精品解析：吉林省延边州2025～2026学年上学期九年级教学质量检测数学期末测试卷

延边州2025～2026学年度上学期九年级教学质量检测 数学试题 数学试题共8页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，不可能事件的是（ ） A 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 买一张彩票，中奖500万 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天太阳从西方升起 4. 已知是方程的一个实数根，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 9. 一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是__________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________． 11. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12 解方程： 13. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费64万元，今年投入图书购置经费100万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 14. 如图，已知是的直径，点，在上，．若，求的度数． 15. 如图是某商场的停车场，现仅剩下“”、“”、“”三个车位． （1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是 ． （2）分别记这三个车位为A、B、C，张明和王红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（每个小正方形的边长均为个单位长度）． （1）先将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到． （2）请画出关于原点成中心对称的． （3）连接、，则四边形的形状为 ． 17. 如图，在正方形内部取一点，连接、，使．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 18. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 19. 某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． （2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ （3）店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． （1）填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． （2）将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 21. 青蛙起跳后的运动路线为抛物线．某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （2）已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图①，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． （3）仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面每个点在竖直方向上的距离不少于2cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 22. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． （1）求点和点的坐标． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当矩形为正方形时，直接写出的值． （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边州2025～2026学年度上学期九年级教学质量检测 数学试题 数学试题共8页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，根据其顶点式可以判断得解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴其顶点为． 故选：C． 3. 下列事件中，不可能事件的是（ ） A. 射击运动员射击一次，命中靶心 B. 买一张彩票，中奖500万 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 明天太阳从西方升起 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件类型的区分，需熟记不可能事件、必然事件和随机事件的概念．根据不可能事件的定义（一定不会发生的事件），判断各选项：A、B为随机事件，C为必然事件，D为不可能事件． 【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故本选项不符合题意； B、买一张彩票，中奖500万，是随机事件，故本选项不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意； D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 已知是方程的一个实数根，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，把代入方程得出，求出方程的解即可． 【详解】解：∵x=1是方程的根， ∴代入得：， 即， ∴ 故选：C． 5. 已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 6. 如图，正方形内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及扇形面积公式． 根据正方形得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵，正方形内接于， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，由关于的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 故答案：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 9. 一个二次函数的图象开口向下，经过点，那么这个二次函数的表达式可以是__________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，由二次函数图象开口向下知，由经过点知，取，即可． 【详解】解：设二次函数的表达式为， ∵图象开口向下， ∴， ∵图象经过点， ∴当时，， 故，表达式为（其中），取，，得， 故答案为：(答案不唯一)． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】由条件可知，， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧，若该等边三角形的边长为2，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长计算公式，根据“莱洛三角形”定义，其周长就是三条圆心角为，半径为2的弧的和，据此即可求解． 【详解】解：由题意得这个“莱洛三角形”的周长是． 故答案为： 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法． 利用因式分解法，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 即或， 解得：，． 13. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某中学为了给学生更加良好的阅读体验，决定加大图书购置经费的投入．前年投入图书购置经费64万元，今年投入图书购置经费100万元．求该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意合理列出方程是解题的关键． 设该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为x，利用增长率的关系列出方程运算即可． 【详解】解：设该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为x， 根据题意列方程得：， 解得：或， ∵，应舍去， ∴， 答：该校这两年投入图书购置经费的年平均增长率为． 14. 如图，已知是的直径，点，在上，．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角与圆心角的关系是解题的关键． 利用圆周角定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 15. 如图是某商场的停车场，现仅剩下“”、“”、“”三个车位． （1）若有一辆小汽车停车，则这辆车停在“”号车位的概率是 ． （2）分别记这三个车位为A、B、C，张明和王红同时来到该处停车，用画树状图或列表的方法，求两人停车在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的运算，画树状图或列表的方法求概率，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键． （1）直接运算概率即可； （2）利用列表法作出表格，再分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵只剩下三个车位， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意列表得： 王红 张明 一共有种情况，其中相邻的情况有，，，四种情况， ∴， 答：两人停车在相邻车位的概率为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．（每个小正方形的边长均为个单位长度）． （1）先将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到． （2）请画出关于原点成中心对称的． （3）连接、，则四边形的形状为 ． 【答案】（1）画图见详解 （2）画图见详解 （3）平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”的平移规律，确定平移后各顶点坐标，进而画出平移后的图形； （2）利用“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的性质，得到对称点坐标，再画出中心对称图形； （3）通过观察图形中线段的平行且相等关系，结合平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）进行判断． 【小问1详解】 解：由题意画图，如图所示； 【小问2详解】 解：由题意画图，如图所示； 【小问3详解】 解：如图所示， 由图可得，且， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的图形平移、中心对称变换，以及平行四边形的判定，熟练掌握图形变换的坐标规律和特殊四边形的判定方法是解题关键． 17. 如图，在正方形内部取一点，连接、，使．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是正方形，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与旋转的性质，结合全等三角形的判定与性质是解题关键．通过旋转得到线段与角的等量关系，利用正方形的性质证明三角形全等，进而推出四边形的角为直角且邻边相等，以此判定四边形形状． 【详解】解：判断：四边形正方形． 理由：将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 在正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 18. 如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． 【小问1详解】 证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 19. 某童装店元旦促销一款儿童加绒卫衣．经核算，该卫衣进价为40元/件．当销售价定为80元/件时，平均每天可售出20件．为了迎接“元旦”促销，商店决定采取降价措施，以便达到“薄利多销”的效果．市场调研显示：若每件降价1元，则平均每天可多售出2件．设每件卫衣降价x元（x为非负整数，且售价不低于进价）． （1）每天可销售 件，每件盈利 元（用含x的代数式表示）． （2）了扩大销售量，尽快减少库存，每件卫衣降价多少元时，平均每天可赢利1050元？ （3）店长希望平均每天能赢利1500元，这个愿望能实现吗？说明理由． 【答案】（1）, （2）每件卫衣降价25元时,平均每天可盈利1050元 （3）不能实现．见解析 【解析】 【分析】（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可； （2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得； （3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得． 本题考查了一元二次方程的应用-销售问题，找到等量关系是解题关键． 【小问1详解】 设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：,． 【小问2详解】 解：由题意得 解得, ∵为了扩大销售量,尽快减少库存, ∴ 答：每件卫衣降价25元时,平均每天可赢利1050元． 【小问3详解】 解：不能实现． 理由：由题意得 整理得 ∴此方程无实数根， 答：每天的赢利不可能达到1500元,所以店长的愿望实现不了． 20. 如图，在平面直角坐标系中，和均为等腰直角三角形，其中，，，且的顶点，．顶点C在第一象限，的顶点，顶点E在第二象限． （1）填空：点E的坐标为 ，点C的坐标为 ． （2）将沿水平方向向右平移，得到，点O，D，E的对应点分别为．设，和的重叠部分的面积为．用含有t的式子表示重叠部分的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的综合、一次函数与几何综合和等腰直角三角形的判定和性质，学会分类讨论是解决本题的关键． （1）过点E作于F，过点C作于点G，根据等腰直角三角形的性质求解即可； （2）根据题意分为三种情况：当点没有过y轴时；当点过y轴时没有过y轴时；当点过直线时，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：过点E作于F，过点C作于点G，如图， ∵和均为等腰直角三角形，且，， ∴，， 由题意得，点，，， ∴，， ∴，， ∴点E的坐标为， ∵是边上的中线， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵是向右平移个单位得到的， ∴顶点为、、， 当点没有过y轴时，如图，此时， ∴，且， 由平移得，， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ； 当点过y轴时没有过y轴时，如图，此时， 同理可得，为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ； 设直线的解析式为， 将点B和点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， 设该点为K，则其坐标为， ∴， ∴当时，点和点K重合，点和点O重合， ∴当点过直线时，如图，此时， ∴， ∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ， 综上所述，． 21. 青蛙起跳后的运动路线为抛物线．某仿青蛙机器人从水平地面起跳并落回地面，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式． （2）已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．如图①，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点在轴的正半轴上．求起跳点与落地点的水平距离的长． （3）仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于2cm，才能安全通过．如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．如图③，若团队人员想放置一个平台，使仿青蛙机器人从平台上起跳，且能够刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1）顶点的坐标为，抛物线的解析式为 （2）起跳点与落地点的水平距离的长为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，核心是利用抛物线的顶点式求解解析式，并结合平移、函数值计算等知识解决实际问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）通过抛物线的顶点坐标特征（最高点对应顶点），结合已知的水平距离和高度确定顶点，再代入原点坐标求出抛物线解析式； （2）根据“抛物线形状不变”判断其平移规律，得到新抛物线解析式后，求与轴交点的正坐标，进而得到水平距离； （3）先求出障碍物上表面的直线解析式，再结合“竖直距离不少于”的条件，通过函数差值的最小值建立不等式，求解平台高度． 【小问1详解】 解：其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为， 顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 图像过原点， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：抛物线的形状不变，， 新的抛物线可以看作由开始的抛物线向上平移了个单位长度得到的， 新的抛物线的表达式为， 当时，， 解得：，（舍去）， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 【小问3详解】 解：设直线的函数表达式为， 由题意，，， 将，代入得： 解得： 则， 设该平台的高度为， 由题意，设从平台起跳的函数表达式为， 设， 由题意知，， 当时，取最小值为， 解得， 该平台的高度为． 22. 如图，抛物线与x轴的正半轴交于点、与轴交于点．点在该抛物线上运动，设点的横坐标为，过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． （1）求点和点的坐标． （2）当点与点重合时，求的值． （3）当矩形为正方形时，直接写出的值． （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为 （2） （3）；；； （4）或 【解析】 【分析】本题主要涉及抛物线的性质，点的坐标计算，正方形的性质以及函数的增减性，合理分类讨论矩形的变化情况是解题的关键． （1）把和分别代入运算求解即可； （2）利用二次函数式子表达出，从而得到，令和的纵坐标相等列式运算即可； （3）分类讨论矩形的变化情况，再令一组邻边相等，列式运算即可； （4）分类讨论矩形的变化情况，分析求解即可． 【小问1详解】 解：把代入可得：， ∴， 解得：，， ∴； 把代入可得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵的横坐标为， ∴， ∵轴于点， ∴， ∵， ∴当重合时，则， 解得：； 【小问3详解】 解：当有一组邻边相等时，矩形为正方形，由（2）可得：当时重合； ①当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ②当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ③当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； ④当时，如图所示： ∴，， 令可得：， 解得：或（舍去）； 综上，的值为：；；；； 【小问4详解】 ①解：当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ②当时，如图所示： 此时抛物线矩形内没有图像，不符合题意； ③当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小，符合题意； ④当时，如图所示： 此时抛物线在矩形内的部分所对应的函数值既有随增大而减小，又有随增大而增大，不符合题意； 综上，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随增大而减小时，的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $