精品解析：吉林省延边朝鲜族自治州2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

延边州2024~2025学年度上学期九年级教学质量检测 数学试题 数学试题共6页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图案中，中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，明确一个图形绕一个点旋转能和原图形完全重合是中心对称图形来判断即可． 【详解】解：A、C、D不是中心对称图形，B是中心对称图形， 故选：B． 2. 一元二次方程的二次项系数与常数项之和（ ） A. 2023 B. 2025 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将化为一般式，根据一元二次方程二次项系数和常数项的定义分别求出二次项系数和常数项，然后求出对应的和即可． 【详解】解：化为一般式为， 其中二次项系数为，常数项为， ， 二次项系数与常数项之和是， 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x-k）2+h中，其顶点坐标为（k，h）． 4. 甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”；乙口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“学”、“美”．从这两个口袋中各随机取出1张卡片，取出的2张卡片恰好有“数”、“美”两个字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图求概率，解题的关键是找到所求情况数与总情况数，根据：概率所求情况数与总情况数之比．先画出树状图，找到所求情况数与总情况数，即可求解． 【详解】解：树状图如下所示，一共4种等可能情况， 取出的2张卡片恰好有“数”、“美”两个字的情况有1种， ∴取出的2张卡片恰好有“数”、“美”两个字的概率为：， 故选：B． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键．根据圆内接四边形的性质：对角互补，求出，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋，利用总利润=每袋的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：当每袋粽子售价降低x元时，每袋粽子的销售利润为元，每天可售出袋， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”． 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入中得： ， ∴， ∴， 故答案为：2027． 9. 2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（），欣欣家国”“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款上衣3月份销售量＝该款上衣1月份销售量×（1＋该款上衣销售量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】根据题意得：， 故答案为：． 10. 已知的半径为2，点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是_____． 【答案】点在圆外 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和半径大小判定即可． 【详解】解：的半径为2，点到圆心的距离为3， 所以， 则点与的位置关系是点在圆外， 故答案为：点在圆外． 11. 若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键． 12. 如图，在等边中，，以为直径作半圆，交边、于点、，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，掌握扇形的面积公式是解题的关键．取中点，连接，由等边三角形的性质的求出，等边的高为，等边的高为，根据阴影部分的面积是计算即可． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，等边的高为， ∴， ∴， 同理，等边的高为， ∴阴影部分的面积是 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点．若，则抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数关系的应用是关键．先用根与系数的关系求出，再根据求出，然后由得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：设， 令，则， 由根与系数的关系得：， 则； 令，则， ∴， ∵轴， ∴点D纵坐标为m， 当时，则，解得：或0， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为． 故答案为：． 14. 如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，已知，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，连接，延长交于点H，先利用旋转的性质结合正方形的性质证明是等边三角形，再利用正方形的性质证明，推出是的高，即，利用勾股定理求出，再证明是等腰直角三角形，进而证明是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：连接，延长交于点H， ∵是正方形的对角线，是正方形的对角线，正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的高，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∴或， ，． 16. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】10． 【解析】 【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有（x+1）人患了流感，第二轮有x（x+1）人被传染，然后根据共有121人患了流感即可列出方程解题． 【详解】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人， 依题意得1+x+x（1+x）=121， ∴x=10或x=﹣12（不合题意，舍去）． ∴每轮传染中平均一个人传染了10个人． 【点睛】此题和实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 17. 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出,在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：是的中点，， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的长为． 18. 有两个可以自由转动的均匀转盘、，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为0，甲获胜；否则乙获胜． 你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求出和为0的概率，根据概率的大小判断游戏规则不公平． 【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 列表如下： ╲ 0 0 0 2 2 1 0 3 3 2 共有种等可能的结果，其中和为的结果有种， 甲获胜的概率，乙获胜的概率为：， ∵， 二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 【答案】（1）如图①：四边形即为所求； （不唯一）． （2）如图②：四边形即为所求； （不唯一）． （3）如图③：四边形即为所求； （不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可． （2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可． （3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围． （2）当方程的一个根为时，求的值及另一个根． 【答案】（1） （2）的值为，另一个根为 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程的解法，熟记根的判别式与方程的解法是解本题的关键． （1）根据方程有实数根，可得，再建立不等式即可得到答案； （2）把代入原方程可得，再代入原方程解方程即可． 【小问1详解】 解：由已知可得： ，即， 解得， 则的取值范围是； 【小问2详解】 解：把代入原方程得： ，解得， 原方程化为，即 解得，， 则的值为，另一个根为． 21. 如图，抛物线中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 … … 2 … （1）求该二次函数的解析式． （2）当时，的最小值为．直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合，解题关键是利用待定系数法求出解析式，再求出顶点来确定自变量的取值范围； （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）求出顶点坐标，再确定自变量取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：因为抛物线解析式为， 所以抛物线对称轴是直线， 当时，函数的最小值为， 当时，的最小值为， 所以，解得． 22. 如图，在中，，点在斜边上运动．以点为圆心，为半径的圆与边相切． （1）求证：平分． （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可知，从而可证明，由平行线的性质可知，由可知，于是得到，即证结论； （2）在中，利用互余计算出，再根据角平分的定义得到，则，根据圆周角定理得到，最后利用互余计算出的度数． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵与相切， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：在中，， ， 平分， ， ， 又是直径， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，掌握切线的性质是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某小区计划用总长为16米的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的花坛．如图所示，小区业主委员会提出了围成矩形、等边三角形、半圆形三种方案．若使花坛的面积尽可能大，应选择哪种方案？说明理由． 【答案】花坛围成半圆时，花坛的面积最大 【解析】 【分析】本题考查的是圆的周长与面积的计算，二次函数的性质，方案1，设矩形的边米，则米，再建立二次函数的性质求解即可，方案2，设等边三角形的高为米，求出米，等边三角形的边长为米，再求解面积，方案3，如图，先求解半径，再求解面积即可，再比较面积大小即可． 【详解】解：花坛围成半圆时，面积最大，理由如下： 方案1，设矩形的边米，则米， 则， ∵， ∴当时，的最大值为米， 方案2，设等边三角形的高为米， ∵是等边三角形，米， ∴米， ∴米， ∴米， 方案3，如图， ∵， ∴， 米， ∵， ∴花坛围成半圆时，花坛的面积最大． 24. 【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 【答案】（1），（2），（3） 【解析】 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边， 由勾股定理的逆定理可得，即可求解； （2）类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解； （3类似（1）的方法进行旋转，再由勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结，得到等边，， ∴， ∵， ∴． ∴ ． （2）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： （3）将绕点B逆时针旋转得到，连结，得到等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． ∴， ， 故答案为： 【点睛】 本题考查了旋转的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用旋转构建直角三角形． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，动点从点向终点运动，速度为1个单位/秒，过点作，交射线于点．设点的运动时间为秒． （1）求线段的长．（用含的代数式表示） （2）设与重叠部分的面积为，求出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）连结，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，根据题意得到，则，过点作于点H，解直角三角形求出，进而得到，当点在线段上时，，当点在延长线上时，，分别列出代数式即可； （2）由（1）得，解直角三角形求出，当点在线段上时，与重叠部分的面积为的面积，当点在延长线上时，与重叠部分的面积为的面积减去的面积，分别列出关系式即可； （3）分点在线段上，和点在延长线上，两种情况，根据等腰三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴， 由题意得，，则， 过点作于点H， 如图，当点Q在线段上时， 在中，， ， ∵， ∴， 当时，即， 解得：； 当时，即， 解得：； ∴， 如图，当点Q在延长线上时， 同理，， ∴， ∴线段的长为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 在中，， ， 如图，当点Q在线段上时， 则与重叠部分的面积为的面积， 则； 如图，当点Q在延长线上时，设交于点E， ， 则与重叠部分的面积为的面积减去的面积， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 则； 综上，； 【小问3详解】 解：如图，当点Q在线段上时， ∵，是等腰三角形， ∴， ∴仅存在， 由（1）知， 则， 解得：； 如图，当重合时， 则， 如图，当点Q在延长线上时， ∵，是等腰三角形， ∴， ∴仅存在， 此时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 解得：； 综上，当是等腰三角形时，的值为或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握分类讨论的思想． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求该抛物线与直线的解析式． （2）点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作轴交抛物线于点，以，为边作矩形．设点的横坐标为． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）①，②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）①根据解析式写出点的坐标，表示出矩形的周长，再用二次函数的性质求出最值即可；②根据面积比为1：3，得出坐标关系，代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， 抛物线解析式为； 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：①点的横坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以点的坐标为， 当点P在对称轴右侧时，，， 矩形的周长为， 即， 当时，矩形的周长最大，最大值为； 当点P在对称轴左侧时，， 矩形的周长= 周长最大值为； 综上，矩形的周长最大值为； ②直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分， 当直线与相交所得的三角形占一份时，交点为中点，则， ， 解得，（舍去）； 当直线与相交所得的三角形占一份时，交点为中点，则， ， 解得，（舍去）． 综上，m的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，解题关键是利用待定系数法求出解析式，利用点的坐标解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边州2024~2025学年度上学期九年级教学质量检测 数学试题 数学试题共6页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列图案中，中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数与常数项之和（ ） A. 2023 B. 2025 C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 甲口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“数”、“学”；乙口袋中装有2张卡片，它们分别写有汉字“学”、“美”．从这两个口袋中各随机取出1张卡片，取出的2张卡片恰好有“数”、“美”两个字的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗，某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 9. 2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（），欣欣家国”“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为，则可列方程为________． 10. 已知的半径为2，点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是_____． 11. 若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为________． 12. 如图，在等边中，，以为直径作半圆，交边、于点、，则图中阴影部分的面积是_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，过点作轴交抛物线于点．若，则抛物线的解析式为_____． 14. 如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，已知，则_____． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 16. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 17. 自古以来，景德镇就是中国陶瓷文化的象征，生产的瓷器闻名四方，远销世界各地．如图，这是景德镇生产的某种瓷碗正面的形状示意图，是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，求的长． 18. 有两个可以自由转动的均匀转盘、，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为0，甲获胜；否则乙获胜． 你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围． （2）当方程的一个根为时，求的值及另一个根． 21. 如图，抛物线中，函数与自变量的部分对应值如表： … 0 … … 2 … （1）求该二次函数的解析式． （2）当时，的最小值为．直接写出的取值范围． 22. 如图，在中，，点在斜边上运动．以点为圆心，为半径的圆与边相切． （1）求证：平分． （2）求的度数． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 某小区计划用总长为16米的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的花坛．如图所示，小区业主委员会提出了围成矩形、等边三角形、半圆形三种方案．若使花坛的面积尽可能大，应选择哪种方案？说明理由． 24. 【问题提出】如图①，在等边内部有一点，已知，，，求的度数． 【类比探究】如图②，等腰内部有一点，已知，，，则_____． 【联想拓展】如图③，等腰外部有一点，已知，，，则_____． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，，，，动点从点向终点运动，速度为1个单位/秒，过点作，交射线于点．设点的运动时间为秒． （1）求线段的长．（用含的代数式表示） （2）设与重叠部分的面积为，求出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）连结，当是等腰三角形时，直接写出的值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求该抛物线与直线的解析式． （2）点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作轴交抛物线于点，以，为边作矩形．设点的横坐标为． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $