精品解析：天津市南开区天津大学附属中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026天大附中高一数学12月月考 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式结合特殊角的三角函数值求解，即得答案. 【详解】， 故选：B 2. 在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度制与角度制互化公式，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】，因为半径为， 所以的圆心角所对的弧长为， 故选：B 3. 下列命题： ①第四象限的角可表示为； ②第二象限角大于第一象限角； ③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为； ④若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据象限角的定义可判断①，举反例可判断②④，根据任意角的定义可判断③. 【详解】对于①，第四象限的角可表示为，故①错误， 对于②，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，故②错误， 对于③，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为，故③正确， 对于④，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；故④错误， 所以真命题的个数为1， 故选：B. 4. 若函数的反函数在定义域内单调递增，则函数的图象大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由函数 的反函数在定义域内单调递增，可得a>1,所以函数的图象在上单调递增，故选D 5. 在对数式中，实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对、化简后可得具体的值，对有. 【详解】，故． 故选：D. 7. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据点的坐标求出的值，再利用诱导公式求出的值. 【详解】根据三角函数的定义，若角终边上一点，则. 已知点在角的终边上，则. 所以. 根据诱导公式. 因为，所以. 故选：A. 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对数的运算性质，将与、与化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】由题意，，，故. 又，所以. 故选：A 9. 方程的解为，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令， ∵,. ∴函数在区间上有零点． ∴．选C． 10. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得集合，求函数的定义域得集合，再求即可. 【详解】由得， 函数有意义满足，即， 解得：， 所以， 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求得，代入即可求解. 【详解】令，可得，所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质的化简、求值，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 12. 已知函数的图像与函数 的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数________ 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知函数y=f（x）与函数y=ax（a＞0且a≠1）互为反函数，求出y=ax的反函数，再将（4，2）代入可得答案． 【详解】∵函数y=f（x）的图象与函数y=ax（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称， ∴函数y=f（x）与函数y=ax（a＞0且a≠1）互为反函数， 由y=ax（a＞0且a≠1），得x=logay， 则f（x）=logax， ∵点P（4，2）在函数y=f（x）的图象上 由f（4）=2，得loga4=2， 解得：a=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，是基础题. 13. 若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题可根据题意得出函数仅有一个零点，然后通过判别式即可得出结果. 【详解】因为函数存在零点且不能用二分法求该函数的零点， 所以由二次函数性质易知，函数仅有一个零点， ，解得， 故答案为：. 14. 函数的定义域是________________ 【答案】,且 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意有，解得且， 故函数的定义域为，且. 故答案为：,且. 15. 已知，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得可得，，再根据，计算求得结果． 【详解】由，，可得，， ． . 故答案为：. 16. 若函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是___________． 【答案】 【解析】 【分析】函数在上递减，利用复合函数的单调性可得的取值范围，进而可判断函数单调递增区间． 【详解】设，，， 因为函数在上单调递增， 函数在上单调递减， 所以在上递减，所以， 函数的定义域为， 令，则， 因为函数为减函数， 所以函数的单调递增区间，即的单调递减区间， 函数的单调递减区间为，结合函数定义域为， 所以函数单调递增区间为 故答案为： 三、解答题：本题共4小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用换底公式以及指对数的运算法则可得答案； （2）利用完全平方公式以及立方和公式可得答案. 【详解】（1）原式 （2）因为，所以. 所以 18. 设，. 求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：由题意，易求，，利用两角差的正弦即可求得的值； ，，又，从而求得的值． 解析：（1）因为,所以,又，，所以， 所以 . （2）因为，所以，又所以， 因为，所以. 19. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，即可求解. （2）利用诱导公式求得，再利用三角函数的基本关系式，求得的值，即可得到答案． （3）由，利用诱导公式，即可求解的值． 【详解】（1）根据三角函数的诱导公式，化简得. （2）由，， 又是第三角限角，，所以. （3）因为， 所以. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和基本关系式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 20. 已知函数（且）. （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数的值域； （3）讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2） （3）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数真数大于0，得到关于的不等式组，解之即可得解； （2）（3）利用复合函数的单调性，结合二次函数与对数函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为， 要使函数有意义，则有，解得． 所以函数的定义域为． 【小问2详解】 当时， ， 令，则其开口向下，对称轴为， 当时，；当或时，； 所以当时，， 所以 即函数的值域为. 【小问3详解】 因为， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 当时，是增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，是减函数 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026天大附中高一数学12月月考 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题： ①第四象限的角可表示为； ②第二象限角大于第一象限角； ③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为； ④若是第二象限角，则的终边在第一象限． 其中真命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 若函数的反函数在定义域内单调递增，则函数的图象大致是(　　) A. B. C. D. 5. 在对数式中，实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 方程的解为，若，则 A. B. C. D. 10. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知，则________. 12. 已知函数的图像与函数 的图像关于直线对称，且点在函数的图像上，则实数________ 13. 若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是__________． 14. 函数的定义域是________________ 15. 已知，，则的值为________. 16. 若函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是___________． 三、解答题：本题共4小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算的值； （2）已知，求的值. 18. 设，. 求的值； （2）求的值. 19. 已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求的值； （3）若，求的值． 20. 已知函数（且）. （1）求函数的定义域； （2）当时，求函数的值域； （3）讨论函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $