4.5.2等腰三角形的判定 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形的判定，核心为等角对等边定理，通过海上救生船实际问题导入，衔接上节等边对等角性质，以画图探究、折叠推理构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于强化性质与判定的互逆辨析，结合平行+角平分线等经典模型培养几何直观与推理意识，分层练习覆盖基础到综合，易错点与口诀助力理解。学生能提升逻辑推理能力，教师可直接用于高效教学。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月12日 4.5.2等腰三角形的判定 第4章 三角形 湘教版数学八年级下册4.5.2 等腰三角形的判定同步讲义与练习 本节核心考点：掌握等腰三角形的两大判定方法，重点熟记等角对等边核心定理，区分等腰三角形的性质与判定的互逆关系，能熟练完成角度推边长、几何证明题型，是几何推理题高频必考内容。 一、核心知识点精讲 1. 判定与性质的互逆关系（核心逻辑） 上一节学习等腰三角形性质：由边相等 → 推出角相等（等边对等角）。 本节学习等腰三角形判定：由角相等 → 推出边相等（等角对等边）。 二者互为逆定理，是考试最易混淆的知识点，必须严格区分。 2. 等腰三角形判定定理（核心必考） 判定定理：等角对等边 定理内容：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形。 几何语言（满分模板）： ∵ ∠B = ∠C（已知/已证） ∴ AB = AC（等角对等边） ∴ △ABC是等腰三角形 关键前提：必须是同一个三角形中，等角对等边，跨三角形不成立。 3. 等腰三角形两种判定方法（全覆盖） 方法一：定义法（边判定） 有两条边相等的三角形是等腰三角形。适用于题干直接给出边长、线段相等的题型。 方法二：定理法（角判定） 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。适用于角度计算、平行推导等题型，是考试主流考法。 4. 性质与判定精准区分（秒杀辨析） 性质：边→角（已知等腰，得角相等） 判定：角→边（证出角等，得等腰） 答题写依据绝对不能混用，写错直接扣分！ 5. 常见出题隐藏条件（解题突破口） 1. 平行线条件：两直线平行，内错角、同位角相等，可推导三角形两角相等； 2. 角平分线条件：角平分线分出两个相等角，可构造等角； 3. 对顶角、公共角、余角补角相等，均可转化为三角形内角相等。 6. 经典二级结论（快速解题） 平行+角平分线 → 等腰三角形（考试超级高频模型） 原理：平行得等角+角平分得等角 → 三角形两角相等 → 等角对等边。 二、选择题（每题4分，共24分） 1. 等腰三角形判定的核心定理是（） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三线合一 D. 轴对称性质 2. 在△ABC中，∠A=∠B=50°，则△ABC是（） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 无法判断 3. 下列说法正确的是（） A. 等边对等角是判定定理 B. 等角对等边是性质定理 C. 两角相等可判定等腰三角形 D. 任意三角形都可等角对等边 4. 已知△ABC中，∠1=∠2，则可推出（） A. 对应两边相等 B. 三边相等 C. 直角三角形 D. 无法推导 5. “平行+角平分线”模型最终可判定（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 全等三角形 6. 不能判定三角形为等腰三角形的是（） A. 两角相等 B. 两边相等 C. 三角都相等 D. 任意两角互补 三、填空题（每题4分，共24分） 7. 等腰三角形判定定理：在同一三角形中，等角对________。 8. 性质是边推角，判定是________推________。 9. 有两条边相等的三角形是________三角形。 10. 平行+________可构造等腰三角形模型。 11. 在△ABC中，∠A=70°，∠B=70°，则相等的边是________。 12. 等角对等边的使用前提是________。 四、解答题（共52分） 13.（16分）基础证明题： 已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。 14.（18分）经典模型题（平行+角平分线）： 已知：AD平分∠BAC，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形。 15.（18分）综合计算题： 已知：在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，判断△ABC的形状，并说明理由。 五、参考答案与详细解析 一、选择题 1.B（等腰三角形判定核心：等角对等边）； 2.B（两角相等，等角对等边，为等腰三角形）； 3.C（两角相等可判定等腰三角形；等边对等角是性质，等角对等边是判定）； 4.A（同一三角形两角相等，对应两边相等）； 5.B（平行+角平分线必出等腰三角形，经典必考模型）； 6.D（两角互补无法判定等腰三角形）。 二、填空题 7. 等边 8. 角；边 9. 等腰 10. 角平分线 11. AC、BC 12. 在同一个三角形中 三、解答题 13. 证明： ∵ ∠B=∠C（已知） ∴ AB=AC（等角对等边） 14. 证明： ∵ AD∥BC（已知） ∴ ∠BAD=∠B，∠CAD=∠C（两直线平行，内错角相等） ∵ AD平分∠BAC（已知） ∴ ∠BAD=∠CAD（角平分线定义） ∴ ∠B=∠C（等量代换） ∴ AB=AC（等角对等边） ∴ △ABC是等腰三角形。 15. 解：△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵ ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） ∴ ∠C=180°−∠A−∠B=180°−40°−70°=70° ∴ ∠B=∠C=70° ∴ AB=AC（等角对等边） ∴ △ABC是等腰三角形。 本节易错必记（高频扣分点） 1. 最大易错点：严格区分性质与判定：等边对等角（性质）、等角对等边（判定），写依据绝对不能混用； 2. 等角对等边必须在同一个三角形中使用，跨三角形无效； 3. 证明等腰三角形优先找两角相等，是最常用、最便捷的方法； 4. “平行+角平分线=等腰三角形”模型必须熟练掌握，考试必考； 5. 角度计算后判定形状，必须先算角、再证边、最后下结论，步骤不能缺。 本节核心背诵口诀 边对等角是性质，角对等边是判定； 同三角内才可用，跨图相等不成立； 平行搭配角平分，等腰三角必成型； 先判角来再判边，步骤规范不丢分。 等腰三角形性质与判定 终极对比总结 性质（已知等腰）：两边相等→两角相等、三线合一、轴对称； 判定（证明等腰）：两边相等 或 两角相等→等腰三角形。 学习目标 1.掌握等腰三角形的判定方法；（重点） 2.会运用等腰三角形的判定定理进行相关证明和计算. 3. 学习目标 A B C 如图，位于海上 B、C 两处的两艘救生船接到 A 处遇险船只的报警，当时测得 ∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 等腰三角形的判定 1 探究：任意画∠EBC，在线段 BC 的同侧，以 C 为顶点作∠FCB，使∠FCB =∠EBC，BE 与 CF 交于点A，得到△ABC，如图所示. 用圆规量一量 AB 和 AC，它们相等吗？由此，你能发现什么? A F E C B 猜想：可以发现 AB = AC，从而△ABC 是等腰三角形. 以过点 A 的一条直线为折痕对折，使得射线 AC 与射线 AB 重合，折痕与 BC 的交点记作 D，则 AD 为∠BAC 的平分线. A B C D 推理证明 如图，在∠ABC 中，∠B =∠C， 在△ABD 和△ACD 中， ∠B = ∠C， ∠BAD = ∠CAD， AD = AD， 所以△ABD≌△ACD (角角边). 从而 AB = AC，因此△ABC 是等腰三角形 所以 AC = AB ( )， 即△ABC 为等腰三角形. 因为∠B =∠C ( )， 等腰三角形的判定方法 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简称“等角对等边”）. 已知 等角对等边 在△ABC 中， 应用格式： B C A ( ( 知识要点 A B C D 2 1 因为∠1 =∠2， 所以 BD = DC (等角对等边). 因为∠1 =∠2， 所以 DC = BC A B C D 2 1 (等角对等边). 错，因为两角都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图，下列推理正确吗? 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别是 AB，AC 上的点，且 DE∥BC. 求证：△ADE 为等腰三角形. 证明：因为 AB = AC， 所以∠B =∠C (等边对等角). 又因为 DE∥BC， 所以∠ADE =∠B，∠AED =∠C. 因此∠ADE =∠AED. 于是△ADE 为等腰三角形(等角对等边). 典例精析 证明：∵ AD∥BC， ∴∠ADB =∠DBC. ∵ BD 平分∠ABC， ∴∠ABD =∠DBC. ∴∠ABD =∠ADB， ∴ AB = AD. 例2 已知：如图，AD∥BC，BD 平分∠ABC. 求证：AB = AD. B A D C 总结：角平分线 + 平行线，可得等腰三角形. 例3 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC. 分析 要证明 AB = AC，可先证明∠B =∠C. 因为∠1 =∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2 的关系. A B C D E 1 2 证明：因为 AD∥BC， 所以∠1 =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 =∠C (两直线平行，内错角相等). 又因为∠1 =∠2， 所以∠B =∠C. 因此 AB = AC (等角对等边). A B C D E 1 2 例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O. 过 O 作 EF∥BC 交 AB 于 E，交 AC 于 F. 探究 EF、BE、CF 之间的关系. 解：EF = BE + CF. 理由如下：∵ EF∥BC， ∴∠EOB =∠CBO，∠FOC =∠BCO. ∵ BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO， ∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO， ∴BE＝OE，CF＝OF， ∴ EF＝OE + OF＝BE + CF. A B C O E F 若 AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 1. 下列条件中，可以判定 是等腰三 角形的是( ) D A. B. C. 三角形的一个角为 D. ， 返回 考试考法 13 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分 ∠ABC交AC于D，CE平分∠ACB交BD于E，图中 等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C 考试考法 14 返回 所以∠ABD＝∠EBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°，所以△EBC是等腰三角形．因为∠ABD＝∠A＝36°，所以△ABD是等腰三角形．因为∠CED＝∠ECB＋∠EBC＝72°，且∠CDE＝∠ABD＋∠A＝72°，所以∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝72°，所以△EDC和△BCD是等腰三角形．综上所述，共有5个等腰三角形．故选C. 考试考法 3. 母题教材P136习题 如图，一艘海轮位 于灯塔的南偏东 方向的 处，它以每 小时40海里的速度向正北方向航行，2小时 后到达位于灯塔的北偏东 方向的 处， 则处与灯塔 的距离为________海里． 80 返回 考试考法 16 返回 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点E，F分别在BA，BC的延长线上，∠ABC，∠ACF与∠EAC的平分线相交于点D.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有________个． 3 考试考法 17 5.如图，在中，，点在 的 延长线上，于点，交于点 ， 若，，则 的长度为____. 10 考试考法 18 （第5题） 【点拨】因为，所以 .因为 ，所以 ，所以 ， ，所以 .因为 ，所以 ，所以.因为 ， 所以 ，所以 . 返回 考试考法 19 6．如图，在△ABC中，∠A＝∠BCA，∠ABC＝100°，D是AC的中点，延长BC至点E，使CE＝CD，连接BD和DE，则∠BDE的大小为________°. 110 考试考法 20 返回 7.【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题， 请你完成解答，提炼方法并完成题（2）. （1）如图①，在中，平分，交于点 ，过 点作的平行线，交于点，请判断 的形状，并 说明理由. 考试考法 21 【解】是等腰三角形，理由如下：因为平分 ， 所以 . 因为，所以，所以 ， 所以 是等腰三角形. 考试考法 22 【方法应用】 （2）如图②，在平行四边形 中， 平分，交边于点，过点 作交的延长线于点，交于点 . ①图中一定是等腰三角形的有( ) B A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考试考法 23 ②已知，，求 的长. 考试考法 同（1）理得 .所以 . 因为，所以 .因 为，所以 ， 所以，所以 .因为， 所以 .因为，所以 ， 所以 .因为 ，所以 . 返回 考试考法 25 等腰(边)三角形的判定 等腰三角形的判定 等角对等边 (注意是指同一个三角形中) 等边三角形的判定 1. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 2. 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 课堂小结 【点拨】因为AB＝AC，∠A＝36°，所以△ABC是等腰三角形，且∠ABC＝∠ACB＝＝72°.又因为BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， $