精品解析：河南省部分学校2025-2026学年高三上学期1月第四次联考数学试题

2025-2026年度上学期河南省高三年级第四次联考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 3 B. 5 C. D. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 6. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（ ） A. 2千克 B. 3千克 C. 5千克 D. 7千克 8. 已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和 10. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（ ） A. B. C. 设为内一点（含边界），的最小值为6 D. 设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为 11. 已知函数的定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则是的极值点 B. 若在上单调递增，则函数在上单调递减 C. 若函数在上单调递增，则在上单调递减 D. 若在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在上单调递增，则______. 13. 已知函数没有零点，则______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值. 16. 如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点． （1）证明：． （2）求二面角的正弦值． 17. 如图，在边长为2的等边中，为内一点，. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 18. 甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立. （1）求前三局中甲恰好参与了两局的概率； （2）求第局有甲参与的概率； （3）求第局是甲、乙对打的概率. 19. （1）求函数的单调递增区间； （2）若存在使得对任意，都有，求的最小值； （3）已知，且，求的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度上学期河南省高三年级第四次联考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交并补运算定义即可求得结果. 【详解】，. 故选：B. 2. 若复数为纯虚数，则实数（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法可得且为纯虚数，即可求解. 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，解得,故D正确. 故选：D 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据函数奇偶性和值域分析判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且， 可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故BC错误； 又因为，则，故D错误； 故选：A. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合三角函数的性质、充分条件与必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若，则或，.或； 若，则或，.或； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（ ） A. 120种 B. 144种 C. 240种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，将这两天视为一个整体，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，即可求解. 【详解】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐， 然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，则不同的方案共有种. 故选：C. 6. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离和半径，可得，再求出，即可求出结果. 【详解】在直线中，令，得，故，令，得，故， 所以， 圆心到直线的距离，所以， 由，得，化简得，解得. 故选：C. 7. 现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（ ） A. 2千克 B. 3千克 C. 5千克 D. 7千克 【答案】C 【解析】 【分析】记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的等差数列为，的公差为，由题意用基本量列不等式，解得，结合总质量求解. 【详解】记这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成的等差数列为，的公差为. 由题意可得， 所以，即，则， 因为， 所以， 解得，质量最重的盒子最少是5千克. 故选：C. 8. 已知直线与平面所成的角为，直线与直线垂直，则直线与平面所成角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面所成的角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，再根据直线与平面所成角的范围即可判断. 【详解】如图，在直三棱柱中，，平面平面， 平面平面，直线在平面内的投影是直线， 则直线与平面所成的角都是， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 不妨设直线为直线，平面为平面，直线在平面内，此时满足直线与平面所成的角为，直线与直线垂直. 当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最大值，最大值为； 当与平行或重合时，直线与平面所成的角取得最小值，最小值为. 所以直线与平面所成角的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. B. C. D. 数列的前项和 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数列前项和与数列的关系求得通项公式，即可判断ABC选项，从而得到数列的通项公式，通过等比数列前项和求得. 【详解】当时，，A选项错误； 当时，， 验证，当时，，∴，C选项正确； ∴，B选项正确； ∴， ∴，D选项正确 故选：BCD. 10. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，则（ ） A. B. C. 设为内一点（含边界），的最小值为6 D. 设为等腰梯形内一点（含边界），若，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】延长交于点，则有，，利用向量的线性运算判断A；由平面数量积的运算判断B；利用在上投影向量的最小模长，求的最小值判断C；过点作直线的平行线，分别交，于点，由向量的运算可知点在线段上，可求的取值范围判断D. 【详解】A，延长交于点，易知是等边三角形，有， 四边形是平行四边形，， ，故正确； B，由A可知，是边长为4的等边三角形， ，故错误. C，在上的投影向量的模长的最小值为，，正确. D，过点作直线的平行线，分别交，于点，. 因为，点在线段上， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，，所以的取值范围为，正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则是的极值点 B. 若在上单调递增，则函数在上单调递减 C. 若函数在上单调递增，则在上单调递减 D. 若在上单调递增，在上单调递减，则函数在上单调递增，在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据极值点的定义、导数和单调性进行逐项判断即可. 【详解】若为常函数，满足，但不是的极值点，A错误. 因为在上单调递增，所以当时，，， 当时，，所以，， 所以函数在上单调递减，B正确. 易知，由B选项可得，若在上单调递增，则在上单调递减， 即在上单调递减，C正确. 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，当时，，， 当时，，所以，，， 所以在上单调递增，由C选项可得在上单调递减，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在上单调递增，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的单调性以及周期性分析求解即可. 【详解】因为，则， 且，则，， 若函数在上单调递增， 注意到函数的最小正周期，且， 则，解得. 故答案为：. 13. 已知函数没有零点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】函数没有零点可以转化为函数与直线无交点，求出函数的值域即可求出答案. 【详解】函数没有零点， 即无解， 可化为， 即函数与直线无交点， 因为，所以， 若函数与直线无交点，则，解得， 所以若函数没有零点，则. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率______. 【答案】3 【解析】 【分析】先求出抛物线方程为，设点的坐标为，求出，及，在中，，即可求解． 【详解】如图所示： 抛物线的焦点为，准线为， 则，得，得抛物线方程为， 设抛物线与双曲线在第一象限交于点的坐标为， 过点作准线，交准线于点，则， 由，得，得， 再由及，解得， 由，得， 在中，， 整理得，得， 即，得. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，与轴交于点，且是的中点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据离心率，可得a值，根据的关系，可得，即可得答案. （2）根据直线方程，可得P点坐标，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据条件，可得，联立求解，可得m值. 【小问1详解】 因为右焦点为，所以， 因为离心率，所以， 则，所以的方程为. 【小问2详解】 由与轴交于点，令，解得，则， 联立直线与椭圆，得， 判别式，解得或， 设， 则， 因为是的中点，所以， 解得， 则，解得符合题意， 所以的值为 16. 如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点． （1）证明：． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得到线面垂直即可得到线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后由二面角的向量求法求解即可； 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以. 在等边中，是的中点，所以. 因为，平面.所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 解：不妨设，平面，平面，则平面平面，在等边中，做，则平面， 以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 取，得， 设平面的法向量为，则， 取，得. 又， 所以，所以二面角的正弦值为. 17. 如图，在边长为2的等边中，为内一点，. （1）若，求的面积； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理求得PC，再利用三角形的面积公式求解； （2）设，得到，，然后利用正弦定理及差角公式求解即得. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理得：， 即，解得， 所以； 【小问2详解】 在中，因为，， 则，设，则，， 在中，由正弦定理得，即， 即，即，则， 所以. 18. 甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局甲、乙对打，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打.假设甲、乙、丙三人打台球的水平相同，每局台球的结果相互独立. （1）求前三局中甲恰好参与了两局的概率； （2）求第局有甲参与的概率； （3）求第局是甲、乙对打的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况：甲第二局轮空和甲第三局轮空，分别求出对应的概率然后求和即可. （2）记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为，然后根据题意列出等式，进而求出即可. （3）记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为，然后列出等式，进而求出，从而求出结果. 【小问1详解】 分两种情况. 第一种情况：甲第二局轮空，即第一局甲负，此时第三局一定有甲参与，其概率为. 第二种情况：甲第三局轮空，此时第二局甲负，第一局甲胜，其概率为 故所求概率为. 【小问2详解】 记第局有甲参与的概率为，则第局有甲参与的概率为 若第局有甲参与，则第局有甲参与的概率为； 若第局没有甲参与，则第局一定有甲参与，所以， 即 因为，所以，所以，即. 【小问3详解】 第局是甲、乙对打，则第局丙轮空， 记第局有丙参与的概率为，则第局有丙参与的概率为. 若第局有丙参与，则第局有丙参与的概率为； 若第局没有丙参与，则第局一定有丙参与，所以， 即. 因为，所以，所以，即 第局是甲、乙对打的概率为. 19. （1）求函数的单调递增区间； （2）若存在使得对任意，都有，求的最小值； （3）已知，且，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再令其大于0，解出即可； （2）分和讨论即可； （3）求导得，再分和讨论即可. 【详解】（1）. 令，得，解得. 故的单调递增区间为. （2），若，则. 若，则， 所以的最大值的最小值为0，即的最小值为0. （3）令函数， ①当时，，， 所以在上单调递增. . 因为， 所以， 当且仅当，时，等号成立. ②当时，令，得或，即或. 当时，. 当时，， 所以，. 当时，若， 则，所以. 若，则， 所以，所以. 故当时，在上单调递减，在上单调递增. ， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 故. . 因为，所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时. 因为，所以的最大值为，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $