有8种情况，最后去掉所有班都去同一个馆的情况，据此可得答案. 【详解】先安排1班和2班去同一个馆，有2种情况， 再随意安排剩下3个班所去的场馆，有种情况， 最后去掉所有班都去同一个馆的情况，有2种情况， 则满足题意的情况数为：. 故选：D 7. 已知双曲线的右焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过双曲线焦点得，联立渐近线与垂线方程得坐标，利用向量关系得，联立方程求解得的值，即得双曲线方程. 【详解】双曲线的右焦点，则，. 双曲线渐近线方程为，过作渐近线的垂线，其斜率为， 垂线的方程为. 由，解得，即； 由，解得，即. ，， 因，对应坐标相等，由纵坐标得：， 化简得，又，解得，， 故双曲线方程为. 故选：C 8. 已知函数，则函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性，可知交点关于对称中心对称，即可求解. 【详解】函数与函数的图象都关于对称. 作出两函数的图象如图，  由图象可知交点个数一共8个（四组，两两关于点对称）， 所以所有交点的横坐标之和等于. 故选：C 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 小松同学所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ） A. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的第百分位数为 B. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的平均数为 C. 根据频率分布直方图估计，天中某骑手的业务量在单及以上的天数为天 D. 根据频率分布直方图估计，天中骑手的业务量的极差为单 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图、平均数的定义和公式、百分位数的定义和公式以及极差的定义和公式进行逐项计算即可. 【详解】对于A： 前四组频率和为：， 前五组频率和为：，所以第70百分位数位于组. 设第70百分位数为，则，解得， 所以每天骑手的人均业务量的第百分位数为70，正确； 对于B： 每天骑手的人均业务量的平均数为： ，B错误； 对于C： 天中某骑手的业务量在单及以上的天数为 ，C正确； 对于D： 天中骑手的业务量的最大值为95，最小值为25，所以极差为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与该抛物线的准线相切 B. 若抛物线上的点到点的距离为，则抛物线的方程为 C. 若，且在之间，则抛物线的方程为 D. 若线段的中点到抛物线准线的距离为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可知，设，由抛物线的焦半径公式即可判断ABD；由已知结合相似三角形的性质得出，由列出方程即可判断C． 【详解】由题可知，设， 对于A，，以线段为直径的圆的半径为， 线段中点即为圆心，到准线的距离为，故A错误； 对于B，，则抛物线的方程为，故B正确； 对于C，过点作抛物线准线的垂线段，垂足为，设准线与轴交点为， 则，，， 所以，则， 又，所以，则， 又，所以，则， 因为，， 所以，则抛物线的方程为，故C正确； 对于D，线段的中点坐标为，到准线的距离为， 则，故D正确； 故选：BCD． 11. 如图，三棱锥中，平面平面，过点且与平行的平面分别与棱、交于两点，若，则下列结论正确的是（ ） A. 若为的中点，则为的中点 B. 若，则四棱锥的体积为 C. 平面平面 D. 三棱锥的外接球的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的性质可得，即可判断A；对于B，先根据得到四边形的面积，再由锥体体积公式求四棱锥的体积即可判断B；对于C，由题意可知，若平面平面，则平面，得到，即可推出与题意矛盾；对于D，根据题意可得的中点为外接球球心，半径，再由体积公式计算即可． 【详解】对于A，根据题意，平面，平面平面， 平面，， 若为的中点，则为的中点，故A正确； 对于B，因为，，所以，则， 又因为，，所以，则， 取的中点，连接，， 则，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 易知，， 因为，所以， 由，可得，且相似比为， ，， ，故B错误； 对于C，平面，平面是变动的， 若平面平面，则平面， 平面，， 又，所以不成立，故C错误； 对于D，，，为公共斜边， 则为三棱锥外接球的球心，外接球半径， 所以外接球体积，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分. 12. 已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据最小正周期，可得的值，根据对称轴方程及的范围，可得值，即可得解析式，代入即可得答案. 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 因为图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以令，则， 所以，则. 故答案为： 13. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的质量（吨）的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如下表所示．（残差观测值预测值） 3 4 5 6 2.5 4 4.5 根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据残差求得时的预测值，从而求得，再根据样本中心一定在回归直线上即可得到答案. 【详解】由题意可得时的预测值为， 所以，解得，即经验回归方程为， 又因为，， 所以，解得， 故答案为： 14. 设函数在上存在导函数，对，都有，当时，成立，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合函数奇偶性，将不等式转化为关于自变量的不等式，进而求解实数m的取值范围即可. 【详解】设，对求导得， 因为当时，，所以当时，， 则在上单调递减， 因为，所以， 即是偶函数，那么在上单调递增， 因为， 将其变形为：，即， 由于是偶函数，所以等价于， 又因为在上单调递减，所以， 则，展开得， 化简得，整理得， 解得或， 因此，实数的取值范围是. 第Ⅱ卷（非选择题 共77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为是正三角形，是中点，所以， 因为直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理、判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点，连接，以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用坐标公式法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，因为平面，所以，， 取中点，连接， 以为坐标原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知中，内角所对的边分别是，且. （1）若，求的面积的值； （2）若边上的高为，求角的大小及的值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）由正余弦定理建立关于的等式，求出，即可求解； （2）由面积公式，余弦定理建立等式，即可得，即，因为，所以，再结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由得，因为，所以， 又，由余弦定理可知，， 即，即，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又， 所以， 综上，，即，因为，所以， 所以，又因为，所以，所以. 17. 已知数列为正项数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的通项公式； （3）在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由递推式可得，结合，即可得到； （2）根据题意作差得，解得，再检验时，即可； （3）根据题意，再由裂项相消法即可求解． 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 作差得，，所以， 令，所以，检验成立，所以； 【小问3详解】 因为， 所以． 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间和极值； （2）当时，证明：； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值，极小值； （2） 当时，设 所以， 因为，所以，所以，所以在上时增函数， 所以，所以； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，然后解不等式，可得 单调性，据此可得答案； （2）当时，设，由导数知识可得其单调性，据此可完成证明； （3）由题可得，在时恒成立， 等价于，其中.然后分，，三种情况，结合多次求导可得答案. 【小问1详解】 当时，， 所以， 令，所以或，，， 所以的增区间为，减区间为， 极大值，极小值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，恒成立， 即恒成立， 设. 所以，令， 所以. 当时，，所以在上是增函数， 所以，所以在上是增函数，所以成立； 当时，令， 则，所以在上是增函数， 所以. 当时，即，此时， 所以在上是增函数，所以， 所以在上是增函数，所以成立； 当时，即，注意到时，. 则，使，则，. 所以在上是减函数，在上是增函数. 注意到，时，， 又由以上分析可得，则，使. 则，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以不满足题意，舍去. 综上所述，. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆上存在点，使原点为的重心，求直线的方程； （3）设椭圆的上、下顶点分别为，若直线与y轴交于点，直线与交于点Q，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2） （3） 由题意可知，，， 所以直线的方程为，即 直线的方程为，即 所以 由韦达定理可知，由， 代入上式得 ， 所以，即点， 所以，， 所以（定值） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义及离心率公式建立等式即可求解； （2）当直线的斜率为时，点不可能为的重心，舍去 当直线的斜率不为时，设直线的方程为，与椭圆联立，由韦达定理及为的重心，得，代入椭圆方程，即可求解； （3）由题意可知，，，表示出直线，的方程，联立求出，即点，所以（定值） 【小问1详解】 由椭圆的定义知的周长为，，又， ，椭圆方程为 【小问2详解】 当直线的斜率为时，点不可能为的重心，舍去 当直线的斜率不为时，设直线的方程为 ，联立得， 由韦达定理得，因为为的重心， 所以点，又， 即 代入椭圆方程得解得， 所以直线的方程为 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $