4.5 等腰三角形 第3课时 课件 2025-2026学年 湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的性质与判定，通过复习等腰三角形的定义、性质及判定搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知探究，形成完整知识脉络。 其亮点在于以“猜想-验证-证明”为主线，通过“等边三角形内角关系”“逆命题是否成立”等问题链驱动探究，培养逻辑推理能力（数学思维）。例题中8字形、外角倒角模型及规范几何语言表达，强化几何直观与数学语言运用。课堂练习分层设计，助力学生巩固知识，教师可借此提升教学效率，促进学生空间观念与推理意识发展。

4.5 等腰三角形 第3课时 第四章 三角形 数学湘教版八年级上册 1.掌握等边三角形的性质与判定定理； 2.会利用等边三角形的性质与判定定理进行简单的推理与计算； 3.经历探索等边三角形的性质与判定定理的过程，培养学生从猜想验证到严谨证明的科学思维； 4.在探究等边三角形与判定的数学活动中，培养动手实践、逻辑推理能力，积累几何探究经验，逐步发展空间观念与几何直观素养. 重点 难点 学习目标 1.什么是等腰三角形？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.等腰三角形具有哪些性质呢？ ①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； ③等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合(三线合一). 3.判定三角形是等腰三角形的有哪些？ ①定义法 ②等角对等边. 复习回顾 (1)前面我们学了等边三角形，你还记得等边三角形的概念？ 三条边都相等的三角形是等边三角形，即腰和底边相等的等腰三角形. (2)等边三角形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ B A C 等边三角形也是轴对称图形，它有3条对称轴. 我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的全部性质，那么等边三角形还有其他特殊性质吗？ 探究新知 如图，△ABC是等边三角形，则AB=AC=BC. 由于AB=AC，则根据等腰三角形的性质定理得，∠B=∠C. 同理，由于AC=BC，因此∠A=∠B. 从而∠A=∠B=∠C， 根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C=180° 因此∠A=∠B=∠C=60°. 等边三角形的三个内角的大小之间有什么关系呢？ A C B 结论：等边三角形的各角都等于60º. 探究新知 等 边 三 角 形 的 性 质 在△ABC中，AB=BC=CA 在△ABC中，∠A=∠B=∠C=60° 三边都相等 三个内角都相等 几何语言 几何语言 轴对称图形，它有3条对称轴 A C 探究新知 我们知道等边三角形的三个角相等，你能写出它的逆命题吗？其逆命题成立吗？ 逆命题：三个角相等的三角形是等边三角形. 逆命题成立. 你能证明这个逆命题吗？ 探究新知 三个角相等的三角形是等边三角形. A C B 证明：如图，在△ABC中， 由于∠A=∠B，则AC=BC. 同理可由∠B=∠C得：AB=AC 于是AB=AC=BC，因此△ABC是等边三角形. 几何语言：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形. 探究新知 我们得到等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言： 在△ABC中，∠A=∠B=∠C 所以△ABC是等边三角形. A C B 探究新知 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 哪个角是60°呢？ A C B 证明：情形1 设∠A=60°， 根据三角形内角和定理得： ∠B+∠C=180°-∠A=180°-60°=120°. 由于AB=AC，因此∠B=∠C=60°. 于是△ABC是等边三角形 如图，在△ABC中，AB=AC，且有一个角为60°，求证：△ABC是等边三角形 探究新知 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 哪个角是60°呢？ A C B 证明：情形2 设∠B=60°. 由于AB=AC，因此∠C=∠B=60°, 从而∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60° 因此△ABC是等边三角形. 如图，在△ABC中，AB=AC，且有一个角为60°，求证：△ABC是等边三角形 探究新知 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 哪个角是60°呢？ A C B 证明：情形3 设∠C=60°. 与情形2类似， 同理可证△ABC是等边三角形. 如图，在△ABC中，AB=AC，且有一个角为60°，求证：△ABC是等边三角形 注意：对于未确定的角需进行分类讨论，分别证明. 探究新知 我们得到等边三角形的判定2： 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 顶角、底角都可以 几何语言： 在△ABC中，AB=AC，∠A=60° 所以△ABC是等边三角形. A C B 探究新知 例1 如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.求证：△ADE是等边三角形. A D E B C 分析：由△ABC是等边三角形得：∠EAD=∠BAC=60°，再由AD=AE可得△ADE是等边三角形. 证明：因为△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=60°(等边三角形的性质定理). 因为∠EAD=∠BAC=60°，AD=AE， 所以△ADE是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). 教材 例题 应用新知 例2 如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. C B O D A E F 解：因为△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形， 所以AO=BO=CO=DO，∠AOB=∠COD=60°. 因为 A，O，D三点共线，所以 ∠DOB=∠COA=120°， 所以△COA ≌△DOB(SAS)，所以∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F， ∠EFB+∠EBF+∠BEF=180°，∠OFA+∠FAO+∠AOF=180° 因为∠EFB=∠AFO，所以∠AEB=∠AOB=60°. 经典例题 8字形 应用新知 例3 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F. (1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数． 解：(1)因为△ABC是等边三角形， 所以∠BAC=∠B=60°，AB=AC， 因为BD=AE，所以△ADB≌△CEA(SAS)， 所以AD=CE； 分析：(1)由△ABC是等边三角形得：∠BAC=∠B=60°，AB=AC，再由BD=AE，可得△ADB≌△CEA，从而AD=CE. 经典例题 应用新知 例3 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F. (1)求证：AD＝CE；(2)求∠DFC的度数． 解：(2)因为△ADB≌△CEA， 所以∠BAD=∠ACE， 所以∠DFC=∠ACE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°. 分析：(2)由△ADB≌△CEA得：∠BAD=∠ACE，结合∠DFC是△ACF的外角，即可求得. 经典例题 注意 求三角形角度值或角度关系：8字形、外角倒角. 外角 应用新知 教材 练习 1.在等边三角形ABC内任取一点O，作OE// AB，OF // AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？ A B C O E F 解：△OEF是等边三角形. 理由：如图，因为△ABC是等边三角形， 所以∠B=∠C=60°， 因为OE//AB，OF//AC， 所以∠OEF=∠B=60°，∠OFE=∠C=60°， 所以∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=60°， 所以△OEF是等边三角形. 课堂练习 2.如图，CD平分∠ACB，AE// DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE=60°.求证：△ACE是等边三角形. A C B E D 证明：因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=∠BCD. 因为AE// DC，所以∠ACD=∠CAE，∠BCD= ∠E， 所以∠CAE =∠E，所以CA=CE， 所以△ACE 是等腰三角形. 又因为∠ACE =60°，所以△ACE是等边三角形. 教材 练习 课堂练习 3.如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF// BA，且DF平分∠CDE. 求证：△ABC是等边三角形. A B C D E F 教材 练习 课堂练习 4.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=(　　) A．20° B．25° C．30° D．35° C 5.如图，已知等边三角形ABC的周长为18 cm，△ADE是等边三角形，EC＝2 cm，则△ADE的周长为________. 12cm A B C D E 课堂练习 6.如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AC上，且AE=AD，则∠BAD的度数为____，∠CDE的度数为____.　 30° 15° 课堂练习 7.如图，∠A =∠B，CE∥DA. 求证：CE = CB. 需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形？ A B E C D 证明：因为CE∥DA，所以∠A＝∠CEB . 因为∠A=∠B，所以∠CEB=∠B， 所以CE=CB . 再增加∠B=60°，可使△BCE成为等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) 也可增加：BE=CE、BE=BC(三边都相等的三角形是等边三角形) (答案不唯一). 课堂练习 判定 ①等边三角形的三边相等； ②等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴； ③等边三角形的三个内角都相等，每个内角都是60°. ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 性质 注意 三角形角度关系证明或角度值求解常用的模型：8字形、三角形的外角. 等边三角形的性质与判定 总结归纳 $